1、【 精品教育资源文库 】 17 水平面内的圆周运动及其临界问题 1.山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为 R，重力加速度为 g，列车转弯过程中倾角 (车厢地面与水平面夹角 )为 ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度 (轨道不受侧向挤压 )为 ( ) A. gRsin B. gRcos C. gRtan D. gRcot 答案 C 解析 由题意画出受力分析图，可知合外力提供向心力，指向水平方向： mgtan mv2R，解得 v gRt
2、an ，故 C 正确。 2.(2017 郑州质检 )如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮 A 和 B 水平放置，两轮半径 RA 2RB。当主动轮 A 匀速转动时，在 A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 A 轮边缘上。若将小木块放在 B 轮上，欲使木块相对 B 轮也静止，则木块距 B 轮转动轴的最大距离为 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A.RB4 B.RB3 C.RB2 D RB 答案 C 解析 由题图可知，当主动轮 A 匀速转动时， A、 B 两轮边缘上的线速度相同，由 vR，得 ABvRAvRB RBRA 12。由于小木块恰能在 A 轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最
3、大值mg ，故 mg m 2ARA ，设放在 B 轮上能使木块相对静止的距 B 轮转动轴的最大距离为 r，则 向心力由最大静摩擦力提供，故 mg m 2Br ，因 A、 B 材料相同，故木块与 A、 B 间的动摩擦因数相同， 、 式左边相等，故 m 2ARA m 2Br，得 r ? ? AB2RA ? ?12 2RARA4RB2， C正确。 3. (2017 莆田联考 )如图所示，在半径为 R 的半圆形碗的光滑表面上，一质量为 m 的小球以转速 n(r/s)在水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离 h 为 ( ) A R g4 2n2 B. g4 2n2 C. g4 n2 R D. g4
4、2n2 R2 答案 A 解析 由题意知，小球做圆周运动的角速度 2 n，小球做圆周运动需要的向心力为F m4 2n2r，向心力由重力与弹力的合力提供，即 mgtan m4 2n2r，如图所 示，根据几何关系： sin rR，联立解得： cos g4 2n2R，可得： h R Rcos R g4 2n2，所以 A【 精品教育资源文库 】 正确， B、 C、 D 错误。 4. (多选 )如图所示，在水平转台上放一个质量 M 2.0 kg 的木块，它与台面间的最大静摩擦力 fm 6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的光滑中心孔 O 悬吊一质量 m 1.0 kg的小球，当转台以 5.0 ra
5、d/s 的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O 孔的距离可能是 (重力加速度 g 10 m/s2，木块、小球均视为质点 )( ) A 6 cm B 15 cm C 30 cm D 34 cm 答案 BC 解析 转台以一定的角速度 匀速转动，木块所需的向心力与做圆周运动的半径 r 成正比，在离 O 点最近处 r r1时，木块有靠近 O 点的运动趋势，这时摩擦力沿半径向外，刚好达到最大静摩擦力 fm，即 mg fm M 2r1，得 r1 mg fmM 2 8 cm，同理，木块在离 O 点最远处r r2时，有远离 O 点的运动趋势，这时摩擦力的方向指向 O 点，且达到最大静摩擦力 fm
6、，即mg fm M 2r2，得 r2 mg fmM 2 32 cm，则木块能够相对转台静止，半径应满足关系式r1 r r2。 B、 C 正确。 5. (2017 开封质检 )(多选 )如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为 m 的两个物体 A 和 B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为 RA r， RB2r，与盘间的动摩擦因数 相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A此时绳子张力为 T 3mg B此时圆盘的角速度为 2gr C此时 A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D此时烧
7、断绳子， A 仍相对盘静止， B 将做离心运动 答案 ABC 解析 A 和 B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则 F m 2r， B 的运动半径比 A 的半径大，所以 B 所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时， B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心， A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，根据牛顿第二定律得：对 A 有 T mg m 2r，对 B 有 T mg m 22 r，解得： T 3mg ， 2gr ，故 A、 B、 C 正确；此时烧 断绳子， A 的最大静摩擦力不足以提供向心力，则 A 做离心运动，故 D 错误。 6.(2017 宁波联考 )如图所示
