1、 高三理数第三次模拟试卷 高三理数第三次模拟试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知复数 z 满足，则（）A1BCD3设等比数列的公比为 q，若，则（）A2B3C4D54若函数的图象在点处的切线方程为，则（）A1B-1C0D25已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（）ABCD6已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C 的离心率为（）AB2CD37已知的展开式中各项的系数之和为 2，则展开式中含项的系数为（）A-20B-10C10D408为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新
2、疆工作会议精神，促进新疆教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五位教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方都有老师去，则两位女教师被分派到同一个地方的概率为（）ABCD9中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1 可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为 1000 的基础
3、上，将带宽 W 增大到原来的 2 倍，信号功率 S 增大到原来的 10 倍，噪声功率 N 减小到原来的，则信息传递速度 C 大约增加了（）（参考数据：）A87%B123%C156%D213%10已知抛物线的焦点为 F，P 点在抛物线上，Q 点在圆上，则的最小值为（）A4B6C8D1011如图所示的是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球体积的最小值为（）ABCD12已知数列满足，则数列的前 2022 项和为（）ABCD二、填空题二、填空题13设 x，y 满足约束条件则的最大值为 .14已知，则在方向上的投影为 .15已知函数，若对任意的恒成立，且在上单调递减，则 .16黎曼函数是一个特殊
4、的函数，由德国数学家波恩哈德黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：若函数是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x 都有，当时，则 .三、解答题三、解答题17在平面四边形中，已知，.（1）若，求；（2）若的面积为，求的面积.18为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：租用时间不超过 1 小时，免费；租用时间超出1 小时但不超过 2 小时，收费 1 元；租用时间超出 2 小时，按每小时 1
5、 元（不足 1 小时按 1 小时计算）收费，一天最高收费 10 元.甲乙两人独立出行，每天都需要租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过 3 小时，已知甲乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间超出 1小时且不超过 2 小时的概率分别是，；租用时间超出 2 小时的概率分别是，.（1）求甲一天内租用公共自行车的费用比乙多的概率；（2）设甲两天内租用公共自行车的总费用为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望.19如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是直角梯形，平面平面 ABCD，且，E 为 BC 的中点.（1）证明：平面平面 PBD.（2）若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.20已知椭圆
6、的离心率，且椭圆 C 经过点.（1）求椭圆 C 的方程.（2）不过点 P 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，记直线 PA，PB 的斜率分别为，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求实数 a 的取值范围.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于、两点，求以为直径的圆的极坐标方程.23已知函数.（1）求不等式的解集.（2）若的最小值为，证明：.答案解析部分答案解析部分1【答案】B
7、2【答案】D3【答案】A4【答案】A5【答案】C6【答案】B7【答案】C8【答案】B9【答案】D10【答案】C11【答案】D12【答案】A13【答案】1614【答案】15【答案】116【答案】17【答案】（1）解：，在中，由余弦定理得：，则，在中，由余弦定理得：，.（2）解：由（1）知：，；，解得：；在中，由余弦定理得：，解得：；在中，由余弦定理得：，解得：；，则，.18【答案】（1）解：设“甲一天内租用公共自行车的费用比乙多”为事件 A，则事件 A 包含甲用 1 元，乙用 0 元；甲用 3 元，乙用 0 元或 1 元的 3 个互斥事件的和，于是得，所以甲一天内租用公共自行车的费用比乙多的概率
8、为.（2）解：随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，6，；，所以随机变量 X 的分布列为X012346P所以.19【答案】（1）证明：如图，以 D 为坐标原点，以，的方向分别为 x，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.因为，E 为 BC 的中点，所以.因为平面平面 ABCD 且交于 BC，所以平面 ABCD，令.因为，所以，所以，.因为，平面 PAE，所以平面 PAE.因为平面 PBD，所以平面平面 PAE；（2）解：因为，所以，即.设平面 PAD 的法向量为，则令，得.取平面 PAE 的法向量为.因为，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20【答案】（1）解：因为，所以，所以
9、.因为椭圆 C 过，所以，所以，故椭圆 C 的标准方程为.（2）解：因为直线 l 不过，且直线 PA，PB 的斜率存在，所以且.设，联立方程组，得，则，.由，得且.因为，所以，即为定值，且.21【答案】（1）解：的定义域为，当，即时，在上单调递减；当，即时，则当时，当时，在上单调递增，在上单调递减综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）解：由，得，即，即在上恒成立令，则，在上单调递增，即只需在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立函数在上单调递增，故实数 a 的取值范围是22【答案】（1）解：因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数 可得，所以曲线的普通方程为.因为曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）解：设、，联立方程组，得，则，.因为，所以的中点坐标为，.所以，以为直径的圆的直角坐标方程为，即，故以为直径的圆的极坐标方程为.23【答案】（1）解：由，得.当时，由，得，所以；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以.故不等式的解集为.（2）证明：因为，所以.因为.当且仅当，即时，等号成立，所以.
