1、等边三角形等边三角形知识回顾知识回顾三线合一三线合一等角对等边等角对等边图形图形判定判定性质性质等边对等角等边对等角知识回顾知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形等边三角形也叫正三角形探究探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？从边的角度：从角的角度：从对称的角度：两腰相等等边对等角三线合一将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？猜想猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形图形轴对称图形轴对称图形边边角角两边相等两边相等两底角相等两底角相等底边上的底边上的三线合一三线合一三边相等三边相等三角相等三角相等都等于都等于60三边
2、的三边的三线合一三线合一证明证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60已知：ABC是等边三角形求证：A=B=C=60证明：ABC是等边三角形，BC=AC，BC=ABA=B，A=CA=B=CA+B+C=180，A=60A=B=C=60结论结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60怎么写过程呢？ABC是等边三角形，A=B=C=60猜想猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴等边三角形是轴对称图形等边三角形有三条对称轴每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别
3、重合证明证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合AB=AC，BD=DCBAD=CAD，ADBCBA=BC，EA=ECABE=CBE，BEACCA=CB，AF=BFCAF=BAF，CFAB结论结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合简而言之，等边三角形每一边上的三线都合一归纳归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等三角相等都等于都等于60三边上都有三边上都有三线合一三线合一边边角角对称性对称性三边相等三边相等练习练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，则EDA的度数是_答案：15练习练习如图，ABC是等边三角形，AD
4、AB于A，DCBC于C求证：DAC是等腰三角形提示：证明DAC=DCA练习练习如图，已知，ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E使CE=CD，求DE长提示：证明BD=DE思考思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证明它的三边相等除此之外，还有没有其他办法呢？证明它三角相等行不行呢？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形证明证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：ABC中，A=B=C求证：ABC是等边三角形证明：A=B=C，BC=AC=AB（等角对等边），ABC是等边三角形思考思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此之外还有没有其他判定方
5、法呢？我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？有一个角是60？猜想猜想有一个角是有一个角是60的的等腰三角形是等边三角形等边三角形这个60角的位置有哪几种情况呢？60角是等腰三角形的顶角60角是等腰三角形的底角证明证明先证60角是等腰三角形的顶角的情况已知：ABC，AB=AC，A=60求证：ABC是等边三角形证明：A=60，B+C=120AB=AC，B=C，B=C=60，A=B=C，ABC是等边三角形证明证明再证60角是等腰三角形的底角的情况已知：ABC，AB=AC，B=60求证：ABC是等边三角形证明：AB=AC，B=C，B=60B=C=60，A=
6、60，A=B=C，ABC是等边三角形归纳归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法二方法三方法三有一个角是有一个角是60的的等腰三角形是等边三角形等边三角形三角相等的三角相等的三角形是等三角形是等边三角形边三角形三边相等的三边相等的三角形是等三角形是等边三角形边三角形方法一方法一例题例题如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC于点D，E求证：ADE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60DEBC，B=ADE，C=AEDA=ADE=AEDADE是等边三角形想一想，还有其他证法吗？练习练习如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC的延长线于点D，E
7、求证：ADE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60DEBC，B=ADE，C=AEDA=ADE=AEDADE是等边三角形练习练习如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC的方向延长线于点D，E求证：ADE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60DEBC，B=ADE，C=AEDA=ADE=AEDADE是等边三角形练习练习已知：D，E分别是等边ABC中AB，AC边上的点，且BD=CE求证：ABC是等边三角形.提示：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形练习练习已知ABC中，A=60,（）请你在括号内补充一个条件，使ABC能成为等边三角形答案：B=60或C=60
8、或AB=BC或AC=BC练习练习已知ABC中，A=B=60，AB=3cm，则ABC的周长为_答案：9cm练习练习ABC是等腰三角形，周长为15cm，且A=60，则BC=_答案：5cm练习练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF试问：DEF是什么三角形？提示：证明ADFBEDCFE练习练习等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴练习练习2如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BDECDF60，图中与BD相等的线段有哪些？探究探究将两个含有30的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找到RtABC的直角BC与斜边AB之间的数量关系吗?你能用学过的方法证明
9、吗?证明证明如图，已知ABCADC，ACB=ACD=90，BAC=DAC=30求证：证明：ABCADC，ABAD，BC=CD，又BAC=DAC=30BAD=60，ABD是等边三角形BD=AB，BCDC还有别的证法吗？还有别的证法吗？证明证明如图，已知ABC，ACB=90，BAC=30求证：证明：在BA上截取BD=BC，BAC=30，ACB=90，B=60ABD是等边三角形，BC=CD=BD，DCB=60，DCA30，DCA=A，AD=DC，AD=BD=BC结论结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边所对的直角边等于斜边的一半斜边的一半这个定理该怎么写过程呢？在RtABC中，
