1、江苏省扬州市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 二 数 学 2020.01 一. 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分) 1. 抛物线 y2= 8x 的准线方程是() A. x = 2B. x = 4C. y = 2D. y = 4 2. 如果 a 0，则下列不等式中正确的是() A. a2 0 的解集为 (1,2), 则关于 x 的不等式 bx2axc 0 的解集为 A. (1,2)B. (,1)(2,+)C. (,2)(1,+)D. (2,1) 9. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a3= 4,a7= 4，则() A. S4 S6B.
2、 S4= S5C. S6 0，y 0，2x+y+2xy = 8，则 2x+y 的最小值是 () A. 3 B. 2C. 32 2 D. 4 12. 已知双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点 P（P 在第一象限） ，PF1交双曲线左支于 Q，若 # PQ = 2# QF1，则双曲线的离心率为() A. 10+1 2 B. 10 C. 5+1 2 D. 5 二. 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 命题“x R，x 2”的否定是. 14. 已知数列 an 满足 1 an+1
3、1 an = 1(n N),a1=1, 记 bn= anan+1，则数列 bn 的前 10 项和为. 15. 已知 P 点是椭圆 x2 4 +y2= 1 上的动点，Q 点是圆 x2+(y2)2= 1 上的动点，则 PQmax=. 江苏 2020 届考备考系列试卷第 1 页 (共 4 页) 16. 若关于 x 的不等式 (a2)x2+(4a10)x+4a12 0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围是 . 三. 解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p：对任意 x (0,+)，不等式 a x+ 1 x
4、 都成立，命题 q：方程 x2 am + y2 am2 = 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线. (1) 若命题 p 是真命题，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1,an+1= 2Sn+1(n N)，等差数列 bn 满足 b3= 9，b1+27 = 2b5 (1) 求数列 an,bn 的通项公式； (2) 设数列 cn 的前 n 项和为 Tn，且 cn= anbn，求 Tn 江苏 2020 届考备考系列试卷第 2 页 (共 4 页) AB C D O A
5、1B1 C1D1 19. (本小题满分 12 分) 在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA1B1C1D1中， AB1 A 1B = O，AA1= AB = A1B = 2,AB1BC (1) 求直线 BB1与平面 A1BC 所成的角； (2) 若 A1C = 2,BC = 1，求三棱锥 C1A1BC 的体积 A B C A1 B1 C1 D E O 20. (本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB = BC =CA = AA1= 2，点 O 为 AB 中点，点 D 为 AA1中点 (1) 求平面 ABC 与平面 B1CD 所成锐二面角的大小； (2) 已
6、知点 E 满足 # AE = # AC(0 1)，当异面直线 DE 与CB1所成 角最小时，求实数的值 江苏 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) 21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线C 的方程为 y2= 2px(p 0)，直线 l1: y = kx+m 与抛物线 C 相切于点 (6,6) (1) 求 p、k、m 的值； (2) 已知动直线 l2l1，且 l2与抛物线C 交于两个不同点 A,B，问抛物线上是否存在定点 P（异于 A,B） ，使 得直线 PA,PB 的倾斜角互补，若存在，求出 P 点坐标，若不存在，说明理由 22. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C
7、: x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的离心率为 3 2 ，两条准线之间的距离为 83 3 ，过 M(1,0) 的直线 l 交 椭圆于 A,B 两点 (1) 求椭圆C 的方程； (2) 若 OAOB，且直线 l 与 x 轴不垂直，求直线 l 的斜率； (3) 设 N 为直线 x = 4 上任意一点，记直线 AN,MN,BN 的斜率分别为 k1,k2,k3，判断 k1,k2,k3是否成等差数 列，并给出理由 江苏 2020 届考备考系列试卷第 4 页 (共 4 页) 高二数学参考答案第 1 页（共 4 页） 20192020 学年度第一学期期末检测试题学年度第一学期期末检测试题
8、高二数学高二数学 参考答案参考答案 20201 1、A 2、B 3、A 4、D 5、C 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C 11、B 12、A 13、xR , 14、 10 11 15、 2 21 +1 3 16. 4 1 3 （， 17、解：因为对任意(0,)x，不等式 1 ax x 成立，所以 min 1 ax x 2 分 因为(0,)x，所以 11 22xx xx ，当且仅当1x 时取等号， 4 分 所以2a ； 5 分 因为方程 22 1 2 xy amam 表示焦点在x轴上的双曲线， 所以 0 20 am am ，即2mam， 7 分 因为p是q的必要不充分条件， 所以(2)2
9、m m ,，且(2)2m m ,， 9 分 所以22m，即0m。 10 分 18、解：因为 +1 21 nn aS ，所以当2n时， 1 21 nn aS 由得 +1 2 nnn aaa，即 +1 3(2) nn aa n， 2 分 又当1n 时， 21 213aa ，所以 21 3aa， 因为 1 0a ,所以 +1 3,(1) n n a n a ,所以数列 n a是等比数列, 所以 11 1 33 nn n aa 5 分 注： 1 3n n a 结果对，但是没有验证 21 3aa的扣 2 分 由题意得 1 11 29 272(4 ) bd bbd ，解得 1 3 3 b d ，所以3 n
