1、第二章第二章 波函数和波函数和 薛定谔方程薛定谔方程 微观粒子的基本属性不能用经典语言确微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。切描述。量子力学用波函数描述微观粒子的运动量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程状态，波函数所遵从的方程薛定谔方薛定谔方程是量子力学的基本方程。程是量子力学的基本方程。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有 统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔 方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱 B.一维谐振子 C.势垒贯穿（隧道效应）1.波函数波函数
2、：概率波的数学表达形式，概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态描述微观客体的运动状态(,)(,)r tx y z t 一般表示为复指数函数形式一般表示为复指数函数形式例：例：一维自由粒子的波函数一维自由粒子的波函数经典描述：经典描述：沿沿 x 轴匀速直线运动轴匀速直线运动量子描述：量子描述：确确定定，守守恒恒；pE,类比：类比：单色平面波单色平面波,一定一定沿直线传播沿直线传播以坐标原点为参考点，设以坐标原点为参考点，设 0，以速率，以速率 u 沿沿+x 方向传播方向传播00cos()cos2()xxttu 0cos2()Exthh p 01cos()xEtx p )(0),(xpEti
3、xetx （取实部）（取实部）)(expEtrpiA 3 3个问题？个问题？描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglieBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为
4、自由粒子的波函数。(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？三维自由粒子波函数三维自由粒子波函数)(0),(rpEtietr 2.波函数的强度波函数的强度模的平方模的平方2|*波函数与其共轭复数的积波函数与其共轭复数的积例：例：一维自由粒子：一维自由粒子：()()200|(,)|*xxiiE tpxE tpxhx tee 203.波函数的统计解释波函数的统计解释光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射类类比比2oEI 2|INNhINI I大处大处 到达光子数多到达光子数多
5、I小处小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达各光子起点、终点、路各光子起点、终点、路径均不确定径均不确定用用I对屏上光子数分布作对屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各电子起点、终点、路径各电子起点、终点、路径均不确定均不确定2|用对屏上电子数分布对屏上电子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率为零电子到达该处概率小电子到达该处概率小光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射电子源电子源感感光光屏屏（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法.波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分
6、布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。波动性的一面，具
7、有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。l 电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l
8、 什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。l 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。l 电子究竟是什么东西呢
9、？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒电子既不是粒子也不是波子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一
10、时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.l 结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许
11、多电子在许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。同实验中的统计结果。l 波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电
12、子衍射实验中，照相底片上照相底片上 VNNd|d2 VNNtzyxwdd*|),(|2 一般：一般：t 时刻时刻,到达空间到达空间 r(x,y,z)处某体积处某体积dV内的粒子数内的粒子数 t 时刻，出现在空间（时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间（时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积）点附近单位体积内的概率内的概率 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度时刻，粒子在空间分布的概率密度 2|),(|tzyx 的物理意义：的物理意义：物质波的波函数不描述介质中运动物质波的波函数不描述介质中运
