1、第三节第三节 四边简支的矩形薄板在均布压力下四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲的压曲第二节第二节 薄板的压曲薄板的压曲第一节第一节 薄板受纵横荷载的共同作用薄板受纵横荷载的共同作用第四节第四节 圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲 第五节第五节 用能量法求临界载荷用能量法求临界载荷 第六节第六节 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 当薄板仅受横向荷载作用时当薄板仅受横向荷载作用时,按按薄板小挠度薄板小挠度弯曲理论弯曲理论求解。求解。6-1 薄板受纵横荷载的共同作用 当当薄板仅受纵向荷载作用时薄板仅受纵向荷载作用时,按按平面应力问平面应力问题题求解。求解。当薄板受纵横荷载共同作用时当薄板受纵
2、横荷载共同作用时,若纵向荷载很若纵向荷载很小小,中面内力也横小中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。可不计其对薄板弯曲的影响。叠加叠加原理成立。原理成立。当薄板受纵横荷载共同作用时当薄板受纵横荷载共同作用时,若中面内力并若中面内力并非很小非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加叠加原理不成立。原理不成立。考虑薄板任一考虑薄板任一微分块的平衡。微分块的平衡。由通过微分块中由通过微分块中心而平行于心而平行于z z轴的力轴的力矩平衡，有矩平衡，有:0 ,0 xFyFyFxFTxyTyTyxTx(6-1)(6-1)由由x x和和y y方向的投影平衡方向的投影平衡
3、,有有:TxyTyxFF由由z z方向的投影平衡方向的投影平衡:计入计入横向剪力、中面拉压力横向剪力、中面拉压力、中面平错力、中面平错力的的影响（略去三阶微量），有：影响（略去三阶微量），有：qywFyxwFxwFwDTyTxyTx)2(222224(6-2)(6-2)具体求解：具体求解：SySxxyyxTxyTyTxxyyxFFMMMwFFF、弯曲内力求由挠度求、中面内力求按平面应力问题、求2)-(6qywFyxwFxwFwDTyTxyTx)2(222224 平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。6-2 薄板的压曲薄板的压曲 稳定的平面平衡状态：薄板受横
4、向干扰力而弯稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。不不稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去后薄板无法恢复平面平衡状态。后薄板无法恢复平面平衡状态。薄板在边界上受有纵向荷载时：薄板在边界上受有纵向荷载时：薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态，称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。薄板的压曲 当纵向荷载达到临界值后当纵向荷载达到临界
5、值后,荷载的稍许增加将荷载的稍许增加将引起位移和内力的急剧增大引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。甚至导致薄板的破坏。薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要分析内容。分析内容。临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载的最小值。的最小值。薄板的压曲 薄板压曲的微分方程：薄板压曲的微分方程：求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。0)2(2222
6、24ywFyxwFxwFwDTyTxyTx(6-3)(6-3)设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为布压力，在板边的每单位长度上为 ，试确定临，试确定临界荷载。界荷载。6-3 四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲 算例分析xF 算例分析中面内力有：中面内力有：由压曲微分方程（由压曲微分方程（6-36-3），得：），得：0224xwFwDx0,0,TxyTyxTxFFFF取挠度表达式为：取挠度表达式为：11sinsinmnmnbynaxmAw满足边界条件满足边界条件 算例分析由压曲微分方程，得：由压曲微分方程，得：要使系数要
7、使系数 不全等为零，要求：不全等为零，要求：22222222)(mbnamDaFx纵向荷载临界值需满足的压曲条件：纵向荷载临界值需满足的压曲条件：11222222220sinsin)(mnxmnbynaxmamFbnamDA0)(22222222amFbnamDxmnA（6-46-4）要求最小的临界荷载，要求要求最小的临界荷载，要求 ，即在，即在y y方向只有一个正弦半波。得：方向只有一个正弦半波。得：1n22)(bDkFCx其中：其中：21ambambk 算例分析（6-56-5）（6-66-6）由此求得：由此求得：222)()(2/baabbDFbacx 算例分析（6-76-7）22)5.4
8、0.4()(2/bDFbacx 若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：0,TxyxTyxTxFFFFF设：算例分析由压曲微分方程有：由压曲微分方程有：22222222222)(banmbanmaDFx求得：0)(22224ywxwFwDx（6-86-8）对不同的比值对不同的比值 ，均可，均可由式（由式（6-86-8）中取不同的）中取不同的m m和和n n，求得临界荷，求得临界荷载载 。xyFFba/及 算例分析 当当 为拉力时，为拉力时，取负值，式（取负值，式（6-86-8）求临界荷载仍适用。求临界荷载仍适用。yFcxF)(针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利
