1、 本章的知识结构为：本章的知识结构为：平面的方程平面的方程 点法式一般式点位式直线的方程直线的方程 射影式一般式点向式 相关位置相关位置 3.1 平面的方程1.平面的点位式方程平面的点位式方程则有一个与两个不共线向量给定空间一点,0baM.,0baM而平行经过唯一的平面.线的向量与平面平行的两个不共平面的方位向量.平面的方位向量不唯一则图的向径上任一点平面的向径并设点；取仿射坐标系在空间),13(,000321rOMMrOMMeeeO.,0共面上在平面点baMMMoxyz3e2e1eM0M0rrab知由定理不共线2.4.1,ba,0bvauMM,00rrMM又.0bvaurr即(3.1-1)(
2、3.1-1)图图3-13-1.,为参数程的向量式参数方平面vu则若设点),(),(0000zyxMzyxM,0000zyxrzyxr,222111ZYXbZYXa再设得则由)11.3(.,210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx(3.1-2)(3.1-2).,为参数的坐标式参数方程平面vu作数积得两边与从babvaurr0,0),(0barr(3.1-3)(3.1-3)即是用向量的分量表示将,)31.3(,0222111000ZYXZYXzzyyxx(3.1-4)(3.1-4).)41.3(),31.3(),21.3(),11.3(都叫平面的点位式方程2.平面的三点式方程平面的三
3、点式方程.),3,2,1)(,(1的方程三点的平面求过这已知不共线三点例izyxMiiii并设点的方位向量取解3121,MMbMMa则图上任一点为),23(),(zyxMoxyz3e2e1eM1rr图图3-23-21M2M3M2r3r)3,2,1(,izyxOMrOMzyxriiiii,1212121221zzyyxxrrMMa,1313131331zzyyxxrrMMb),()(13121rrvrrurr程故平面的向量式参数方(3.1-5)(3.1-5).()(),()(),()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxuxx坐标式参数方程(3.1-6)(3.
4、1-6)得消去由vu,)51.3(0),(13121rrrrrr(3.1-7)(3.1-7)用各向量的分量表示即将)71.3(,0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx(3.1-8)(3.1-8).)81.3(),71.3(),61.3(),51.3(都叫平面的三点式方程3.平面的截距式方程平面的截距式方程确定的平面方程由三点)0)(,0,0(),0,0(),0,0,(abccba,000 cabazyaxxyzoabc，展开得000)(00zabayacaaxcb,abcabzacybcx即,0abc1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距
5、距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距(3.1-9)(3.1-9)4.平面的一般方程平面的一般方程将表示任一平面都可用方程由前述讨论知,)41.3(,其展开可写成,0DCzByAx(3.1-(3.1-10)10),221122112211YXYXCXZXZBZYZYA其中,222111000ZYXZYXzyxD:,这表明不全为零所以不共线因CBAba.,的三元一次方程表示任一平面都可用关于zyx:,可证反之.)101.3(,都表示平面的一次方程任一关于zyx)101.3(,0,则不妨设不全为零因事实上ACBA可写成,0)(2ACzAByADxA.000ACABzyADx和两不共线向量它表示由点
6、显然)0,0,(,0ADM.,0,0,所决定的平面ACAB.,;,1.1.3方程都代表一个平面的三元一次每一个含反之三元一次方程表示的一个含空间中任一平面都可用定理zyxzyx称（称（3.1-10）为）为平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx(3.1-(3.1-10)10).,0,有明显的几何意义某个系数是否为一般方程中平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：平面（平面（3.1-10）通过原点；）通过原点；0)1(D则中有一为,0,)2(CBA);()101.3()00(0,0轴轴或轴行于平平面或xyzABCD0,0)101.3(CDz轴时平行于说明当平面问题：.距
7、离的概念这里要用到点到平面的,222000CBADCzByAxd需从两方面说明：;距离相等轴上任意两点到平面的z.0的常数这距离为不为);()101.3()00(0,0轴轴或轴过平平面或xyzABCD则中有两个为,0,)3(CBA);()101.3()00(0,0面面或面平行于平面或xyxzyzBACACBD).()101.3()00(0,0面面或面即为平面或xyxzyzBACACBD平面？在给定坐标系下如何画问题：已给平面在给定坐标系下,0DCzByAx：联每与坐标轴的交点则可求出平面若,0ABCD.,了某一卦限部分就画出来在平面个坐标面的交线两个交点即得出它和每.,0,0,轴或包含轴或平行