13、动状态（相位）传播的过程状态（相位）传播的过程，本身，而是有意义的不是2|:|2 w概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率密度，粒子在空间分布的统计规律:概率幅概率幅注意：描描述述同同一一概概率率波波和和在在空空间间各各点点的的比比值值，的的大大小小，而而是是重重要要的的不不是是 c22|遵遵从从叠叠加加原原理理 12 221211221212|*干涉项干涉项4 4、波函数的归一化条件和标准条件波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1 12dd|dd1dVVNNNVVN VNN 归一化条件归一化条件对微观客体的数学描述：对微观客体的数学描述：脱离日常生
14、活经验，避免借用经典语言引起脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾的表观矛盾标准条件标准条件 是单值、有限、连续的。是单值、有限、连续的。平面波归一化平面波归一化I Dirac 函数函数 定义：定义：0000)(xxxxxx)0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/,dk=dp,dk
15、=dpx x/,则则xxxpidpexxx)(0021)(性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)(，则则，作作代代换换：II II 平面波平面波 归一化归一化EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量形式写成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考虑一维积分考虑一维积分dxxxexxxxppt
16、EEi)()(*dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(*)(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 =1=1，则，则 A A1 1=2=2 -1/2-1/2,于是于是xpipxxex 21)()(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(*)(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)()()()()(000 xxxfxxxf 三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(*)(
17、)()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。相同。态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。一、量子态和波函数一、量子态和波函数 用波函数用波函数 （r,t）来描述微观粒子的量子）来描述
18、微观粒子的量子态。当态。当（r,t）给定后，如果测量其位置，）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为粒子出现在点的几率密度为|2 。波函数的统计解释也是波粒二波函数的统计解释也是波粒二象象性的一种体性的一种体现。现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？意义是否与经典相同？1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波1与2线性相加，=a1+b2,相加
19、后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果1与2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加态=c11+c22，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。l=C=C1 11 1+C+C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是：l|2 2=|C=|C1 11 1+C+C2 22 2|2 2 l =(C =(C1 1*1 1*+C+C2 2*2 2*)(C)(C1 11 1+C+C2 22 2)l =|C =|C1 1 1 1|2 2+|C+|C2 22 2|2 2+C+
20、C1 1*C C2 21 1*2 2+C+C1 1C C2 2*1 12 2*P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态，是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。2、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。推广到任意多态的一般态迭加原理：3、态的迭加原理 如果1、2、3是体系可能的状态，则它们的线
21、性迭加态=c11+c22+c33=cii 也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态时，体系部分处在1态、也部分处在2态，等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态i。4、说明：说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。而不学的态的迭加也是波函数的迭加。而不是几率（是几率（|2）的迭加。）的迭加。数学表示式：数学表示式：其中，其中，是动量一定的平面波。这在数学是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好
22、是非周期函数的傅里叶展开。上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。zyxppddpdprtpctr )(),(),(rpipe 2/3)2(1 )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式应应用用积积分分代代替替是是连连续续变变化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有确定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dedeBroglieBroglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶
23、体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp p dxetxtpcpxi),()2(1),(2/1 zyxrpidpdpdpetpctr),()2(1),(23dxdydzetrtpcrpi),()2(1),(23一维情况：dpetpcdptxtpctxpxip),()2(1 ),(),(),(21 说明：说明：1 1、在态、在态（r,tr,t）的粒子，它的动量没有确的粒子，它的动量没有确定的值，
24、由上式可知：粒子可处于任何一定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态个态p p（r,tr,t），但是当粒子的状态确，但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。一定的。2 2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以的迭加，所以1 1+1 1=2=21 不是新的态，不是新的态，只不过未归一化。在态只不过未归一化。在态=c=c1 11 1+c+c2 22 2进进行测量时，发现粒子要么处在行测量时，发现粒子要么处在1 1 ，要么，要么处在处在2。薛定谔猫2.3 薛定谔方程薛定谔方程 薛定谔方程是波函数薛
25、定谔方程是波函数 所遵从的基本方程，是所遵从的基本方程，是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。其正确性由实验检验。建立建立 （简单（简单复杂，复杂，特殊特殊一般）一般）1.一维粒子的一维粒子的薛定谔薛定谔方程方程)(0),(xptEixetx)(0),(),(xptEixeEitxEitxt),(),(txEtxti一维自由粒子：一维自由粒子：),(),()(0txpiepitxxxxpEtixx ),(),(2222txptxxx 一维自由粒子：一维自由粒子：2 2122kxxpvEE ),(2),(22222txptx
26、xx ),(2),(222txxtxti 一维自由粒子的一维自由粒子的薛定谔方程：薛定谔方程：式中：式中：xpixex0)(振幅函数振幅函数与驻波类比与驻波类比2.一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程tEitEixpixptEiexeeetxxx )(),(0)(0 能量能量 E 和动量和动量 Px 与作用在波函数上的下列算与作用在波函数上的下列算符相当符相当xiptiEx ,若粒子处在一维势场中：若粒子处在一维势场中：),(22txVpEx ),(),(),(2),(222txtxVtxxtxti 一维粒子的薛定谔方程：一维粒子的薛定谔方程：2*2|)(|)()()()(|),(|xxxex
27、extxtEitEitEiextx)(),(要求波函数要求波函数(x,t)的模方，只需求振幅函数的模方，只需求振幅函数(x）的）的模方。模方。建立关于振幅函数建立关于振幅函数(x）的方程）的方程 振幅方程振幅方程)(d)(d0 xpiepixxxxpixx)(d)(d2222xpxxx*非相对论考虑非相对论考虑自由粒子：自由粒子：2 2122kxxpvEE Epx 22 0U势函数势函数)(d)(d2222xpxxx*代入代入得得0)(2d)(d222 xExx 即即 一维自由粒子的定态方程一维自由粒子的定态方程)(2222pkUEpUpEEExx )(d)(d2222xpxxx *代入代入粒
28、子在力场中运动，且势能不随时间变化粒子在力场中运动，且势能不随时间变化0)()(2d)(d222 xUExx 即即 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程得得3.三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程0)(2222222 UEzyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222zyx 0),()(2),(22 zyxUEzyx 即即 三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程),(zyx 振幅函数振幅函数4.一般形式薛定谔方程一般形式薛定谔方程),(tzyx 哈密顿算符哈密顿算符UH 222 tiH ),()(2),(2222222tzyxUzyxtzyxti ),(2),(22tzyxUtzyxti 222
29、2222zyx 拉拉普普拉拉斯斯算算符符：求定态问题：求定态问题：一维：一维：三维：三维：0)(2dd222 UEx 0)(222 UE),(2/212trrVpEiii ),(2/2122trrVtiiii 5.多粒子体系的多粒子体系的薛定谔方程薛定谔方程体系由体系由N个粒子组成（个粒子组成（N1）体系能量为：体系能量为：(r(r1 1,r,r2 2,t),t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:),(),(),(2),(2121212221trrtrrVtrrtrrtiiii 讨论：讨论：1、薛定谔方程薛定谔方程也称波动方程，描述在势场也称波动方程，描述在势场
30、U中粒中粒子状态随时间的变化规律。子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其它更基本原理或方程推导出来，它的正确从其它更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程
31、。足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。、薛定谔方程是非相对论的方程。求解问题的思路：求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程的形式代入方程2.用分离变量法求解用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数只有只有E取某些特定值时才有解取某些特定值时才有解本征值本征值本征函数本征函数4.讨论解的物理意义，讨论解的物理意义，即求即求|2，得出粒子在空间的概率分布。得出粒子在空间的概率分布。What is life？本节要引入几率流密度概念，有了它本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联