9、用坐标变针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。6-4 圆形薄板的压曲 圆形薄板的压曲 应力分量的变换：应力分量的变换：)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyyx压曲微分方程中面内力的变换：中面内力的变换：)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222TTTTxyTTTTyTTTTxFFFFFFFFFFFF压曲微分方程的变换：压曲微分方程的变换：0)11()1(2)11(22222222222wwFwwFwFwD
10、TTT（6-96-9）例题例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力 的的 作用，求临界荷载。作用，求临界荷载。中面内力：中面内力：F解：按平面应力问题进行分析。解：按平面应力问题进行分析。得应力分量：得应力分量：0 ,F0 ,TTTFFFF 当当 ，薄板的环向围线分别具有一个及，薄板的环向围线分别具有一个及两个波，其余类推。两个波，其余类推。例题由压曲微分方程（由压曲微分方程（6-96-9），有：），有：注：注：当当 ，薄板的压曲形式是轴对称的。，薄板的压曲形式是轴对称的。011)11(22222222222wwwFwD试取微分方程的解为：试取微分方程的解为
11、：。210 cos)(，nnFw其中：0n、21n例题由压曲微分方程得：由压曲微分方程得：注：注：引入量纲一的变量引入量纲一的变量22223344)()21()(2)(dFdDFndFddFdDFx/，其中0)()4()()121(2244232FDFnnnddFDFn 整理后得：整理后得：例题 已知已知BesselBessel微分方程微分方程)()()(21xNCxJCxFnn0)()4(3222222222FnxdxdFxdxFdxndxdxdxdx0)(22222FnxdxdFxdxFdx其解为：其解为：2 ()()nBesselnnJxC Nx其中和分别为实宗量 阶的第一种和第二种函数
12、 由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系数数 。由此得：由此得：例题nnnnxCxCxNCxJCxF4321)()()(压曲微分方程的解可表示为：压曲微分方程的解可表示为：41 CCnxCxCxNCxJCwnnnncos)()(4321（6-106-10）这样，压曲微分方程（这样，压曲微分方程（6-96-9）的解为：）的解为：在薄板中心处：在薄板中心处：例题wx0042CC（6-116-11）nxCxJCwnncos)(31 结论：结论：利用板边的两个边界条件，由（利用板边的两个边界条件，由（6-116-11）得出）得出关于的一组两个齐次线性方程。命该方程
13、组的系数行列关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，即为计算临界荷载的方程。式等于零，即为计算临界荷载的方程。0)11()1(2)11(22222222222wwFwwFwFwDTTT求解过程 说明：说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边和孔边同时均布压力时，其求解过程为：和孔边同时均布压力时，其求解过程为：求中面内力）压曲微分方程（96解答由Lame求得临界荷载Bessel 利用函数求解2222222222211()1112()()0TTTDwwwwwwFFF 薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:6-5 用能
14、量法求临界荷载 能量法 若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态,在干扰力除去后在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。它是否恢复原来的平面状态。薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别:当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增加还是减少。加还是减少。若势能增加：若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小，表明该平面状态下的势能为极小，对应于对应于稳定平衡稳定平衡。能量判据若势能减少：若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大，表明该平面状态下的势能为极大，对应于对应于不稳定平衡不稳定平衡
15、。若势能保持不变：若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳表明该平面状态下的平衡是稳 定平衡的极限，相应与这一极限状定平衡的极限，相应与这一极限状 态的纵向荷载则为态的纵向荷载则为临界荷载临界荷载。由能量法求临界荷载的依据：由能量法求临界荷载的依据：能量判据 薄板从平面状态进入邻近的弯曲状薄板从平面状态进入邻近的弯曲状态时，纵向荷载所做的功等于形变势能态时，纵向荷载所做的功等于形变势能的增加。的增加。形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。功能方程功能方程：功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。其中其中弯曲形
16、变势能弯曲形变势能：0WV（6-126-12）dxdyyxwywxwwDV22222222122dxdywDV222（6-136-13）（6-146-14）以以 为例，分析其做功：为例，分析其做功：能量法纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。对图示薄板：对图示薄板：dxxwdxdxxwdxxwdxxwdx222122122)(21)(211 )(1)(左右两边的内力左右两边的内力 原来相距原来相距 ，当薄板弯曲后的距离为：，当薄板弯曲后的距离为：dxdyFTxdyFTx同理，内力同理，内力 所做的功为：所做的功为：能量法内力内力 所做的功为：所做的功为