10、C=90，A=30，例题例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB7.4m，A30，立柱BC、DE要多长?答案：3.7m，1.85m练习练习在RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度，边AB和BC之间有什么关系？答案：60，30；AB=2BC练习练习如图，在ABC中，C=90，A=30，AB=10，则BC的长为_答案：5练习练习如图，在ABC中，ACB=90，CD是高，A=30，AB=4则BD=_.答案：1练习练习如图：在RtABC中A=30，AB+BC=12cm，则AB=_cm答案：8练习练习如图：ABC是等边三角形，ADBC，DEAB，
11、若AB=8cm，BD=_，BE=_答案：4cm，2cm练习练习如图，在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的中垂线，BE=5，则AE=_，AC=_答案：5，2.5练习练习如图：已知在ABC中，A=30，C=90，BD平分ABC求证：AD=2DC提示：证明DAC=30等边共顶点等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，AOB和COD都是等边三角形，AC，BD交于点E.求证：（1）AC=BD；（2）AEB=60提示：证明AOCBOD等边共顶点等边共顶点如图，ABC和DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH（1）求证：BDAE；提示：证明BCDAC
12、E总结：等边共顶点就会有边角边全等等边共顶点等边共顶点如图，ABC和DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH（2）求证：CFCH；（3）判断CFH是什么特殊三角形并说明理由提示：证明BCFACH等边内的点到三边的距离之和等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PDBC，PEAC，PFAB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等含含30直角三角形的剖分直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果C90，B30，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，
13、请你试着分一分，在图上画出来构造含构造含30的直角三角形的直角三角形如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N求证：CM=2BM提示：连接AM构造含构造含30的直角三角形的直角三角形如图，在ABC中，ABAC，A120，EF垂直平分AC且交BC于F求证：BF2CF提示：连接AF构造含构造含30的直角三角形的直角三角形如图在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，求ABC的面积提示：作出AB边上的高构造含构造含30的直角三角形的直角三角形腰长为2，底角为15的等腰三角形的面积为_提示：作出底边上的高答案：1等边与全等综合等边与全等综合如图，AB
14、C为等边三角形，D，E两点分别在BC，AC边上，AE=AD，AD，BE相交点于P，BQAD于点Q，若PQ=3，PE=1，求AD的长提示1：证明ACDBAE提示2：BPQ=BAP+ABP等边与全等综合等边与全等综合已知：如图，在等边ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQAD于Q，求证：（1）APE=60；（2）BP=2PQ提示1：证明ABDBCE提示2：APE=BAP+ABP等边与全等综合等边与全等综合如图，在等边ABC中，AC=9，点O在AB上，且BO=3，点P是BC上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD要使点D恰好落在AC
15、上，则BP的长是_提示：先画出示意图，然后证明BOPADO答案：6直角边是斜边的一半直角边是斜边的一半已知：如图，在ABC中，ACB=90，BC=AB求证：A=30提示：延长BC至D，使得CD=BC，连接AD总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30与代数综合的问题与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为_答案：等腰三角形与代数综合的问题与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，则三角形的形状为_答案：等边三角形222总结总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相等三角相等都等于都等于60三边上
16、都有三边上都有三线合一三线合一三边相等三边相等对称性对称性边边角角总结总结这节课我们还学到了什么？等边三角形的判定方法一方法一方法二方法二方法三方法三三角相等的三角相等的三角形是等三角形是等边三角形边三角形有一个角是有一个角是60的的等腰等腰三角形是三角形是等边三角形等边三角形三边相等的三边相等的三角形是等三角形是等边三角形边三角形总结总结在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30，那么它那么它所对的直角边所对的直角边等于等于斜边的一半斜边的一半这节课我们还学到了什么？复习巩固复习巩固1.（1）等腰三角形的一个角是110，它的另外两个角是多少度？（2）等腰三角形的一个角
17、是80，它的另外两个角是多少度？复习巩固复习巩固2.如图，ADBC，BD平分ABC.求证AB=AD.复习巩固复习巩固3.如图，五角星的五个角都是顶角为36的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道AMB的度数.算一算AMB等于多少度.复习巩固复习巩固4.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱ADBC，且顶角BAC=120.B，C，BAD，CAD各是多少度？复习巩固复习巩固5.如图，A=B，CEDA，CE交AB于点E.求证：CEB是等腰三角形.复习巩固复习巩固6.如图，点D，E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.复习巩固复习巩固7.如图，AB=AC，A=4
18、0，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求DBC的度数.综合运用综合运用8.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.综合运用综合运用9.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点.同学们由此确信房梁是水平的.他们的判断对吗？为什么？综合运用综合运用10.如图，ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC.求证：AMN的周长等于AB+AC.综合运用综合运用11.上午8时，一条船从海岛A出发，以15nm
19、ile/h（海里/时，1nmile=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得NAC=42，NBC=84.求从海岛B到灯塔C的距离.综合运用综合运用12.如图，ABD，AEC都是等边三角形.求证BE=DC.综合运用综合运用11.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论.拓广探索拓广探索14.如图，P，Q是ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的度数.拓广探索拓广探索15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，如果C=90，B=30，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来.