32、系起来。就可以把几率与电流联系起来。由薛定谔方程出发，讨论粒子在一由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。论。设设已归一化，已归一化，q 为单粒子的电荷，则为单粒子的电荷，则|2=几率密度几率密度(w)；|2dV=dV 的几率；的几率；|2q=电荷密度电荷密度()；|2qdV=dV 的电荷。的电荷。几率流密度（几率流密度（J）含义）含义=单位时间垂直流单位时间垂直流过单位面积几率。过单位面积几率。J公式公式=？先介绍几率的连续方程。先介绍几率的连续方程。若从数学上能
33、推出如下公式：若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度通过类比，就可定义为几率流密度 J，这个方程也就是几率的连续方程。这个方程也就是几率的连续方程。0 Jtw 一、几率的连续方程与几率流密度一、几率的连续方程与几率流密度 类比：已知电荷有连续方程：类比：已知电荷有连续方程：其中，其中，电荷密度电荷密度,电流密度。电流密度。0 jt j薛定谔方程为薛定谔方程为:(1)对上述方程取复共轭得对上述方程取复共轭得 (2)在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。
34、对一个粒子来说，在全空间中找到保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化粒子的概率之总和应不随时间变化,即即:0),(32 rdtrdtd*22*)2(Vti),()(2),(22trrVtrti 定义：几率流密度定义：几率流密度 得几率的连续方程：得几率的连续方程：)(2 iJ得：由 )2()1(*0)(2)(ititi 2*22*22*()()2 ()2 0 Jtw二、几率守恒定律二、几率守恒定律 对几率的连续方程：对几率的连续方程：两边对一个封闭的体积两边对一个封闭的体积 V 积分，并利用高斯公式，得积分，并利用高斯公式，得：表示：左表示：左=体积体积V内单位
35、时间几率的增加量内单位时间几率的增加量=右右=单位时单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。消失。0 Jtw VssdJwdVt三、质量、电荷守恒定律三、质量、电荷守恒定律 1wm=mw：质量密度，：质量密度，Jm=mJ：质量流密度。：质量流密度。质质 量守恒定律量守恒定律 2we=qw：电荷密度，：电荷密度，Je=qJ：电流密度。：电流密度。电荷守恒定律电
36、荷守恒定律0mmJtw0eeJtw四、波函数标准条件：连续，单值，有限。四、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。单值与有限，由波函数的统计含义所定。连续，由几率的连续方程所确定。连续，由几率的连续方程所确定。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：说明：几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实
37、现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。变化。连续性就意味着某种流的存在。一定态薛定谔方程一定态薛定谔方程 条件：条件：V（r,t）=V(r)，与与 t 无关。无关。用分离变量法用分离变量法,令令=(r)f(t)，代入薛定谔，代入薛定谔方程，得两个方程：方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程此称定态薛定谔方程 )()(tEfttfi Eticetf )()()()()(222rErrVrm 整个定态波函数形式：整个定态波函数形式：特点：特点：A.波函数由空间部分函数与时间部分函数波函数由空间部分函数与时间部分函数 相乘；相乘；B时间部分函数是确定的，为：时间部分函数是确定的，为：定态波函数几率密
38、度定态波函数几率密度 w 与与 t 无关，几率分无关，几率分 布不随时间而变，因此称为定态。布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。Etier )(Eticetf )(算符算符 本征方程：本征方程：本征值，有多个，甚至无穷多个。：本征值，有多个，甚至无穷多个。：本征值为：本征值为的本征函数。也有多个，甚的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为值对应的不同本征函数数目为 N，
39、则称，则称 N 重简并。重简并。AA上述用分离变量得到两个方程上述用分离变量得到两个方程 都是本征方程：都是本征方程：（1）或或 （2）或或称为称为定态哈密顿算符定态哈密顿算符。)()(tEfttfi )()(tEftfE tiE 其其中中：)()()(222rErrV )(222rVH 其其中中：)()()(222rErrV )()(rErH 定态薛定谔方程就是的本征方程。定态薛定谔方程就是的本征方程。薛定谔方程就可简写成：薛定谔方程就可简写成：),(),(trHtrti )()(rErH 设定态薛定谔方程的本征值为设定态薛定谔方程的本征值为 En,本征函数本征函数 为为 ，定态波函数为定态
40、波函数为 它是定态情况下的薛定谔方程：它是定态情况下的薛定谔方程：的一个解。的一个解。),(),(trHtrtinn )(rn tEinnner )(定态情况下的薛定谔方程的一般解，是定态情况下的薛定谔方程的一般解，是所有定态波函数所有定态波函数n的线性迭加：的线性迭加：ntEinnne)r(c)t,r(说明：说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是 能量本征方程，能量本征方程，E 就称为体系的能量本征值就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解，而相应的解 称为称为 能量的本征函数能量的本征函数（energy eige
41、nfunction）。2、是体系的哈密顿量算符，当不显含是体系的哈密顿量算符，当不显含 t 时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿 量算符。量算符。)(rn H求解问题的思路：求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程的形式代入方程2.用分离变量法求解用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有只有 E 取某些特定值时才有解取某些特定值时才有解4.讨论解的物理意义讨论解的物理意义 周世勋：量子
