1、【 精品教育资源文库 】 第 19 课时 万有引力定律及其应用 考点 1 开普勒行星运动定律 开普勒行星运动三大定律 例 1 (2013 江苏高考 )火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( ) A太阳位于木星运行轨道的中心 B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析 本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。由于火星和木星在椭圆轨道上运 行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上， A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上
2、运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，【 精品教育资源文库 】 B 错误；由开普勒第三定律可知， R3火T2火 R3木T2木 k，得T2火T2木 R3火R3木 ， C 正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此 D 错误。 答案 C 在利用 开普勒第三定律解题时，应注意 a3T2 k 中的 k 是一个与行星质量无关的常量，但不是恒量。在不同的星系中， k 值不相同， k 值是由中心天体决定的。在以后的计算中，我们都把行星的轨道近似看成圆，把卫星的运行轨道也近似看成圆，这样表达式 R3T2 k 中的 R则是轨道圆的半径。 1 (2016 全国卷 )关于行星运动的规
3、律，下列说法符合史实的是 ( ) A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C开普勒总结出了行 星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B 解析 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A 错误、 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因， C 错误；牛顿发现了万有引力定律， D 错误。 2 (2017 全国卷 )(多选 )如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P 为近日点， Q 为远日点， M、 N
4、 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、 Q 到 N 的运动过程中 ( ) A从 P 到 M 所用的时间等于 T04 B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 【 精品教育资源文库 】 D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD 解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等， A错误；从 Q 到 N 阶段，机械能守恒， B 错误；从 P 到 Q 阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小， C 正确；从 M 到 N 阶段，万有引力与速度的夹
5、角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功， D 正确。 3 (人教版必修 2 P36T 4 改编 )地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？ 答案 2062 年 解析 将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期 T1 1 年，半径为 r1；设哈雷彗星的周期为 T2，轨道半长轴为 a2， 则
6、根据开普勒第三定律 a3T2 k，有：r31T21a32T22。因为 a2 18r1，所以可知哈雷彗星的周期为T2 a32 T1r3176.4 年，则下次为 2062 年。 考点 2 万有引力定律的理解和应用 1万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与两物体的质量 m1和 m2的乘积成 正比 ， 与它们之间距离 r 的平方成 反比 。 (2)表达式： F Gm1m2r2 ，其中 G 为引力常量， G 6.6710 11 Nm 2/kg2。 卡文迪许第一个通过实验精确测量出 G 值。 (3)适用条件：严格地说，公式只适用于 质点 间的相互作
7、用，当两个物体间的距离远大于 物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中 r 是两球心 间的距离。对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力， r 为 球心到质点的距离。 2万有引力理论的主要成就： (1)发现未知天体， (2)计算天体质 量。 例 2 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图所示。一个质量一定的质点 (假设它能够在地球内部移动 )在 x 轴上各位置受到的引力大小用 F【 精品教育资源文库 】 表示，则 F 随 x 的变化
8、关系图正确的是 ( ) 解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心 x 处时，受到地球的万有引力即为半径等于 x 的球体对质点的万有引力，所以 FG 4 x33 mx2 G4 m3 x。当质点在地球球面或球面以外，离球心 x 处时，受到地球的万有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力 F GMmx2。 当 xR 时， F 与 x 成正比，当 x R 后， F 与 x 的平方成反比。所以 A 正确。 答案 A (1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。 (2)在匀质球体内部距球心 r 外，质点受到的万有引力就等于半
9、径为 r 的球体的引力。 (3)万有引力定律的表达式 F Gm1m2r2 适用于计 算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是 “ 分割求和 ” 的思想方法，此处的 “ 和 ” 是矢量和。 1对于万有引力定律的数学表达式 F Gm1m2r2 ，下列说法中正确的是 ( ) A牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量 G 的大小 B r 趋近于 0 时，万有引力趋于无穷大 C m1、 m2受到的万有引力总是大小相等 【 精品教育资源文库 】 D m1、 m2受到的
10、万有引力总是大小相等，方向相反 ，是一对平衡力 答案 C 解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量 G 的大小， A 错误；万有引力定律的表达式 F Gm1m2r2 ，适用于两个质点之间的计算。当 r0 时，两个物体都不能看成质点，上式不再成立， B 错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上， C 正确、 D 错误。 2 (人教版必修 2 P41T3 改编 )两艘轮船，质量都是 1.010 4 t，相距 10 km 它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？ (g 取值为 10 N/kg) 答案
11、6.6710 5 N 6.6710 13 解析 轮船之间的引力 F Gm1m2r2 6.6710 11 1.01071.010 7?1010 3?2 N 6.6710 5 N 轮船重力 G mg 1.010 8 N 引力与重力的比值 FG 6.6710 13。 3如图所示，在半径为 R 的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为 R 且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为 M。求挖出空穴后的铅球与距铅 球球心距离为 d、质量为 m 的小球 (可视为质点 )间的万有引力。 答案 GMm?7d2 8dR 2R2?8d2? ?d R2 2解析 可以用 “ 补偿法 ” 进行等效计算。设挖出
12、空穴前铅球与小球间的万有引力为 F1，挖出的球形实体质量为 M ，与小球间的万有引力为 F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为 F，则有 F1 F F2。设挖出空穴前铅球的体积为 V，挖出的球形实体体积为 V ，则 M VV M43 ?R2343 R3M M8，根据万有引力定律可得 F1 GMmd2， F2 GM m?d R22 G Mm8? ?d R2 2，故挖出空【 精品教育资源文库 】 穴后的铅球与小球间的万有引力 F F1 F2 GMmd2 G Mm8? ?d R2 2 GMm?7d2 8dR 2R2?8d2? ?d R2 2。 考点 3 计算天体质量与密度 1万有引力定律从动力学角
13、度解决了天体运动问题。天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律。行星 (或卫星 )的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星 (或行星对其卫星 )的万有引力提供向心力。运用万有引力定 律不仅可以计算太阳和地球的质量，还 可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。 2根据质量与密度的关系 M 43 R3可知，在已知天体半径 R 和天体质量 M 的条件下，可以计算天体的密度。 3下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法 【 精品教育资源文库 】 例 3 (2013 大纲卷 )“ 嫦娥一号 ” 是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的
14、圆形轨道上运行，运行周期为 127 min。已知引力常量 G 6.6710 11 Nm 2/kg2，月球半径约为 1.7410 3 km。利 用以上数据估算月球的质量约为 ( ) A 8.110 10 kg B 7.410 13 kg C 5.410 19 kg D 7.410 22 kg 解析 由 GMmr2 m 42T2 r 得 M4 2r3GT2 ，又 r R 月 h，代入数据得月球质量M7.410 22 kg， D 正确。 答案 D 1天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道 半径大于等于天体的半径。 2自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星 (或行星 )绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 (人教版必
