1、 高三数学模拟考试(三模)试卷 高三数学模拟考试(三模)试卷一、单选题一、单选题1已知集合,则()ABCD2已知 为虚数单位,复数满足,则的虚部为()A1B-1CD3已知双曲线:的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()ABC2D4随着北京冬奥会的开幕,吉祥物“冰墩墩”火遍国内外,现有 3 个完全相同的“冰墩墩”,甲、乙、丙、丁 4 位运动员要与这 3 个“冰墩墩”站成一排拍照留念,则有且只有 2 个“冰墩墩”相邻的排队方法数为()A240B480C1440D28805已知二次函数的值域为,则的最小值为()A-3B3C-4D46已知,则()ABCD7若一个正六棱柱既有外接球又有内切球,则
2、该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()ABCD8若函数为偶函数,对任意的,且,都有,则()ABCD二、多选题二、多选题9在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有 20000 人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计,样本容量为.按照,的分组作出频率分布直方图如图所示.其中,成绩落在区间内的人数为.则下列结论正确的是()A样本容量B图中C估计该市全体学生成绩的平均分为 70.6 分D该市要对成绩由高到低前 20%的学生授予“优秀学生”称号,则成绩为 78 分的学生肯定能得到此称号10已知函数的部分图象如
3、图所示,则下列结论正确的是()A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B直线是图象的一条对称轴C若,则的最小值为D直线与函数在上的图象有 7 个交点11已知直线与圆交于、两点,且为锐角(其中为坐标原点),则实数的取值可以是()A5B6C7D812已知正项数列的前项和为,若,数列的前项和为,则下列结论正确的是()A是等差数列BCD满足的的最小正整数解为 10三、填空题三、填空题13设随机变量,若,则 .14已知函数,则 .15在边长为的等边中,已知,点在线段上,且,则 .16已知抛物线:的焦点为,过点的直线 与抛物线交于两点,且,则 ;设点是抛物线上的任意一点,点是的对称轴与准线的交点,则的最大
4、值为 .四、解答题四、解答题17已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)在锐角中,若,求的面积.18已知等差数列的前项和为,且,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(2)记,求数列的前项和.19如图 1,在平行四边形中,以对角线为折痕把折起,使点到达图 2 所示点的位置,且.(1)求证:;(2)若点在线段上,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.20某娱乐节目闯关游戏共有三关,游戏规则如下:选手依次参加第一、二、三关,每关闯关成功可获得的奖金分别为 600 元、900 元、1500 元,奖金可累加;若某关闯关成功,选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金,也可以选择继续闯关;若有任何一关闯关失败,
5、则连同前面所得奖金全部归零,闯关游戏结束,选手小李参加该闯关游戏,已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为,第一关闯关成功选择继续闯关的概率为,第二关闯关成功选择继续闯关的概率为,且每关闯关成功与否互不影响.(1)求小李第一关闯关成功,但所得总奖金为零的概率;(2)设小李所得总奖金为,求随机变量的分布列及其数学期望.21已知椭圆的左、右顶点分别为、,点是椭圆的右焦点,点在椭圆上,且的最大值为,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点的直线与椭圆交于另一点(异于点),与直线交于一点,的角平分线与直线交于点,求证:点是线段的中点.22已知函数,.(1)当时,证明:;(2)若函数在内有零点,
6、求实数的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】D3【答案】A4【答案】B5【答案】B6【答案】D7【答案】C8【答案】A9【答案】B,C10【答案】B,C,D11【答案】B,C12【答案】A,C,D13【答案】0.514【答案】15【答案】16【答案】;17【答案】(1)解:因为.所以,函数的最小正周期为.(2)解:因为,所以,因为,则,可得,由余弦定理可得,即,因为,解得,此时,为最长边,角为最大角,此时,则角为锐角,所以,.18【答案】(1)解:设等差数列的公差为,则,解得,所以,当时,当时,可得,上述两个等式作差可得,也满足,故对任意的,.(2)解:由(1)可得,设,所
7、以,所以,数列是等比数列,且首项为,公比为,因此,数列的前项和为.19【答案】(1)证明:在中,由余弦定理可得,所以,又因为四边形为平行四边形,所以,在中,则,因为,平面,平面,.(2)解:因为,平面,以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则、,设,其中,设平面的法向量为,则,取,可得,易知平面的一个法向量为,由已知可得,因为,解得,所以,为的中点,因此,.20【答案】(1)解:根据题意得,小李第一关闯关成功,但所得总奖金为零的事件分为两类情况:第一种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关失败,其概率为:;第二种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关成功,第三关闯关
8、失败,其概率为:;记“小李第一关闯关成功,但所得总奖金为零”为事件:则.(2)解:根据题意得:的可能取值为:0,600,1500,3000,所以,所以的分布列为:060015003000所以的期望为:.21【答案】(1)解:由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为.(2)证明:由对称性,不妨设点在轴上方.当直线的斜率存在时,因为的角平分线为,所以,所以,即,设直线的方程为,其中,联立可得,设点,则,所以,则,即点,所以,设直线的方程为,则点、,因为,则,整理可得,因为,所以,所以,所以,点为线段的中点;当直线的斜率不存在时,不妨设点,则直线的方程为,所以点,又因为直线的方程为,所以点,所以,点为线段的中点.综上可知,点为线段的中点.22【答案】(1)证明:当时,设,由,可得在单调递减,在单调递增,所以,则,即;(2)解:函数,若函数在内有零点,则函数在内至少有两个极值点,即在内至少有两个变号零点.,等价于在内至少有两个变号零点,当或时,或恒成立,则在上单调,不合题意;当时,由,可得在单调递减,在上单调递增,所以当时,在内有两个变号零点且最多两个,即,令,设,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,即在上恒成立,所以.此时即有两个零点,设为,当和时,单调递增,当时,单调递减,所以,则在上有零点,综上可得:.