10、 bn； 8 分 1 333 nn nnn cabnn 1231 1 32 33 3(1) 33 nn n Tnn 2341 31 32 33 3(1) 33 nn n Tnn 得： 1231 21 31 31 31 33 nn n Tn 1 11 3 (1 3 )33 133 1 32 nn nn nn 2x 高二数学参考答案第 2 页（共 4 页） 所以 1 321 3 44 n n n T 12 分 19、解：在平行六面体 1111 ABCDABC D中，四边形 11 A ABB是平行四边形， 又 1 AAAB，所以四边形 11 A ABB是菱形，所以 11 ABAB， 又因为, 1 A
11、BBCB,平面 1 ABC,BC 平面 1 ABC 所以平面 1 ABC， 3 分 所以BO是 1 BB在平面 1 ABC上的射影， 4 分 所以 1 B BO即为所求角（或直线 1 BB与平面 1 ABC所成的角） 5 分 在菱形 11 A ABB中，则 1 3AOBO， 在 1 Rt B BO中， 1 1 1 3 sin 2 BO B BO BB ， 所以直线 1 BB与平面 1 ABC所成的角为60. 7 分 在 1 ABC中， 11 2,1,2ACBCAB，可求得 1 15 4 A BC S 9 分 在平行六面体 1111 ABCDABC D中，四边形 11 BCC B是平行四边形，所
12、以 11/ BCBC， 所以 1 C到平面 1 ABC的距离即为 1 B到平面 1 ABC的距离，即高为 1 3BO 11 分 所以 11111 1 11155 3 3344 CA BCBA BCA BC VVSBO . 12 分 20.解：在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBCCA， 取 11 AB中点 1 O，连 1 OO，则 11 /,OOAA ABOC， 又直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 而,AB OC 平面ABC，所以 11 ,AAOC AAAB， 所以 11 ,OOOC OOAB。 以 1 ,OA OO OC为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系O
13、xyz， 1 分 则 11 (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, 3),(1,2,0),( 1,2,0),(1,1,0)ABCABD 所以 1 (1,1,3),( 1,2,3)( 1,0, 3)CDCBAC ， 因为 1 AA 平面ABC，所以 1 (0,2,0)n 是平面ABC的一个法向量， 2 分 设 2 ( , , )nx y z是平面 1 BCD的法向量，则 1 30 230 n CDxyz n CBxyz ，得2, 32xyyz， 不妨取2y ,则1,3xz,所以 2 (1,2, 3)n 是平面 1 BCD的一个法向量 4 分 1 ABBC 1 AB 1 AB 11 2A
14、AABAB 1 A 1 B 1 C 高二数学参考答案第 3 页（共 4 页） 所以 12 12 12 42 cos, 2|28 n n n n nn ， 5 分 所以平面ABC与平面 1 BCD所成锐二面角的大小为 4 . 6 分 因为(,0, 3 ),(01)AEAC ,所以(, 1, 3 )DEDAAE ， 则 1 1 2 1 (1) cos, | 2 41 DE CB DE CB DE CB ， 8 分 设异面直线DE与 1 CB所成角为，则 1 2 1 coscos, 2 41 DE CB ， 令1 1,2t ，则 2 2 1 cos 11 2 4(1)1 2 5( )8( )4 t
15、t tt 10 分 当 14 5t 时，cos取得最大值， 因为cosy在(0,) 2 上递减，所以取得最小值，所以此时 1 4 . 12 分 21、解： （1）因为点(6,6)在抛物线上，所以3612p，解得3p ， 2 分 所以抛物线 C 的方程为 2 6yx，又点(6,6)在直线ykxm上，所以66km， 由 2 6 66 yx ykxk 得 2 636360kyyk， 因为直线与抛物线 C 相切，所以0 ，解得 1 ,3 2 km 所以， 1 3,3 2 pkm 6 分 （2）方法 1：设 222 12 12 (,), (,), (, ) 666 yyn AyByPn，则 “,PA P
16、B倾斜角互补”“0 PAPB kk” ， 即 12 2222 12 0 6666 ynyn yynn ，即 12 66 0 ynyn ，即 12 2yyn 9 分 又由2 AB k 得 12 22 12 2 66 yy yy ，即 12 6 2 yy ，即 12 3yy 所以23n ，即 3 2 n ，所以存在定点 3 3 ( , ) 8 2 P满足要求 12 分 高二数学参考答案第 4 页（共 4 页） 方法 2：设 2: 2lyxt ，设 222 12 12 (,), (,), (, ) 666 yyn AyByPn，则 “,PA PB倾斜角互补”“0 PAPB kk” ， 即 12 22
17、22 12 0 6666 ynyn yynn ，即 12 66 0 ynyn ，即 12 2yyn 9 分 由 2 6 2 yx yxt 得 2+3 30yyt，所以 12 3yy 所以23n ，即 3 2 n ，所以存在定点 3 3 ( , ) 8 2 P满足要求 12 分 22、 （1）解：由题意得 2 3 2 4 3 3 c a a c ，解得 2 3 a c ，又 222 abc，所以1b 所以，椭圆的方程为 2 2 1 4 x y； 3 分 （2）显然直线l的斜率存在,设(1)l yk x:,代入 2 2 1 4 x y得 2222 (41)8440kxk xk 设 1221 ( ,
18、), (,)AyxyxB，则 2 1 2 21 2 2 2 844 , 4141 xxx kk k x k .5 分 因为OAOB，所以 =0OA OB ，即 1212 0x xy y，即 22 1 2 212 (1)()0xkkxxkx， 即 22 222 22 448 (1)0 4141 kk kkk kk ，解得2k 7 分 （3） 123 ,k k k成等差数列. 理由如下：设(4, )Nn， 当直线l与 x 轴垂直时，易得 132 2kkk； 8 分 当直线l与 x 轴不垂直时， 1212 13 1212 (1)(1) 4444 ynynk xnk xn kk xxxx 12 121212 +811 2 +(3)()2(3) 444(+) 16 xx kknkkn xxx xxx 10 分 22 2(3)() 33 n kkn 而 2 2 2 3 n k ，所以 132 2kkk，所以 123 ,k k k成等差数列. 综上得： 123 ,k k k成等差数列. 12 分