8、，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为 R，质量为 m 的带孔小球穿于环上，同时有一长为 R 的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳的最大拉力为 2mg。当圆环以角速度 绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用，则 可能为 ( ) A 3 gR B.32 gR C. 3g2R D. g2R 答案 B 解析 因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力。细绳要产生拉力，绳要处于拉伸状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为 60 。如图所示，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为 F m 2r，根据几何关系，其中 r Rsi
9、n60 一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力 分析得 Fmin mgtan60 ，即 mgtan60 m 2min【 精品教育资源文库 】 Rsin60 解得 min 2gR ；当绳子的拉力达到最大 时，角速度达到最大，同理可知，最大角速度为 max 6gR ，故只 有 B 正确。 7.如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上 O、 A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上， OA OB AB。现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运
10、动，三角形 OAB 始终在竖直平面内，若 转动过程 OB、 AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是 ( ) A OB 绳的拉力范围为 0 33 mg B OB 绳的拉力范围为 33 mg 2 33 mg C AB 绳的拉力范围为 33 mg 2 33 mg D AB 绳的拉力范围为 0 2 33 mg 答案 B 解析 当转动的角速度为零时， OB 绳的拉力最小， AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，【 精品教育资源文库 】 设为 F1，则 2F1cos30 mg， F1 33 mg，增大转动的角速度，当 AB 绳的拉力刚好等于零时， OB 绳的拉力最大，设这时 OB 绳的拉力为 F
11、2，则 F2cos30 mg， F2 2 33 mg，因此 OB 绳的拉力范围为 33 mg 2 33 mg， AB 绳的拉力范围为 0 33 mg， B 正确。 8.(2017 晋江月考 )如图所示， AB 为竖直转轴，细绳 AC 和 BC 的结点 C 系一质量为 m 的小球，两绳能承受的最大拉 力均为 2mg。当细绳 AC 和 BC 均拉直时 ABC 90 ， ACB 53 ，BC 1 m。细绳 AC 和 BC 能绕竖直轴 AB 匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为 (重力加速度 g 10 m/
12、s2， sin53 0.8， cos53 0.6)( ) A AC 5 m/s B BC 5 m/s C AC 5.24 m/s D BC 5.24 m/s 答案 B 解析 当小球线速度增至 BC 被拉直后，由牛顿第二定律 可得，竖直方向上： TAsin ACB mg ，水平方向上： TAcos ACB TB mv2r ，由 式可得： TA54mg，小球线速度增大时， TA不 变， TB增大，当 BC 绳刚要被拉断时， TB 2mg，由 可解得此时， v5.24 m/s ； BC 绳断后，随小球线速度增大， AC 线与竖直方向间夹角增大，设 AC 线被拉断时与竖直方向的夹角为 ，由 TACco
13、s mg， TACsin mv2r ， r LACsin ，可解得， 60 ， LAC53 m， v 5 m/s，故 B 正确。 9.(江苏高考 )如图所示， “ 旋转秋千 ” 中的两个座椅 A、 B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A A 的速度比 B 的大 B A 与 B 的向心加速度大小相等 C悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等 D悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小 答案 D 解析 A、 B 两个座椅都绕中心轴做匀速圆周运动，角速度相等，由于 B
14、的半径大，由 v r 可知， B 的线速度大， A 项错误；由 a r 2可知， B 的向心加速度大， B 项错误；由 F m 2r 可知， B 受到的向心力大，而向心力是由缆绳拉力的水平分力提供的，设缆绳与竖直方向的夹角为 ，即 Tsin m 2r，而竖直方向 Tcos mg，因此， tan 2rg ，因此悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角不等， C 项错误； B 的半径大所以对应的 大，由 Tcos mg 可知，对应的拉力就大， D 项正确。 10 (2016 浙江高考 )(多选 )如图所示为赛车场的一个水平 “ 梨形 ” 赛道，两个弯道分别为半径 R 90 m 的大圆弧和 r 40 m 的小圆 弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心 O、 O距离 L 100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑且绕赛道一圈时间最短 (发动机功率足够大，重力加速度 g 10 m/s2， 3.14)，则赛车 ( ) A在绕过小圆弧弯道后加速 B在大圆弧弯道上的速率为 45 m/s C在直道上的加速度大小为 5.63 m/s2 D通过小圆弧弯道的时间为 5.58 s 答案 AB 【