42、力学教程 2.1、2.2一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 求定态问题：求定态问题：一维：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。界条件。U(x)*=U(x)，即，即 U(x)为实函数。为实函数。)1(0)(2dd222 xUEx 定理定理1：设：设 是方程（是方程（1）的一个解，对应的能）的一个解，对应的能量本征值是量本征值是E，则，则 也是方程的一个解，对应也是方程的一个解，对应的能量也是的能量也是E。证：方程（证：方程（1）取复共轭，注意）取复共轭，注意 E 取实值，取实值，容易证明。，容易证明。如果对应于能量的某个本征值如果对应于能量的某个本征值
43、 E，方程（，方程（1）的）的解无简并，则可取为实解。解无简并，则可取为实解。)(x*)(x)x(U)x(U*定理定理2：对应能量的某个本征值：对应能量的某个本征值E，总可以找，总可以找到方程（到方程（1）的一组实解，凡是属于）的一组实解，凡是属于E的任何解，的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果证：如果 (x)是实解，是实解，(x)*是复解是复解，(x)*也也是方程（是方程（1）的解，）的解，且：且：(x)=(x)+(x)*和和 (x)=i(x)(x)*也是方程（也是方程（1）的解，属于能量）的解，属于能量E。均为实解。均为实解。(x)和和 (
44、x)均可以表示为均可以表示为 (x)和和 (x)*的线形叠的线形叠加。加。定理定理3：设：设U（x）具有空间反射不）具有空间反射不变性，变性，U（-x）=U（x）。如果）。如果 (x)是方程（是方程（1）的对应能量的本征值）的对应能量的本征值E的解，的解，则则 (x)也是方程（也是方程（1）对应能量）对应能量E的解。的解。证证（略）（略）定理定理4：设：设 U（-x）=U（x），则），则对应任何一个能量本征值对应任何一个能量本征值E，总可以找到，总可以找到方程（方程（1）的一组解，而属于能量本征值）的一组解，而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。的任何解，都可以用它来展开。证：证：构造
45、两个函数构造两个函数 (x)=(x)+(x)和和 (x)=(x)(x)均为方程（均为方程（1）的解。的解。(x)和和 (x)均可以表示为上均可以表示为上述两个函数的叠加。述两个函数的叠加。定理定理5：对于阶梯性方位势，：对于阶梯性方位势，U2U1有限，则能量本征函数有限，则能量本征函数 及其导数必及其导数必定是连续的。定是连续的。.,;,)(21axUaxUxU 定理定理6：对于一维粒子，设：对于一维粒子，设 1 与与 2 均为均为方程（方程（1）的属于同一能量的）的属于同一能量的 E 的解，则：的解，则：常数1221 定理定理7：设粒子在规则势场中运动，如存在：设粒子在规则势场中运动，如存在
46、束缚态，则必定是不简并的。束缚态，则必定是不简并的。束缚态束缚态（bound state）指粒子局限在）指粒子局限在有限空间中。有限空间中。一、一维势阱实例一、一维势阱实例 如：金属中的自由电子。如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内）电子在金属内部势能为常数，认定为零；部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。形式。二、微分方程二、微分方程 的三种解形式。的三种解形式。这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：这是二阶常系数微分方程，
47、有三种等价的解：a.b.c.依方便依方便,随取一种形式的解随取一种形式的解.0222 )x(kdx)x(dikxikxBeAe 1kxDkxCcossin2 )sin(3 kxG 三、三、一维无限深势阱求解一维无限深势阱求解 1、一维无限深势阱、一维无限深势阱 一个粒子处在这样势阱一个粒子处在这样势阱 内内,其质量为其质量为.具体例子具体例子:金属中电子可以金属中电子可以 看成处在有限深势阱内看成处在有限深势阱内.阱阱外外阱阱内内axaxoxV)(-a 0 aV(x)IIIIII2、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.这是定态问题这是定态问题,只需解出定态波函数
48、只需解出定态波函数n与定态能量与定态能量 En 即可即可.定态薛定谔方程定态薛定谔方程:)()()()(2222xExxUdxxd l求解求解 S 方程分四步：方程分四步：l（1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S方程方程 l（2）解方程）解方程 l（3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|,0)(-a 0 aV(x)IIIIII方程可方程可 简化为：简化为：000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)I
49、IIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I、II 和和 III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I(x),II(x)和和 III(x)。则方程为：则方程为：2 2 xxIIIIIxxIeBeBxBxAeCeC 2121cossin 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势从物理考虑，粒子不能透过无穷高
50、的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是壁上和阱壁外波函数为零，特别是 (-a)=(a)=0。.0,cossin,0IIIIIIxBxA 则则解解为为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1.单值，成立；单值，成立；2.有限：当有限：当 x -，有限有限条件要求条件要求 C2=0。2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续：l 在边界在边界 x=-ax=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：l若若 I I(