8、于则如中有一个为若xxACBA如画平面,02zy：).2,0,0(),0,2,0(,/NzMyx轴交于与轴交于与轴xyzoMN),1,5,1(21M求通过点例.)2,2,3(2一般方程和平面的坐标式参数方程面的且垂直于xyM程为故可设其方轴亦即平行于面平面垂直于解,zxy,0DByAx所以又因它过点),2,2,3(),1,5,1(21MM.023,05DBADBA,0,172,177DDBDA解得,2,7,17BAD可取.01727 yx故得平面的一般方程为()方程组注()故只有两中三个未知量两个方程,所以只需求出其中一个是自由未知量个是独立的,17:2:)7(2351:3111:1215:D
9、BA.说明上式的由来问题：.23,5(*)DBADBA变形为将方程组有由克莱姆法则,23511215235125DDDA,23513111235131DDDB,:23513111:23511215:DDDDBA得在上式右端取2351D.17:2:)7(2351:3111:1215:DBA一般方程为形式展开即得平面的也可用点位式的行列式法2,0100372151zyx展开得.01727 yx 故为方位向量与且以此平面过点,3,7,21,0,0,1M其坐标式参数方程为.31,75,21vuzvyvx坐标式参数方程5.平面的法式方程平面的法式方程.,:00定垂直的平面唯一地被确且与则过点一非零向量给
10、定一点已知nMnMxyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn1)点法式点法式,;下在坐标系kjiOijk0rr,00rOM设向径,rOM且0)()()(000 zzCyyBxxA(3.1-11)(3.1-12)都叫平面的点法式方程都叫平面的点法式方程,0)(0rrn(3.1-(3.1-1 11 1)设设,CBAn ),(0000zyxM则),(zyxM,0
11、000zzyyxxrr(3.1-(3.1-12)12)为则若记)121.3(),(000CzByAxD,0DCzByAx.,量是平面的一个法向故在直角坐标系下CBAn 解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所
12、所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为或或.666 zyx2)法式方程法式方程(一种特殊的一次方程一种特殊的一次方程)xyzoPMijknr当法向量取单位向量的而
13、所引垂线的垂足向平面地取为自原点特殊若平面上的点,0nPOM当相同正向取做与的时平面不过原点,OPnO.,向中任取定一个两个方的正向在垂直于平面的平面过原点时n,pOP 设方程为向量的平面为法且以过点知故由则nPnpOP,)111.3(,0)(nprn化简上式得的向径上任意点是,Mr.0prn(3.1-(3.1-13)13)平面的向量式法式方程平面的向量式法式方程,zyxr若设,cos,cos,cosn得则由)131.3(.0coscoscospzyx(3.1-(3.1-14)14)平面的法式方程平面的法式方程点：其特是一种特殊的一次方程法式方程,)141.3(;1)(于的平方和等是单位向量的
14、分量一次项系数).(,0是原点到平面的距离常数项pp,012222zx如,是法式方程0012222zyxyx与而6.一般方程一般方程(3.1-10)的的法式化法式化已知在直角坐标系下已知在直角坐标系下,是平面的法向量CBAn,zyxr 可表示为所以)101.3(,0Drn(3.1-(3.1-15)15)只要以相比知与,)131.3(.都不是法式方程22211CBAn就可得法式方程：乘)101.3(,0)(DCzByAx(3.1-(3.1-16)16).,0.0选择的符号可任意时当而定的符号由DD.为原点到平面的距离D而因子的法式化这种变形称为方程得平面的法式方程即后乘上取定符号的平面的一般方程
15、,)101.3(,)161.3(,)101.3()(1222在取定符号后CBA.称为法式化因子.2:3:1:,66的平面的截距比为且在三坐标轴上个单位求与原点距离为例cba由题意可设所求平面为解,123mzmymx)76(m化为法式方程,0)76737276(mzyx故所求为解之得由题意有,7,676mm.042326,042326zyxzyx.,01027方向余弦向量及它的原点指向平面的单位法平面的距离原点到的法式方程求例zyx)21(,05212221zyx法式方程解5原点到平面的距离为,21,22,21n向量原点指向平面的单位法.21cos,22cos,21cos它的方向余弦为练习题；8)2.(7)1.(6)5)(1.(5)3.(1105105PP.10106P
