1、 第四节第四节 极限运算法则极限运算法则 一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则二、极限的运算法则 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”.牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无穷小的方法穷小的方法.的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”.常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论无穷小分析引论.即所谓无穷小量即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(164217
2、27)NewtonLagrange意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813)瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783)Euler都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重要的变量要的变量,数学分析的历史表明数学分析的历史表明,较复杂的变量较复杂的变量,很多变化状态比很多变化状态比 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。在实际
3、应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。论价值，值得我们单独给出定义。1.定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量,简称简称如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x,时时当当 x是是函数函数xxsin,2时时当当 x是是函函数数2 x无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.,时时当当 n.)1(是无穷小是无穷小数列数列nn,1时时当当 x.穷小穷小皆非无皆非无;无穷小无穷小;无穷小无穷小;无穷小无穷小无穷小无穷小.一
4、、无穷小一、无穷小在某个过程中在某个过程中定义定义1 1),(0 不论它多么小不论它多么小 0 使得当使得当|00 xx恒有恒有|)(|xf),0(X或或),|(Xx 或或,)(0时时的的无无穷穷小小当当则则称称xxxf0)(lim0 xfxx记作记作1)无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.注注 “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小,而是表而是表达它的变化状态的达它的变化状态的.“无限制变小的量无限制变小的量”)(x或或).0)(lim(xfx或或3)称函数为无穷小，必须指明自
5、变量的变化过程；称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx)(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(.20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数3
6、.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使使得得,0,0,021 NN;21 时时恒恒有有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 ,)(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn例例).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时,n先变形再求极限
7、先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内内有有界界，在在设设函函数数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0,0,0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是
8、无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小oyx例例1.求求.sinlimxxx解解:1sinx01limxx利用定理利用定理 3 可知可知.0sinlimxxxxxysin二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的绝对值无限增大的变量变量称为称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量
9、,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim.20认认为为极极限限存存在在切切勿勿将将 xfxx3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.如如xxysin 是无界函数是无界函数,但不是但不是无穷大无穷大.因为取因为取,22时时 nxxn22)22(nnf而取而取,2时时 nxxn .0)2(nf)(n当当所以所以,时时 x f(x)不是不是无穷大无穷大!11lim1xx证明证明11 xy1 证证,0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10时时当当 x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0
10、 xfxx如果如果例例|1|x解出解出)(0 xfyxx 是是函函数数则则直直线线的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).结论结论xyO1 铅直渐近线铅直渐近线三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0,0,00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx.0)(,0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0,0,00M
11、xfxxM 恒恒有有时时使使得得当当.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大;有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大;用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大大.容易证明容易证明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx 四、极限运算法则四、极限运算法则定
12、理定理1.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf)()()(BAxgxf .0.)1(成成立立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立BAxgxf)()(BABA )(BBAB.0 AB,0,0 B又又,0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21,21)(2BBB ,2)(12
13、BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果定理的条件：定理的条件：)(lim),(limx
14、gxf存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立定理定理2 2,limAxnn 那末那末 )(lim)1(nnnyx,nnyx 和和设有数列设有数列,limBynn 如果如果 nnnyxlim)2(,0,2,10)3(时时且且当当 Bnyn nnnyxlim;BA;BA.BA提示提示:因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数
15、,故此定理可由故此定理可由前面的定理直接得出结论前面的定理直接得出结论 .定理定理3),()(xx 如如果果.ba 那那末末证证),()()(xxxf 令令.0)(xf则则由定理由定理1(1),)()(lim)(limxxxf )(lim)(limxx .ba 由保号性定理由保号性定理,0)(lim xf.ba 即即,0 ba故故,)(limax 而而,)(limbx BAxgxf )()(lim有有,0)(),(0 xfxU内有内有若在若在.0 A则则必必有有有有 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件:参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限它们
16、的极限商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为 不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.都存在都存在,五、求极限方法举例五、求极限方法举例解解)35(lim22 xxx3lim5limlim2222 xxxxx3limlim5)lim(2222 xxxxx32522 ,03 .4 34223 例例3542lim232 xxxx求求4limlim2232 xxx)35(lim22 xxx 3542lim232xxxx 小小 结结,)()1(110nnnaxaxaxf 设设nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim
17、()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf,0)(,)()()()2(0 xQxQxPxf且且设设)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf 则有则有则有则有.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例3214lim21 xxxx求求3214lim21 xxxx.得得解解例例332lim23 xxxx求求,3时时x
18、)3()1)(3(lim3 xxxx)1(lim3 xx)00(型型 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.332lim23 xxxx 方方 法法,3 x4 分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子例例53123lim32 xxxxx求求解解,时时 x)(型型 3x.010 无穷小因子析出法无穷小因子析出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.3232531123limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先将分子、分母同除以先将分子
19、、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限.x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,),0,0(00为为非非负负整整数数nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 结结 mn 00bamn 0mn 例例)sin3cos2(32352lim53xxxxxxx 求求解解32352lim53 xxxxx|sin3cos2|xx )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx06,0 例例 )12)(12(1531311limnnn求求解解21 先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n
20、在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=121121513131121limnnn 121121limnn不能用运算法则不能用运算法则.方方 法法例例)13(lim22 xxxx求求解解)(型型 1313lim22 xxxxx原原式式2113113limxxxx 23“根式转移根式转移”法法化为化为 型型 不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则.分子有理化分子有理化)(型型 1211lim)1(21xxx求求解解 原式原式=121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx21 503
21、020)12()23()32(lim)2(xxxx求求解解原式原式=3023 例例 1 求)12(lim 1xx 例例 解解 解解 )35(lim)1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx3731021223例例 2 求351lim23 2xxxx 例例 解解 )35(lim)1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx 3731021223 11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1xxx
22、xxxx11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1xxxxxxx x x=3 =3 时分母为时分母为 0!0!31lim3xxx934lim223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx6231934lim223xxxx 解解 设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,)(0 xU在在,),(00时时当当 xUx 有定义有定义,)(lim00uxgxx 若若,)(lim0Aufuu 且存在且存在,00 有有则则)(lim0ufuu)(lim0 xgfxx.A 定理定理4(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)(xgfy )(ufy )(x
23、gu )(xgfy ,)(0uxg 六、复合函数求极限六、复合函数求极限证证知知由由Aufau)(lim0,0 有有时时使使当当,|0 au|)(|Auf得得又又由由axxx)(lim0 00 ，对上述对上述有有时时使使当当,|00 xx|)(|axax )(又又|)(|0ax|)(|Axf由极限定义得由极限定义得Aufxfauxx )(lim)(lim0)()(xguf和和)(xgu )(lim0 xgfxx)(lim00 xguxx 化为化为).(lim0ufuu求求如果函数如果函数满足满足该定理的条件该定理的条件,那么作代换那么作代换可把求可把求)(lim0ufuu)(lim0 xgfx
24、x.A 例例,0 a设设求极限求极限:axax lim3解解ax 3可看作可看作与与axu 复合而成复合而成.,时时当当ax,0uuuf)(3并且并且 uu0lim3,0因而因而 axaxlim3 uu0lim3.0u例例.求求解解:令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式=uu61lim6166例例解解,)1(61xu 令令,1u11lim231 uuu原式原式=11lim21 uuuu23 这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法.,0 x则则故故1111lim0 xxx求求31.极限的四则运算法则及
25、其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法:对某些不能直接利用四则运算法则的极限对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法有时可采用下述方法:(1)利用利用无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与无穷大互为倒数的关系;(2)利用利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质性质;(4)无穷小因子分出法无穷小因子分出法;(3)消去零因子法消去零因子法;七、总结七、总结(6)直接利用无穷大的概念判断直接利用无穷大的概念判断;(5)根式转移法根式转移法;(7)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.为了对求极限的方法有全面的了解为了对
26、求极限的方法有全面的了解,指出指出(8)利用夹逼定理利用夹逼定理;(9)利用连续函数的性质利用连续函数的性质;(10)利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;(11)利用未定式求极限法利用未定式求极限法.还有下述方法（以后讲到）还有下述方法（以后讲到）思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？)(xf)(xg)()(xgxf 为什么？为什么？(1)（2）).(1sin1,02是是时时当当xxx A.无穷小量无穷小量B.无穷大量无穷大量C.有界量非无穷小量有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量无界但非无穷大量试确定常数试确定常数
27、,a使使(3)0)1(lim33 xaxx（4）求求.)1(lim2xxxx思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？)(xf)(xg)()(xgxf 解答解答没有极限没有极限假设假设)()(xgxf 由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)(xg必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误)()(xgxf)(xf 有极限，有极限，为什么？为什么？(1)（2）).(1sin1,02是是时时当当xxx A.无穷小量无穷小量B.无穷大量无穷大量C.有界量非无穷小量有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量无界但非无穷大量D试确定常数试确定常数解解 令令,1xt 则则01 a,a使使即即1 a极限运算法则极限运算法则(3)tatt 3011lim03tatt 1lim30301lim30 att30)1(lim33 xaxx4.求求.)1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021则则原式原式=22011limttt111lim20tt 0t作业作业习题习题1-4(411-4(41页页)1.2(1).6.习题习题1-5(481-5(48页页)1.(5)(7)(9)(12)(14)2.(1)(3)3.
