1、第七章 定积分1、定积分基本概念及性质2、微积分基本公式3、定积分的换元法和分步积分法4、定积分的近似计算5、广义积分1、了解定积分的定义、性质以及函数f(x)在 a，b上可积的充分条件。2、掌握积分上限函数的求导方法及其应用。3、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。4、熟练掌握定积分的换元积分法与分步积 分法。5、了解广义积分的概念与计算方法。基本要求:第一节 定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积 xy=f(x)y0ab思想方法在区间a,b中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底a,b分成n个小区间：),3,2,1(1nixxxiii,1iixx 过各分点作垂直
2、于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0 xa1x3x1ixix1nxbxn2x（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条小区间长度记为：（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形iiiiiiiiiiixfAfxfxxxxi)()(,).(),11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是（上任取一点个小曲边梯形的底在第xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式iniixf)(1它就是曲
3、边梯形面积A的近似值，即.)(1iniixfAxy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。iniixf)(1分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()小区间长度最大值趋近于零，即 0（表示iniixf)(1这些小区间的长度最大者）时，和式 的极限就是A，即iniixfA)(lim102、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间间隔 上t的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程。)(
4、tvv,21TT0)(tv思想方法（1）分割：在区间 中任取若干分点：211101TttttttTnnii,21TT（2）近似求和：.)(1iniitvs（3）取极限：iniitvs)(lim10（表示所有小区间的长度的最大者）把 分成n个小区间：),3,2,1(1nitttiii,1iitt小区间长度记为：,21TT二、定积分的定义 定义 设函数f（x）在a，b上有界，在a，b中任意插入若干个分点：分划任取 ，作和式 近似求和记 ，如果 取极限bxxxxxann1210,1 iiixxniiixfS1)(1iiixxx,max21nxxxIxfniii10)(lim存在，且极限值I不依赖于
5、的选取，也不依赖于a，b的分法，则称I为f(x)在a，b上的定积分(简称积分)，记作 ,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;a,b叫做积分区间。ibadxxf)(iniibaxfdxxfI10)(lim)(如果f(x)在a，b上的定积分存在，也称f(x)在a，b上可积。否则，称f(x)在a，b上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即bababaduufdttfdxxf)()()(三、函数可积的充分条件 定理1 若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上可积。定理2 若f(x)在a，
6、b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a，b上可积。四、定积分的几何意义 若f(x)0，则 的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。badxxf)(一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之间的各部分面积的代数和。badxxf)(yb0ax定积分的性质 中值定理规定(1)当a=b时，(2)当ab时,性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即 badxxf0)(abbadxxfdxxf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(证 注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的
7、情形。babaniiiniiiniiiibadxxgdxxfxgxfxgfdxxgxf)()()(lim)(lim)()(lim)()(101010 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即 证 为常数）（kdxxfkdxxkfbaba)()(baniiiniiibadxxfkxfkxkfdxxkf)()(lim)(lim)(1010 性质3(定积分的区间可加性)证 因f(x)在区间a,b上可积，所以对a,b的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑a，b的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么a，b上的积分和等于a，c上的积分和加c，b上的积分和，记为，则若bcabccabadxxfdx
8、xfdxxf)()()(,)()()(bciicaiibaiixfxfxf 令0，上式两端同时取极限，得 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当abc时，由性质3，有 于是bccabadxxfdxxfdxxf)()()(cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(cabccbcabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()(性质4 证 因f(x)1，所以 性质5 若在区间a，b上，则 证 因 ，所以 又由于 ，因此babaabdxdx1ababxdxniiba)(lim1lim1010)(0)(badxxfba),2,1(,0)(nifi0)(xf0
9、)(xf),2,1(0nixi0)(1niiixf 所以 推论1 如果在区间a，b上，则 证 因 ，则 由性质1，有0)(lim)(10niiibaxfdxxf)()(xgxf)()()(badxxgdxxfbaba0)()(xfxg0)()(dxxfxgbababadxxgdxxf)()(推论2 )()()(badxxfdxxfbaba)()()(xfxfxf因证bababadxxfdxxfdxxf)()()(所以babadxxfdxxf)()(即)()()(abMdxxfabmba则及最小值上的最大值在分别是及设性质,)(6baxfmM，使上至少存在一点上连续，则在间在闭区如果函数（定积分
10、中值定理）性质 ,)(7babaxf)(baabfdxxfba)()(式。这个公式叫积分中值公Mxfm)(因证bababaMdxdxxfmdx)(所以baabMdxxfabm)()()(即，有由性质证6 baabMdxxfabm)()()(baMdxxfabm)(1 即有使得，在一点上至少存，在连续函数的介值定理知的最小值和最大值，由分别是、因 )(baxfMm bafdxxfab)()(1)()()(baabfdxxfba 即二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基
11、本公式一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束.)()(的原函数是这里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)
12、(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例1.求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.确定常数 a,b,c 的值,
13、使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c ttf txfxd)()(0例例3.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF机动 目录 上页 下页 返回 结束 20d)(ttfxxfx
14、)()()(xf)0(x三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数,则例例4.计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例5.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0si
15、n的面积.解解:0dsinxxAxcos0112)4(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoxxysin例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?内容小结内容小结,)()(
16、,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 3234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解：20dsin2sinx
17、xnxIn的递推公式(n为正整数).由于,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII12)1(21nn所以),3,2(n2dcos2201xxI其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数,)(baCxf单值函数)(tx满足:1
18、),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 则说明说明:1)当 1 时收敛;p1 时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,反常积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算反常积分.)0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021
19、p机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.设,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限ba
20、xxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意注意:若瑕点,)()(的原函数是设xf
