1、三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性微分方程 第四节一、常系数线性微分方程的标准形式一、常系数线性微分方程的标准形式 第九九章 2 2一、常系数线性微分方程的标准形式一、常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfypypypynnnn n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式)1.4(0 yqypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)2.4()(xfyqypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式.),
2、2,1(均均为为实实常常数数其其中中nipi 3 3二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法欧拉待定指数法欧拉待定指数法(或特征方程法或特征方程法):),(为为待待定定常常数数设设reyrx 将其代入方程将其代入方程(4.1),得得0)(2 rxrxeqprreL,0 rxe.02的的根根 qprr yL)1.4(0 yqypy的的解解是是方方程程)1.4(rxey 是是方方程程r.,均均为为实实常常数数其其中中qp4 402 qprr)3.4(特征方程特征方程qprrrF 2)(特征多项式特征多项式,2422,1qppr 特征根：特征根：时，时，当当04.12 qp(4.
3、3)有两个不相等的实根有两个不相等的实根:,2421qppr ,2422qppr 5 5,11xrey ,22xrey 故齐次线性方程故齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为;2121xrxreCeCy 的的两两个个解解：从从而而得得到到方方程程)1.4(常数常数 xrreyy)21(21线线性性无无关关与与21yy6 6(4.3)有两个相等的实根：有两个相等的实根：,11xrey ,221prr 得得(4.1)的一特解为的一特解为:并并化化简简，代代入入方方程程，将将)1.4(222yyy ,0)()2(1211211 uqprruprueueLyLxrxr,)(:12xrexuy 设另一特
4、解为设另一特解为是是特特征征根根，且且是是重重根根r00时，时，当当04.22 qp7 7得齐次线性方程得齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为;)(121xrexCCy ,0 u从从而而,)(xxu 取取,12xrxey 则则8 8(4.3)有一对共轭复根有一对共轭复根:,1 ir )0(,2 ir,)(1xiey ,)(2xiey 时，时，当当04.32 qp得得(4.1)的两个复值特解的两个复值特解:xixxieeey )(1)sin(cosxixex )sin(cos)(2xixeeyxxi sincosiei 由由 欧拉公式欧拉公式，得，得9 9重新组合：重新组合：)(21211yy
5、y ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 故齐次线性方程故齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为).sincos(21xCxCeyx 加加原原理理，知知由由齐齐次次线线性性方方程程解解的的叠叠又又因因的的解解仍仍是是方方程程.)1.4(,21yy常数，常数，xyy cot21线性无关线性无关与与21yy1010例例1是是的的微微分分方方程程通通解解为为xxeCeCy321 .解解3,121 rr特征根：特征根：,0)3)(1(rr特征方程：特征方程：.0342 rr即即034 yyy034 yyy所求微分方程是：所求微分方程是：1111二阶常系数齐次线性微分方程求通解的二
6、阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;02 qprr0 qyypy21,rr（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式21rr 实根实根;2121xrxreCeCy 21rr 实根实根;)(121xrexCCy )0(21 ir，复根复根).sincos(21xCxCeyx 1212.02的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy解解例例2程程为为所所给给微微分分方方程程的的特特征征方方022 rr，特征根特征根21 r所以
7、方程的通解为所以方程的通解为xxeCeCy221 为为两两个个不不同同的的特特征征根根12 r1313.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例31414.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例41515例例5解解的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求微微分分方方程程5|,2|02500 xxyyyy,0252 r特征方程为特征方程为,52,1为
8、为一一对对共共轭轭复复根根特特征征根根ir xCxCy5sin5cos21 2|0 xy由由xCxCy5cos55sin521 而而故故所所求求方方程程特特解解为为xxy5sin5cos2 ,21 C得得,5|0 xy再由再由,12 C得得1616例例6解解 的的通通解解为为常常数数求求微微分分方方程程 0dd22 xtx,02 r特特征征方方程程为为.2,1r 特征根特征根下下面面分分三三种种情情况况讨讨论论,0)1(若若方方程程的的通通解解为为t t eCeCx 21为为两两个个不不相相等等的的实实根根则则r 2,11717方方程程的的通通解解为为t Ct Cxsincos21 ,0)3(
9、若若方方程程的的通通解解为为tCCx21 ,0)2(若若为二重实根为二重实根则则0 r为一对共轭复根为一对共轭复根则则ir 2,11818三、三、n 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 irk 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 .),2,1(均均为为实实常常数数其其中中nipi 1919注意注意n次代数方程有次代数方程有n
10、个根个根,而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项,且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 22112020,0)9(62 yayy求求解解.0 a常常数数其其中中解解特征方程为特征方程为0)9(6223 rarr0)9(622 arrr特征根：特征根：iarr 3,03,21(1)当当a=0 时，时，特征根：特征根：3,03,21 rr所求通解为所求通解为.)(3321xexCCCy ),(321为为任任意意常常数数CCC例例72121(2)当当a 0 时，时，特征根：特征根：01 riar 32iar 33所求通解为：所求通
11、解为：),(321为为任任意意常常数数CCCxeaxCaxCCy3321)sincos(2222特征根为特征根为,154321irrirrr 故所求通解为故所求通解为 xeCy1解解,01222345 rrrrr特征方程为特征方程为,0)1()1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy.sin)(cos)(5432xxCCxxCC 例例82323内容小结内容小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情
12、况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)242402 qprr特征方程特征方程0 qyypy齐次线性方程齐次线性方程 特征根情况特征根情况 通解的表达式通解的表达式21rr 实根实根xrxreCeCy2121 21rr 实根实根xrexCCy1)(21 ir 复根复根)sincos(21xCxCeyx 2525求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln22 思考题思考题2626思考题解答思考题解答原方程化为原方程化为 ,0y ,ln22yyyyy ，)(yy ,lnyyy 而而,ln)(lnyy 原方程又可写为原方程又可写为令令yzln 则则,0 zz特征根特征根1 r通解通
13、解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy (方法方法1)22yyyy2727型型，属属于于)(yy,fy ),(ypy 令令yppydd 则则 yypypyplndd22 原方程化为原方程化为1)ln(1dd pyypyyp即即 关于关于p的的 =-1 的伯努利方程的伯努利方程(方法方法2)yyyyyln22 ，则，则令令2pz 2828d)ln2(1d2d2Cyeyyezyyyy )dln2(12Cyyyy )(ln122Cyy 2pyyzyyzln22dd 太繁！太繁！2929例例5-1解解.054)2()4()5(的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy特征方程为特征方程为0543
14、45 rrr0)54(23 rrr即即方程的通解为方程的通解为)(0321三重根三重根特征根为特征根为 rrrir 25,4 xCxCexCxCCyxsincos5422321 3030例例5-2解法解法1.33,2,321方方程程是是（）阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分的的具具有有特特解解xxxeyxeyey 0)(yyyyA0)(yyyyB06116)(yyyyC022)(yyyyD根根，数数齐齐次次方方程程的的三三个个特特征征阶阶常常系系为为由由题题设设知知31,1,1321 rrr故故其其对对应应的的特特征征方方程程为为0)1()1(2 rr即即0123 rrr 3131故故所所求求方方程程为为0 yyyy).(B所所以以选选解法解法2通通解解为为由由题题设设可可得得齐齐次次方方程程的的xxxeCxeCeCy321 有有：，求求出出yyy xxxxeCxeCeCeCy3221 xxxxeCxeCxeCeCy32212 xxxxeCxeCxeCeCy32213 得得消消去去常常数数321,CCC0 yyyy