17、：22111a22TxTxwwdWF dydxFdxdyxx（）dyFTxdxFTy22211b22TxTywwdWF dxdyFdxdyyy（）可先按可先按 方向的方向的拉压力和伸缩拉压力和伸缩，然后利用，然后利用（a）和（）和（b）计算，得到：）计算，得到：能量法对于平错力对于平错力 所做的功为：所做的功为：dxFdyFTyxTxy和045dxdyywxwFdWTxy322111a22TxTxwwdWF dydxFdxdyxx（）22211b22TxTywwdWF dxdyFdxdyyy（）纵向荷载在压曲过程中整体做功：纵向荷载在压曲过程中整体做功：能量法微分块上全部中面内力做功微分块上全
18、部中面内力做功:dxdyywxwFywFxwFdWTxyTyTx22122dxdyywxwFywFxwFWTxyTyTx22122（6-156-15）能量法 求解过程求解过程:求中面内力表达式设定薄板压曲后的挠度满足位移边界条件WV 和纵向荷载做功求形变势能求临界荷载由最小势能原理 其中其中 满足位移边界条件的函数，而满足位移边界条件的函数，而 是互是互不依赖的待定系数。不依赖的待定系数。由由最小势能原理最小势能原理，有：，有：能量法具体求解：具体求解：mmmwCwmC（6-166-16）mw 设定挠度表达式：设定挠度表达式：0)(WVCm（6-176-17）由（由（6-17）给出求）给出求
19、的的m个齐次线性方程。个齐次线性方程。为了为了 具有非零解，即要求具有非零解，即要求 具有非零具有非零解，那么该齐次线性方程组的系数行列式等于解，那么该齐次线性方程组的系数行列式等于零，则得到求解临界荷载的方程。零，则得到求解临界荷载的方程。能量法mCwmC0)(WVCm 对于加肋板，仍然可按能量法求解。对于加肋板，仍然可按能量法求解。计入肋条的形变势能，归入计入肋条的形变势能，归入 的表达式。的表达式。能量法V 倘若肋条有直接纵向荷载作用，应计入该纵向倘若肋条有直接纵向荷载作用，应计入该纵向荷载在薄板压曲过程中所做的功，归入荷载在薄板压曲过程中所做的功，归入 的表达的表达式。然后再进行计算。
20、式。然后再进行计算。W6-6 能量法求解实例 能量法 中面内力为：中面内力为：例题例题1 1：设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为有均布压力，在板边的每单位长度上为 ，试确，试确定临界荷载。定临界荷载。xF0,0,TxyTyxTxFFFF 实例 形变势能：形变势能：设取压曲后挠度表达式：设取压曲后挠度表达式：112222224)(8mnmnbnamAabDV11sinsinmnmnbynaxmAw 外力做功：外力做功：112200228)(2mnmnxabxmAFabdxdyxwFW 实例最小势能原理，有：最小势能原理，有：
21、028)(2822222224mAFabbnamAabDmnxmn0)(WVAmn22222222)(mbnamDaFx求得：命系数行列式等于零 例题 取挠度表达式取挠度表达式（仅取一项）：（仅取一项）：例题例题2 2：设有四边简支的矩形薄板，它的一对边中设有四边简支的矩形薄板，它的一对边中点受有大小相等而方向相反的两个集中力均布压力点受有大小相等而方向相反的两个集中力均布压力 作用。作用。FbyaxAwsinsin11 实例 形变势能：形变势能：2222114)11(8baAabDV 外力做功：外力做功：42cos2 sinsin2 2211202211220221122022AbFdyyA
22、bFdybyaxAbFdyywFWbbaxbax 实例最小势能原理，有：最小势能原理，有：024)11(28112222114AbFbaAabD0)(11WVA22)(2 abbaaDFFC求得：命系数行列式等于零 例题 若取挠度表达式（取两项）：若取挠度表达式（取两项）：byaxAbyaxAwsin3sinsinsin3111 形变势能：形变势能：2222312222114)19()11(8baAbaAabDV 外力做功：外力做功：)(42231112022AAbFdyywFWbax 实例最小势能原理：最小势能原理：0)(24)19(280)(24)11(283111222231431112
23、222114AAbFbaAabDAAbFbaAabD 0)(0)(3111WVAWVA、0)9(20)(2312211311122AabbaaDFFAFAAabbaaDF简化 实例命系数行列式等于零：命系数行列式等于零：22222)9()()9()(2 abbaabbaabbaabbaaDFFC求得：0)9(2)(22222abbaaDFFFabbaaDF 实例讨论（讨论（）：）：aDFC/221/baaDFC/92.12aDFC/91.12（1 1）当挠度仅取一项）当挠度仅取一项（2 2）当挠度取两项）当挠度取两项（3 3）当挠度取三项或更多项）当挠度取三项或更多项 实例 结论：结论：（1
24、1）当薄板在两对边上受有任意多个成对的、）当薄板在两对边上受有任意多个成对的、大小相等而方向相反的纵向荷载时，均可大小相等而方向相反的纵向荷载时，均可 用能量法求解临界荷载。用能量法求解临界荷载。（2 2）若两对边荷载分布方式相同、大小相等而）若两对边荷载分布方式相同、大小相等而 方向相反，也可求得临界荷载。方向相反，也可求得临界荷载。例题 取挠度表达式取挠度表达式（仅取一项）：（仅取一项）：例题例题3 3：设有三边简支、一边自由的矩形薄板，在设有三边简支、一边自由的矩形薄板，在两简支对边上受有均布压力两简支对边上受有均布压力 作用。试用能量法作用。试用能量法求临界荷载。求临界荷载。xFaxAywsin 可满足位移边界条件（未全部边界条件）。可满足位移边界条件（未全部边界条件）。例题 形变势能：形变势能：2224200222222422)1(612 cos)1(2sin2ababDAdxdyaxaAaxyaADVab 外力做功：外力做功：12)cos)(21322200abAFdxdyaxyaAFWxabx 例题 由最小势能原理：由最小势能原理：22222)1(6)(abbDFFCxx 0)(WVA 实例 讨论：讨论：当当 ，那么：，那么：写上式为：写上式为：4/1222222222)46.0(5.4)(bDababbDFCx22)(bDkFCx2246.0abk其中：
