1、1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 导导 数数 第二章 1.4 高阶导数高阶导数1.3 参数式函数与隐函数的导数参数式函数与隐函数的导数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则1.41.4一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n
2、阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 或)()(xfxf高阶导数高阶导数xxfxxfxfyx )()(lim)(0 xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(统称为高阶导数.)(xf 称为一阶导数，)1()()(nxfn机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(23
3、3xa例例1.思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束!)()(nxnn特别地,3xaeay 例例2.设求解解:特别有:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xannxaeae)()(nx)1(例例3.解解:!)1(n规定 0!=1思考思考:设,)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,机动 目录 上页 下页 返
4、回 结束 nx)1(!)1(n)()1ln(nx1)1(n例例4.设,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 几个常用的高阶求导公式几个常用的高阶求导公式 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 xannxaeae)()(xxnsin()(sin)()2nxxncos()(cos)()2nxnxee)()(nxnxaaa)(ln)()(几个常用的高阶求导公式几个常用的高阶求导
5、公式 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxnx)1()2)(1()()(nx)1(!)1(n)()1ln(nx1)1(nnnxnx)1)(1()2)(1()1()(nx)1(!)1(n)()1ln(nx)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan!)()(nxnn例例5.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(f0)12(xx0)0(f0)24(xx0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存
6、在._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 vvuu)0()0(,其中vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹
7、公式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(!1)(nxnynnxxy11)1(xxy1)2(3解解:解解:求下列函数的 n 阶导数.2312xxy(3)解解:1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny)(1nxa1)(!nxan)(1nxa1)(!)1(nnxan不能直接用除法相比X3-1+1例例7.,22xexy 求.)20(y解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe21922
8、0 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 0!2)1()1(nynn)(nyn例例8.设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(
9、y得)0(!)2()1()0()12(ymymm机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束.,cossin)(66nyxxy求3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题 1.cos(kx)(n
10、)=k(n)coskx+n22.反函数的高阶导数反函数的高阶导数yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 试从解解:设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf3.x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin()(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin)(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos
11、22xfxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.31.3二、隐函数的导数二、隐函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 参数式函数与隐函数的导数参数式函数与隐函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数设xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt关系,求机动 目录 上页 下页 返回 结束.ddxy0)()(,)(,)(ttttx存在，且严格单调，有于是可导则)(,)(11xyxtxydd)()(tt若上述参数方程中)(,)(t
12、t二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(1t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束)(1)()(ttt22ddxy22ddxy表示Y的二阶导数)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例1.设tytxarctan)1ln(2求.dd,22xyxdyd已知解解:注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdydxdydxy22dd211t212ttt 21tdyd tdxd212tt221
13、t3241ttdydydt=d(12t)dt=(12t)df(x)dx=f(x)X例例2.设)(tfx,且,0)(tf求.dd33xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd33xy)(tf )(1tf)(tf 2)()(tftf 3)()(tftf 31xy二、隐函数的导数二、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐
14、函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 对y取过导的都要乘上y?例例4.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为3
15、23y43)2(x即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设)(xyy 由方程0 yxey确定,解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey解得2)(xeyy xeyyy，两边再对 x 求导，有上式中代入 求机动 目录 上页 下页 返回 结束.dd22xy)(xeyy)1(yeyyxeyyy并化简，有3222)(22ddxeeyxyyexyyyy例例6.设)(xyy 由方程1lnyyx确定,)1(y 解解:方程两边对 x 求导,得0yyyxy再求导,得 y yxy02 yyyyy当1x时,1y故由 得21)1(y再代入 得85)1(y 求机动 目录 上页 下页 返回 结束
16、 例例7.求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 另解另解:)(lnsinxxeyxxelnsin)sinlncos(xxxx 1)对幂指函数vuy 可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv)(lnuvey说明说明:或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例例8)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb b
17、axaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束,求01sin232ytettxy.dd0txy解解：txddyetydd0ddtxy例例10.设方程组两边同时对 t 求导,得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1(cos
18、tyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M 切线方程为22xy2机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P82 37,39,41,51,58,66,7
19、1,73 74,77,79,87.(3),91.P84 93.(1),95,96,108,111,117 125,129,133,138第五节 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd练习题练习题xe111.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束
