1、2.2 2.2 矩阵的运算与概念矩阵的运算与概念，这个表就称为，这个表就称为矩阵矩阵.a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这些有序数组可以构成一个表这些有序数组可以构成一个表 在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2 +a1nxn=b1a21x1+a22x2 +a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念数表数表数值数值其中其中 aij
2、称为矩阵的第称为矩阵的第 i 行第行第 j 列的列的元素元素.一般情况下，我们用大写字母一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵等表示矩阵.m n矩阵矩阵A简记为简记为 A(aij)m n 或记作或记作 Am n.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 定义定义1 1 由由 m n 个个数数 aij(i 1,2,m；j 1,2,n)排成一个排成一个 m 行行 n 列的矩形表称为一个列的矩形表称为一个 m n 矩阵矩阵，记作，记作黑客帝国黑客帝国3The matrix revolution零矩阵零矩阵 所有元素均为所有元素均为0 0的矩阵称为的矩阵称为零
3、矩阵零矩阵，记为，记为O.行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为行矩阵行矩阵，只有一列的矩阵称为，只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵.常用小常用小写黑体字母写黑体字母 a，b，x，y 等表示等表示.例如例如a(a1 a 2 an)，b1b2bm b.负负矩阵矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n-am1 -am2 -amn称称矩阵矩阵为为A的的负矩阵负矩阵,记作记作 A.b11b21 bn10b22bn2 00bnnB.A.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称阶矩阵称为为上三角矩阵上三角矩
4、阵.三角矩阵三角矩阵 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为阶矩阵称为下三角矩阵下三角矩阵.方阵方阵 若矩阵若矩阵 A 的行数与列数都等于的行数与列数都等于 n，则称则称 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵，或或称为称为 n 阶阶方阵方阵.a110 00a220 00annA .对角矩阵对角矩阵 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为阶矩阵称为对角矩阵对角矩阵.单位矩阵单位矩阵(Identity matrix)如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为阶矩阵称为单位矩阵单位矩阵，记为，记为 En 或或 E.10 0010 001E .定义定义1 1 设设A与与B为两个为两个m n矩阵矩阵ABa11b11 a12
5、b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB，A与与B对应位置元素相加得到的对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A与与B的和，的和，记为记为A B.即即C=A+B.设设A,B,C都是都是m n矩阵矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律算规律：（1）交换律：）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）
6、A+O=A，其中其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵;矩阵的矩阵的减法减法可定义为可定义为:nmijijba)()(BABA显然：若显然：若A=B，则，则A+C=B+C，A-C=B-C；若若A+C=B+C，则，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中，其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，定义定义2 设设A(aij)为为m n矩阵矩阵则以数则以数k乘矩阵乘矩阵A的每一个元素所得到的的每一个元素所得到的m n矩阵称为矩阵称为数数k与矩与矩阵阵A的积的积，记为，记为kA.即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka
7、22 ka2n kam1 kam2 kamnkA.(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1AA.设设A，B，C，O都是都是m n矩阵，矩阵，k，l为常数，则为常数，则矩阵数乘的性质矩阵数乘的性质性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的，称为矩阵线性运算的8条性质条性质，须熟记，须熟记.例例1 1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，求3A2B.解：解：3A2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140
8、12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 .7 9 17 62 2 2 50 9 2 792 156 214 6064 02 1210 91400 312 68 916 525041102522212/512/5022/12/1012/511。X *(B-A)例例2 2已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X.解：解：定义定义3 设设A是一个是一个m s矩阵，矩阵，B是一个是一个s n矩阵：矩阵：构成的构成的m n矩阵矩阵C 称为矩阵称为矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的的积积，记为，记为C
9、AB.则由元素则由元素 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj(i 1,2,m；j 1,2,n)a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB.即即 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n
10、 cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj.(ai1 ai2 ais)b1jb2jbsj 注：注：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数.因此，因此，cij 可表示为可表示为 A 的第的第 i 行与行与 B 的第的第 j 列的乘积列的乘积.cij 矩阵乘法矩阵乘法AB ：1.条件：条件：前列前列=后行后行 2.结果：前行结果：前行后列后列 反例反例设设B=.1 2 32 1 0A ，0 10 11 21 51 2 32 1 0则则 AB 0 10 11 21 5 无意义无意义.m
11、 kk nm nB=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 678（1）先行后列法）先行后列法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 678303（1）先行后列法）先行后列法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 678309735（1）先行后列法）先行后列法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11
12、 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 538（2）先列后行法）先列后行法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 538 707（2）先列后行法）先列后行法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 538 707693（2）先列后行法）先列后行法B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0BA 4983 解
13、：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB 678309735；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法 例例6 6设设A ，4221B ，求求AB及BA.4 263AB42214 263 解：解：32 16168BA42214 2630 000B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：AB 678309735,BA 4983.例例4 4设设A ，4221B ，求求AB及BA.4 263AB 解：解：32 16168，BA0 000B=，求求AB及BA.A ，例例3 3设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：AB 6783097
14、35,BA 4983.注注2 2：矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA;注注3 3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出，推出A=O或或B=O .1110 例例5 5设设A ，B ，求求AB及BA.2110 解：解：11102110AB311021101110BA3110显然显然AB=BA.如果两矩阵如果两矩阵A与与B相乘，有相乘，有AB=BA，则称矩阵则称矩阵A与矩与矩阵阵B可交换可交换.显然显然AC=BC，但，但A B.121011,030400ABC则例例6 6设设101 10400BC11.
