1、空间向量运算的坐标表示学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点：空间向量的运算的坐标表示重点：空间向量的运算的坐标表示难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角xyzO右手系 空间坐标系包括原点O,x 轴,y 轴,z 轴.记作：空间直角坐标系O-xyz.空间直角坐标系共有八个卦限新知初探思维启动新知初探思维启动1.1.向量加减法和数乘的坐标表示向量加减法和数乘的坐标表示(1)(1)加减法和数乘的坐标表示加减法和数乘的坐标表示若若a a(x x1 1，y y1 1，z z1 1)，b b(x x2 2，y y2 2，z z2 2)，则，则a ab
2、 b_，a ab b_；a a(xx1 1，y y1 1，z z1 1)()(R)R)(x1x2，y1y2，z1z2)(x1x2，y1y2，z1z2)用文字叙述为：用文字叙述为：空间两个向量和空间两个向量和(差差)的坐标等于它们的坐标等于它们_；实数与空间向量数乘的坐标等于实数与空间向量数乘的坐标等于_的乘积的乘积对应坐标的和对应坐标的和(差差)实数与实数与向量对应坐标向量对应坐标做一做做一做3.3.设设a a(1(1，y y，2)2)，b b(2 2，4 4，z z)，若若a ab b，则，则y y_，z z_答案：答案：2 24 4差差2.2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示数量积及空
3、间向量长度与夹角的坐标表示(1)(1)数量积的坐标表示数量积的坐标表示设空间两个非零向量为设空间两个非零向量为a a(x x1 1，y y1 1，z z1 1)，b b(x x2 2，y y2 2，z z2 2)，则，则a ba b_空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之乘积之_x1x2y1y2z1z2和和做一做做一做4.4.已知已知a a(1(1，5 5，6)6)，b b(0(0，6 6，5)5)，则，则a a与与b b()A A垂直垂直 B B不垂直也不平行不垂直也不平行C C平行且同向平行且同向 D D平行且反向平行且反向解析：选解析：选A.A
4、.a a b b(1(1，5 5，6)(06)(0，6 6，5)5)5 56 65 56 60.0.a ab b.5.5.设设a a(1(1，0 0，1)1)，b b(1(1，2 2，2)2)，则则a a，b b_典题例证技法归纳典题例证技法归纳空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 已知已知a a(2(2，1 1，2)2)，b b(0(0，1 1，4)4)，求，求(1)(1)a ab b；(2)(2)a ab b；(3)(3)a a b b；(4)2(4)2a a(b b)；(5)(5)(a ab b)()(a ab b)【解解】(1)(1)a ab b(2(2，1 1，2)2)(0(0，1
5、1，4)4)(2(2，2 2，2)2)(2)(2)a ab b(2(2，1 1，2)2)(0(0，1 1，4)4)(2(2，0 0，6)6)(3)(3)a a b b(2(2，1 1，2)(02)(0，1 1，4)4)7.7.(4)2(4)2a a(b b)2(22(2，1 1，2)2)(0(0，1 1，4)4)(4(4，2 2，4)(04)(0，1 1，4)4)14.14.(5)(5)(a ab b)()(a ab b)(2(2，2 2，2)(22)(2，0 0，6)6)8.8.【点评点评】牢记运算法则是正确计算的关键牢记运算法则是正确计算的关键 向量平行、垂直的坐标表示向量平行、垂直的坐标
6、表示【点评点评】(1)(1)解决空间向量的平行问题，可以解决空间向量的平行问题，可以根据题设条件，灵活运用空间向量平行的条根据题设条件，灵活运用空间向量平行的条件件a abb(注意注意b b是否为是否为0)0)来求解来求解(2)(2)依据向量垂直求参数，利用两向量对应坐依据向量垂直求参数，利用两向量对应坐标乘积的和为标乘积的和为0 0转化为坐标运算较易获解转化为坐标运算较易获解变式训练变式训练2.2.已知向量已知向量a a(4(42 2mm，mm1 1，mm1)1)与与b b(4(4，2 22 2mm，2 22 2mm)平行，则平行，则mm_答案：答案：1 1或或3 3向量的模长、夹角的坐标求
7、向量的模长、夹角的坐标求法法提醒：提醒：建系时，充分利用几何体系中的垂直关系建系时，充分利用几何体系中的垂直关系【点评点评】将空间向量的运算与向量的坐标将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以用夹角公式和模长表示结合起来，不仅可以用夹角公式和模长公式解决夹角和距离的计算问题，还可以使公式解决夹角和距离的计算问题，还可以使一些问题的解决变得简单一些问题的解决变得简单1.1.已知已知A A(4(4，1010，9)9)，B B(3(3，7 7，5)5)，C C(2(2，4 4，1)1),D D(10(10，1414，17)17)，MM(1(1，0 0，1)1)，N N(4(4，4 4，6)
8、6)，Q Q(2(2，2 2，3)3)(1)(1)求证：求证：A A，B B，C C三点共线；三点共线；(2)(2)求证：求证：MM，N N，Q Q，D D四点共面四点共面2.2.已知已知a a，b b满足满足2a2ab b(1 1，4 4，3)3)，a a2 2b b(2(2，4 4，5)5)，求，求a a，b b的坐标的坐标(4)2a(b)；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之_记作：空间直角坐标系O-xyz.要证l1l2，只需证ab，且无公共点，即证a1a2，b1b2，c1c2(R)如列2.C平行且同向 D平行且反向C平行且同向 D平行且反向建系时，充分利用几何体系中的垂直关系数
9、量积及空间向量长度与夹角的坐标表示证明线线垂直(或平行)：已知向量a(42m，m1，m1)与b(4，22m，22m)平行，则m_证明线线垂直(或平行)：(3)ab(2，1，2)(0，1，4)7.向量平行、垂直的坐标表示证明线线垂直(或平行)：空间向量运算的坐标表示，实际上就是转化为实数的运算向量的加减即将对应坐标进行加减，数乘向量即将数与向量对应坐标相乘，数量积即将对应坐标乘积后求和，牢记运算法则是正确计算的关键如例1.A垂直 B不垂直也不平行D(10，14，17)，M(1，0，1)，N(4，4，6)，方法技巧方法技巧1.1.空间向量运算的坐标表示，实际上就是转空间向量运算的坐标表示，实际上就
10、是转化为实数的运算向量的加减即将对应坐标化为实数的运算向量的加减即将对应坐标进行加减，数乘向量即将数与向量对应坐标进行加减，数乘向量即将数与向量对应坐标相乘，数量积即将对应坐标乘积后求和，牢相乘，数量积即将对应坐标乘积后求和，牢记运算法则是正确计算的关键如例记运算法则是正确计算的关键如例1.1.2.2.证明线线垂直证明线线垂直(或平行或平行)：在空间的两直线在空间的两直线l l1 1，l l2 2上，分别取对应向量上，分别取对应向量a a(a a1 1，b b1 1，c c1 1)，b b(a a2 2，b b2 2，c c2 2)要证要证l l1 1l l2 2，只需证，只需证a ab b，即证，即证a a b b0 0，也就是，也就是证明证明a a1 1a a2 2b b1 1b b2 2c c1 1c c2 20 0；要证要证l l1 1l l2 2，只需证，只需证a ab b，且无公共点，即证，且无公共点，即证a a1 1 a a2 2，b b1 1 b b2 2，c c1 1 c c2 2(R)R)如列如列2.2.失误防范失误防范知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
