1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 读教材读教材填要点填要点 1平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正的向量，叫做把向量正交分解交分解 2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与在直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两个轴方向相同的两个 i,j作为基底，对于平面内的一个向量作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数本定理知，有且只有一对实数
2、x，y使得使得a ，则把有序，则把有序数对数对 叫做向量叫做向量a的坐标记作的坐标记作 ，此式叫做向，此式叫做向量的坐标表示量的坐标表示 (2)在直角坐标平面中，在直角坐标平面中，i ，j ，0 互相垂直互相垂直向量向量(x，y)xiyja(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位单位3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算向量的向量的加、减法加、减法若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab ，ab 即两个向量和即两个向量和(差差)的坐标分别等于这两个向量的坐标分别等于这两个向量 的和的和(差差)实数与向实数与向量的积量的积若若a(x，y)，R，则，则a ，即实数与，即实数与向量的积
3、的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的向量的坐标坐标已知向量已知向量 的起点的起点A(x1，y1)，终点，终点B(x2，y2)，则，则 ，即向量的坐标等于表示此，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)相应坐标相应坐标(x，y)相应坐标相应坐标(x2x1，y2y1)AB AB 小问题小问题大思维大思维 1与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：提示：与与x轴平行的向量的纵坐标为轴平行的向量的纵坐标为0，即，即a(
4、x,0)；与；与y轴平行的向量的横坐标为轴平行的向量的横坐标为0，即，即b(0，y)2已知向量已知向量 (1，2)，M点的坐标与点的坐标与 的的坐标有什么关系？坐标有什么关系？提示：提示：坐标相同但写法不同；坐标相同但写法不同；(1，2)，而，而M(1，2)OMOMOM 3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量这些向量都是相等向量
5、4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：提示：不发生变化不发生变化.向量确定以后，它的坐标就被唯一向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变确定，所以向量在平移前后，其坐标不变 研一题研一题 悟一法悟一法 向量向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系因此，求向量具体位置没有关系，只与其相对位置有关系因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标 通一类通一类 研一题研一题 悟一法悟一法
6、 1向量的几种运算体系：向量的几种运算体系：(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算 (2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算要牢记公式，细心计算 2向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出
7、向量的进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则法则 通一类通一类 答案：答案：B 研一题研一题 保持例题条件不变，问保持例题条件不变，问t为何值时，为何值时，B为线段为线段AP的中点？的中点？悟一法悟一法 1如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标对应相等当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同与表示向量的有向线段终点的坐标相同 2证明一个四边形为平行四边形，
8、可证明该四边形证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等的一组对边所对应的向量相等 通一类通一类 3已知向量已知向量u(x，y)和向量和向量v(y,2yx)的对应关系用的对应关系用vf(u)表示表示(1)若若a(1,1)，b(1,0)，试求向量，试求向量f(a)及及f(b)的坐标的坐标(2)求使求使f(c)(4,5)的向量的向量c的坐标的坐标解：解：(1)由由vf(u)可得当可得当u(x，y)时，有时，有v(y,2yx)f(u)，从而，从而f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1)若向量若向量|a|b|1，且，且ab(1,0)，求，求a与与b的坐标的坐标 点评点评法一利用模的概念和向量的坐标运算，通法一利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换三角换元元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了解法直观，简洁明了
