1、【 精品教育资源文库 】 第 24 课时 机械能守恒定律及其应用 考点 1 机械能守恒的判断与应用 1重力做功的特点 (1)重力做功与 路径 无关，只与初末位置的 高度差 有关。 (2)重力做功不引起物体 机械能 的变化。 2重力势能 (1)定义：物体由于 被举高 而具有的能。 (2)表达式： Ep mgh。 (其中 h 是相对于零势能面的高度 ) (3)矢标性：重力势能是 标量 ，正负表示其 大小 。 3重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 减少 ；重力对物体做负功，重力势能就 增加 。 (2)定量关系：重力对 物体做的功 10等于 物体重力势能的减少
2、量。即 WG (Ep2 Ep1)11 Ep。 4重力势能的特点 (1)系统性：重力势能是 12物体和地球 所共有的。 (2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取 13有关 ，但重力势能的变化与参考平面的选取 14无关 。 5弹性势能 (1)定义：物体由于发生 15弹性形变 而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及弹簧的劲度系数有关，弹簧的形变量 16越大 ，劲度系数 17越大 ，弹簧的弹性势能越大。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示： W 18 Ep。 6机械能守恒定律 (1)机械能： 19动能 和 20势能 统称 为机械
3、能，其中势能包括 21重力势能 和 22弹性势能 。 (2)机械能守恒定律的内容：在只有 23重力 或 24弹力 做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能 25保持不变 。 (3)常用的三种表达式 守恒式： E1 E2或 26Ek1 Ep1 Ek2 Ep2。 (E1、 E2分别表示系统初末 状态时的总机械能 ) 转化式： Ek 增 27 Ep 减 。 (表示系统势能的减少量等于动能的增加量 ) 转移式： EA 增 28 EB 减 。 (表示系统只有 A、 B 两物体时， A 增加的机械能等于 B 减少的机械能 ) 【 精品教育资源文库 】 例 1(2016 全国卷 )如图，在竖
4、直平面内有由 14圆弧 AB 和 12圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点 B 平滑连接。 AB 弧的半径为 R， BC 弧的半径为 R2。一 小球在 A 点正上方与 A 相距 R4处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动。 (1)求小球在 B、 A 两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点。 解析 (1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒得 EkA mg R4 设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 EkB mg 5R4 由 式得 EkBEkA 5 (2)若小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的竖直向下的压力
5、 FN应满足 FN0 设小球在 C 点的速度大小为 vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 FN mg mv2CR2 【 精品教育资源文库 】 由 式得 mg m2v2CR vC Rg2 全程应用机械能守恒定律得 mg R4 12mvC 2 由 式可知， vC Rg2 ，即小球恰好可以沿轨道运动到 C 点。 答案 (1)5 1 (2)见解析 (1)机械能守恒的条件绝不 是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功。 (2)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。 (3)在处理单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转
6、化观点不用选取零势能面。如例题所列关系式 、 。 1 (人教版必修 2 P78T2 改编 )下列几种运动过程中物体的机械能守恒的是 ( ) A匀速下落的雨滴 B在水中下沉的铁块 C “ 神舟十号 ” 飞船穿过大气层返回地面 D用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动 答案 D 解析 雨滴匀速下落时，必受竖直向上的阻力，且阻力做功，故雨滴机械能不守恒，在水中下沉的铁块，水的浮力做功，铁块机械能不守恒， “ 神舟十号 ” 飞船穿过大气层时，由于速度很大，空气阻力不可忽略，克服阻力做功，所以机械能不守恒， A、 B、 C 错误；用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动，虽然细线对小球有作用力
7、，但作用力方向始终和小球速度方向垂直，故只有重力对小球做功，所以机械能守恒， D 正确。 2 (人教版必修 2 P78T3 改编 ) 如图所示，在地面上以速度 v0抛出质量为 m 的物体，抛出后物体落到比地面低 h 的海平面上。若以 海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A物体到达海平面时的重力势能为 mgh B重力对物体做的功为 mgh C物体在海平面上的动能为 12mv20 mgh D物体在海平面上的机械能为 12mv20 答案 C 解析 物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零， A 错误；物体运动过程下落了 h 高度，重力做功 m