21、xF的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.讨论反常积分112dxx的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx
22、101x011x所以反常积分112dxx发散.例例6.证明反常积分baqaxx)(d证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当 q 1 时,该广义积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解：,)2()1()1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点,故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(
23、xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 10内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0(abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,)1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,1021dxx）令txsin(20dtxxxd1110421012
24、1d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP256 题 1(1),(2),(7),(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛.注意注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习备用题备用题 试证xxxxxd11d04204,并求其值.解解:041d
25、xx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1、理解定积分的定义和定积分的存在定理；2、熟悉定积分的基本性质对区间的可加性、线性性质、比较性质和 定积分的中值定理（包括积分均值）；3、理解积分上限的函数的积分性质及其导数，熟悉微积分学基本定理；4、熟悉牛顿一莱布尼兹公式，掌握定积
26、分的换元积分法和分部积分法；5、了解两种广义积分（无界函数的广义积分、无穷区间上的广义积分）的概念及其敛散性定义，会计算广义积分；6、了解定积分的近似计算方法（梯形法和抛物线法）；基本要求基本要求我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算,如：如：变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 badxxFW)(已知质点的运动速度，求质点的运动路程已知质点的运动速度，求质点的运动路程 badttvs)(badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dA面积元素面积元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小区区间间,xxx 上上曲曲边边梯梯形形的的面
27、面积积，则则dxxfdAA)(，定积分的元素法定积分的元素法用定积分来计算的量用定积分来计算的量U具有以下特点：具有以下特点：1量量U与函数与函数 f(x)及及x的变化区间的变化区间 a,b有关。有关。若若 f(x)常数，则常数，则 U=f(x)(ba)。1量量U对区间具有可加性。即：把对区间具有可加性。即：把a，b分成若干分成若干 部分区间，部分区间，则则 U相应地被分成了许多部分量之和。相应地被分成了许多部分量之和。1在区间在区间 a,b的任一个子区间的任一个子区间x,x+x 上，上，部分量部分量Uf(x)x。设设U U是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量U U的步
28、骤为：的步骤为：定积分的元素法定积分的元素法 选择函数选择函数 f(x)，并确定自变量，并确定自变量 x 的变化区间的变化区间a,b;在在a,b内考虑典型小区间内考虑典型小区间x,x+dx，求出相应于这，求出相应于这个小区间的部分量个小区间的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx。称。称f(x)dx为量为量U的元素，记为的元素，记为dU=f(x)dx。计算计算 U=badxxf)(应用方向：应用方向：平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、功、水压力、引力和平均值等引力和平均值等 定积分的几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面
29、积0 直角坐标系情形直角坐标系情形xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx .d)()(d,d)(d:12xxfxfAxxfA 面面积积元元素素xx 一、平面图形的面积一、平面图形的面积例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31
30、2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3,2 x,0,2)1(xdxxxxdA)6(231 ,3,0)2(xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(42
31、2xyxyxy22 4 xy dxxxdA)2(21 dxxxdA)4(22 .1882220121 dAdAAAA选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.1842 dAA如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbyta
32、xsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 二、二、体积体积0 旋转体的体积旋转体的体积0 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成
33、的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体
34、，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx 在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0(a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232
35、 .105323a 由由连连续续曲曲线线)()(21xfyxfy 、直直线线ax 、bx 所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？xyo)(1xfy )(2xfy abdxxfxfvba212)()(注注：dxxfdxxfvbaba)()(1222 dxxfxfba)()(1222 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)(dcV例例 3 3 求
36、求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕 x 轴轴、y 轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a)(xy绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2
37、yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例 4 4 求由曲线求由曲线24x
38、y 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4,0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂
39、直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半径
40、径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1
41、 y例：例：求由求由 绕绕 x 轴旋转一周，轴旋转一周，所成的圆环体的体积。所成的圆环体的体积。)0()(222 rhrhyx解：解：dxxrhxrhVrr)()(222222 dxxrhdxxrhrrr 0222284hrrh2222418 xyo问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x,x+x，在此小区间上，在此小区间上 w dw=F(x)dx 2）将）将dw从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功 babad
42、xxFdwW)(变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场的地方，那么电场对它的作用力的大小为对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数），当是常数），当这个单位正电荷在电场中从这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动轴移动到到 br 处时，计算电场力处时，计算电场力
43、 F 对它所作的功对它所作的功or解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图建立
44、坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5,0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx,用积分元素法用积分元素法xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238.9 功元素功元素:,2.88dxxdw dxxw 2.885050222.88 x3462(千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k.)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度
45、成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n.,4,20,3050,静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水的的米米高高出出水水面面如如果果闸闸门门顶顶部部米米高高为为米米米米和和分分别别为为梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)()(为为比比重重 例例1、160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631(g g 67.4522).(1043.47牛牛 解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的的方方程程为为则则梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为