15、0012110300AC11,00注注4 4：矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律.例例8.8.1 0 00 0 00 0 1设设A=则则AA=1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1=A.显然显然AA=A，但但A E，A O.例例7 7 对于任意矩阵对于任意矩阵A及相应的矩阵及相应的矩阵O，E，有有AO=O，OA=O；AE=A，EA=A，EE=E.例例9.9.线性方程组的矩阵表示（线性方程组的矩阵表示（矩阵方程矩阵方程）应注意的问题应注意的问题(1)AB BA；(3)AB OA O或或B O；/(2)AC BCA B；/矩阵乘法的性质矩阵
16、乘法的性质(4)AA AA E或或A O./(1)(AB)C A(BC)；(2)(A B)C AC BC；(3)C(A B)CA CB；(4)k(AB)(kA)B A(kB).4.4.方阵的幂方阵的幂 对于方阵对于方阵A及自然数及自然数k Ak A A A (k个个A相乘相乘)，称为，称为方阵方阵A的的k次幂次幂.方阵的幂有下列性质：方阵的幂有下列性质：(1)ArAs Ar s；(2)(Ar)s Ars.问题：问题：(A+B)2=?定义定义4 将将m n矩阵矩阵A的行与列互换，得到的的行与列互换，得到的n m矩阵，称矩阵，称为矩阵为矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记为，记为AT或或A.即如果即如果
17、a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则.例如，设例如，设x(x1 x2 xn)T，y(y1 y2 yn)T，则，则(y1 y2 yn)xyTx1x2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn .5.转置矩阵及对称方阵显然显然，ETE.转置矩阵有下列性质转置矩阵有下列性质 (1)(AT)T A；(2)(A B)T AT BT；(3)(kA)T kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A，a11a12a1n a21a22a2n am1am
18、2amn AT 则.定义定义4 将将m n矩阵矩阵A的行与列互换，得到的的行与列互换，得到的n m矩阵，称矩阵，称为矩阵为矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记为，记为AT或或A.即如果即如果 (4)(AB)T BTAT .5.转置矩阵及对称方阵 定义定义5 设设A 为为n阶方阵，若阶方阵，若AT=A，则称，则称A为为对称矩阵对称矩阵，如，如果果AT=-A，则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.显然：显然：A为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是
19、aij=-aji.如：如：112012134,104242240 AB 定义定义6 6 设设A是是n阶方阵，由阶方阵，由A的元素构成的的元素构成的n阶行列式阶行列式称为方阵称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为|A|或或det A.性质：性质：设设A、B为为n阶阶方阵，方阵，k为数，则为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B|.(2)|kA|=kn|A|;6.6.方阵的行列式方阵的行列式显然，显然，|E|=1|=1.一般地，若一般地，若A1,A2,Ak都是都是n阶方阵，则阶方阵，则 1212kkA AAA AA显然显然 kkAA方阵方阵A的的多项式多项式 6.6.方阵的行列式方
20、阵的行列式例例10设设 123012101A200130012BAB求求解解:因为因为096154212AB212|45124690 AB由公式由公式 ABA B则则24AB若先求得若先求得 101|2102321 A210|03112002 B同样同样 24AB例例11设设 A，B均为四阶方阵，且均为四阶方阵，且 .计算计算 .解解 由方阵的行列式的运算规律，由方阵的行列式的运算规律，2,1 ABTT22()AB A2TT)(2ABA4TT2(2)()AB A2216A BA2T16()AB A128.2设设 A,B都是都是2阶方阵阶方阵，且且A=2，B=-3=-3E，则则|ATB|=().1设设 A是是3阶方阵阶方阵，且且A=2，则则A2=()|2A|=(),|A|=().4-16218练习练习
