1、 高三数学 5 月三模试卷 高三数学 5 月三模试卷一、单选题一、单选题1若复数 z 满足，则复数的虚部为（）ABCD2设集合，则（）ABCD3抛物线的准线方程是（）ABCD4几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）ABC16D325的展开式中项的系数为（）A-120B-40C80D2006已知，则的值为（）ABCD7已知函数的导函数为.若，且，则（）ABCD82021 年 4 月 12 日，四川省三星堆遗址考古发据 3 号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经
2、科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图 1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图 2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为 25cm，最小横截面的直径为 20cm，则该双曲线的离心率为（）AB2CD二、多选题二、多选题9新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下
3、列结论正确的是（）A甲同学的体温的极差为 0.5B甲同学的体温的众数为 36.3C乙同学的体温的中位数与平均数不相等D乙同学的体温比甲同学的体温稳定10已知实数 m，n 满足，则下列结论正确的是（）ABCD11在平面四边形中，则（）ABCD12在直四棱柱中，所有棱长均 2，P 为的中点，点 Q 在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A当点 Q 在线段上运动时，四面体的体积为定值B若平面，则 AQ 的最小值为C若的外心为 M，则为定值 2D若，则点 Q 的轨迹长度为三、填空题三、填空题13已知随机变量，.14命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .15某牧场 2022 年年初牛的存
4、栏数为 1200，计划以后每年存栏数的增长率为 20%，且在每年年底卖出 100 头牛，按照该计划预计 年初的存栏量首次超过 8900 头.（参考数据：，）16已知函数（且），若对任意的，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围为 .四、解答题四、解答题17已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且.（1）求角 B；（2）若 b=4，求周长的最大值.18设数列的前 n 项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前 15 项的和.19为迎接 2022 年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”
5、的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.附：经验回归方程：中，；参考数据：，.（1）为了解活动效果，该年级对开展活动以来近 6 个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到 0.01），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至 10 人以下？月份123456体重超标人数9877544832274.584.373.983.873.463.29（2）在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、三名队员之间传递，假设每名
6、队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：控球队员接球队员概率若传球 3 次，记队员控球次数为，求的分布列及均值.20已知四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 CD 的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面平面 ABCE.（1）求证：；（2）试判断在线段 PB 上是否存在点 F，使得平面 AEF 与平面 AEP 的夹角为 45.若存在，试确定点 F 的位置；若不存在，请说明理由.21已知椭圆 C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M 为 C 上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过的直线 l 交椭
7、圆 C 于 D，E 两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点 Q 在一条平行于 x 轴的直线上.22已知函数，.（1）当 b=1 时，讨论函数的单调性；（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数 m 的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】B2【答案】A3【答案】C4【答案】B5【答案】B6【答案】A7【答案】D8【答案】D9【答案】A,B,D10【答案】A,C11【答案】A,B,D12【答案】A,B,D13【答案】14【答案】15【答案】203616【答案】17【答案】（1）解：因为，则，在中，由正弦定理得，而，即，整理得，即，又，解得，所以.（2）解：在中，由余弦定理得
8、：，即，而，于是得，当且仅当 a=c=4 时取“=”，因此，当 a=c=4 时，a+c 取最大值 8，从而 a+b+c 取最大值 12，所以周长的最大值为 12.18【答案】（1）解：由得，当 n=1 时，解得.当 n2 时，从而，即，因此数列是等比数列，其首项和公比都等于 2，所以.（2）解：当 n 为奇数时，当 n 为偶数时，所以数列的前 15 项和为.19【答案】（1）解：由得.由题意得，所以，.所以，即关于的经验回归方程为.令，所以，解得.由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至 10 人以下.（2）解：由题意得的可能取值为、，所以的分布列为012所以，.20【答案】（
9、1）证明：因为四边形 ABCD 为平行四边行，且为等边三角形，所以BCE=120.又 E 为 CD 的中点，所以 CE=ED=DA=CB，即为等腰三角形，所以CEB=30.所以AEB=180AEDBEC=90，即 BEAE.又因为平面 AEP平面 ABCE，平面平面 ABCE=AE，平面 ABCE，所以 BE平面 APE，又平面 APE，所以 BEAP.（2）解：取 AE 的中点 O，连接 PO，由于为正三角形，则 POAE，又平面 APE平面 ABCE，平面平面 ABCE=AE，平面 EAP，所以 PO平面 ABCE，取 AB 的中点 G，则，由（1）得 BEAE，所以 OGAE，以点 O
10、为原点，分别以 OA，OG，OP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 0（0，0，0），A（1，0，0），E（1，0，0），则，假设存在点 F，使平面 AEF 与平面 AEP 的夹角为 45，设，则，设平面 AEF 的法向量为，由得，取 z=2，得；由（1）知为平面 AEP 的一个法向量，于是，解得或=1（舍去），所以存在点 F，且当点 F 为线段 PB 的靠近点 P 的三等分点时，平面 AEF 与平面 AEP 的夹角为 45.21【答案】（1）解：由椭圆 C 的离心率为得，由椭圆的几何性质知，当 M 为椭圆上（或下）顶点时，的面积最大，又，结合可
11、解得，所以椭圆 C 的方程为.（2）证明：由过的直线 l 不过，可设其直线方程为，把代入，得，即，设，则，直线的方程为，直线的方程为，设直线和的交点为，则，把及代入上式，得，整理得，故点 Q 在一条平行于 x 轴的直线上，得证.22【答案】（1）解：当 b=1 时，定义域为（0，+），.当时，所以函数在（0，+）上单调递减.当时，令，得；令，得，所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.综上，当时，函数在（0，+）上单调递增，当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.（2）解：因为函数在处的切线方程为 y=(e1)x2，所以，且，由于，所以解得 a=b=1，所以 f(x)=lnxx，所以 f(x)g(x)即，等价于对 x0 恒成立，即对 x0 恒成立.令，所以，.令，则恒成立，所以 G(x)在（0，）上单调递增.由于 G(1)=e0，所以使得，即，（）所以当时，G(x)0，即 F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，由（）式可知，令，又 x0，所以，即 s(x)在（0，+）上为增函数，所以，即，所以，所以所以，实数 m 的取值范围为（，1.