8、gh， B 错误；根据机械能守恒定律 mgh 12mv20 12mv2，即物体在海平面上的机械能 E2 12mv2 mgh 12mv20， C 正确、 D 错误。 3如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 L(L2 R)，R 远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道 (车厢间的距离不计 )。 答案 gR? ?1 4 RL 解析 当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的
9、速度为 v，列车的质量为 M，那么轨道上那部分列车的质量 M 2 RL M，在轨道上的那部分列车的平均高度为 R。 由机械能守恒定律可得： 12Mv2012Mv2 M gR 又因圆形轨道顶部车厢应满足： 【 精品教育资源文库 】 mg mv2R 联立以上三式解得： v0 gR? ?1 4 RL 。 【 精品教育资源文库 】 考点 2 多物体的机械能守恒问题 1常见多个物体组成的机械能守恒模型 两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统，是机械能守恒定律应用的常考形式，求解的关键是寻找两物体的速度关系。 按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种： (1)速率相等的连接体：如图甲所
10、示， A、 B 在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 (2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着 A、 B 两小球， O点是一垂直纸面的光滑水平轴， A、 B 在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 (3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示， A 放在光滑斜面上， B 穿过竖直光滑杆PQ 下滑，将 B 的速度 v 沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度 vx与 A 的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 2多个物体
11、组成的系统机械能守恒问题的解题思路 (1)首先 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。 (2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少， E1 E2。或系统的动能增加量等于系统势能减少量，即 Ek1 Ek2 ( Ep1 Ep2)。 例 2(2015 全国卷 )(多选 )如图，滑块 a、 b 的质量均为 m， a 套在固定直杆上，与光滑水平地面相距 h， b 放在地 面上， a、 b 通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦， a、 b可视为质点，重力加
12、速度大小为 g。则 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A a 落地前，轻杆对 b 一直做正功 B a 落地时速度大小为 2gh C a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g D a 落地前，当 a 的机械能最小时， b 对地面的压力大小为 mg 解析 当 a 刚释放时，两者的速度都为 0，当 a 落地时，沿杆的分速度为 0，即 b 最终速度为零，对系统由机械能守恒定律可知 mgh 12mv2a可得 a 落地时速度大小为 va 2gh， B正确；分析可得滑块 b 的速度先增加后减小且 b 的最终速度为 0，即轻杆对 b 先是推力后是拉力，所以轻杆对 b 先做正功，后做负功， A 错误；当轻杆
13、对 b 是拉力时，对 a 的拉力斜向下，分析可得此时 a 的加速度大于 g， C 错误； a 落地前，当 a 的机械能最小时， b 的速度最大，此时杆对 b 作用力为 0，这时 b 对地面的压力大小为 mg， D 正确。 答案 BD (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用 Ek Ep或 EA EB的形式。 列方程时，选取的表达角度不同，表达式也不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同
14、。 1如图所示，可视为质点的小球 A、 B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为 R 的光滑圆柱， A 的质量为 B 的 2 倍。当 B 位于地面时， A 恰与圆柱轴心等高。将 A由静止释放， B 上升的最大高度是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A 2R B.5R3 C.4R3 D.2R3 答案 C 解析 A 落地前， A、 B 两球构成的系统机械能守恒。如图所示，以地面为零势能面，设A 质量为 2m， B 质量为 m，根据机械能守恒定律有 2mgR mgR 123 mv2， A 落地后 B 将以速度 v 做竖直上抛运动，即有 12mv2 mgh，解得 h 13R。故 B 上升的高度为 ? ?R 13R 43R， C 正确。 2质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q 中间用轻质杆固 定连接，杆长为 L，在离 P 球L3处有一个光滑固定轴 O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针
