1、1第二章第二章 内容提要内容提要 随机变量随机变量及其分布及其分布2 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每一个若对于每一个wS,有一个实数有一个实数X(w)与之对应与之对应,即即X=X(w)是定义是定义在在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable,简记为简记为r.v.)。随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母 等表示，其值用小写字母等表示，其值用小写字母x，y，z表示表示.，一、一、随机变量的概念随机变量的概念1.1.随机变量随机变量 2.2.随机事件的表示随机事件的表示33.3.随
2、机变量分类随机变量分类 随机变量按取值情况可分为离散型和非离散型两个类型,其中非离散型随机变量中最重要的,也是应用最广的是连续型随机变量.二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布1.1.离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律（I）定义定义：如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，则称则称X X为为离散型随机变量离散型随机变量.（IIII）概率分布）概率分布:,kkpxXP ,2,1 k称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量X的的分布律分布律。4或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：XP1x2xkx1p2pkp（1 1）非非负负性性 0 ip；（2 2）规规范范性性 iip
3、1。（IIIIII）离散型随机变量的概率分布性质）离散型随机变量的概率分布性质:52.2.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度则称则称X为连续型随机变量，其中为连续型随机变量，其中f(x)称为称为X的的概率概率密度函数密度函数，简称，简称概率密度概率密度。，xttfxFd)()(1 1)非非负负性性：0)(xf，Rx.（IIII）概率密度的性质）概率密度的性质(2 2)规规范范性性：.1d)(xxf 6(3 3)对对于于任任意意实实数数ba,有有.d)(baxxfbXaP)()(aFbF (4 4)若若)(xf连连续续,则则有有 )()(xFxf .密密度度函函数数)(xf与与
4、分分布布函函数数)(xF的的关关系系：，xttfxFd)()(.)()(xFxf 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即即,对于任意常数对于任意常数c c,有有.0 cXP(6)若若X是连续型随机变量是连续型随机变量,则则bXaP bXaP bXaP .bXaP 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关；连续型随机变量的概率与区间的开闭无关；必须必须注意注意,上式对于离散型随机变量一般不成立上式对于离散型随机变量一般不成立.73.3.随机变量的分布函数随机变量的分布函数（1）定义）定义 设设 X 是一个是一个 r.v，称，称)()(xXPxF)(x为为
5、X 的分布函数的分布函数.记作记作 X F(x)或或 FX(x).(2)(2)分布函数的性质分布函数的性质的不减函数是xxF)(21)()(0)()(limlimxFFxFFxx，3)()0(xFxF是右连续的即)(xF41)(0 xF185.5.6.6.(3)(3)离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数9可见离散型随机变量的分布函数是单调,非降的阶梯函数.10(4)(4)连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数I IIIII三、几个常见分布三、几个常见分布1.1.离散型离散型(1)0-11)0-1分布（两点分布）分布（两点分布）设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布
6、律是11Xkp0p 11p)10(1,1,0,1pqpkqpkXPkk则称X 服从（01）分布或两点分布,记为记为X X b b(1(1,p,p)（01）分布的分布律也可写成(2)二项分布二项分布背景：背景：作n次伯努利试验的成功次数X所服从的分布.若随机变量若随机变量X的的分布律为分布律为,)1(knkknppCkXP nk,2,1,0),(pnBX记为记为则称则称X服从参数为服从参数为n,p的的二项分布二项分布，12 若随机变量若随机变量X的概率分布为的概率分布为 ,e!kkXPk,2,1,0 k)0(则称则称X服从服从参数为参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为.)(PX(3)泊松分布泊
7、松分布(4)4)几何分布几何分布,)1(1ppkXPk ,2,1 k 在贝努利试验中，每次成功的概率为在贝努利试验中，每次成功的概率为p p，若若记记X为首次成功时所做的试验数，则为首次成功时所做的试验数，则X服从的概率服从的概率分布称为分布称为几何分布，记为几何分布，记为X Xg g（p p）：132.2.连续型连续型(1)(1)均匀分布均匀分布(Uniform Distribution)如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它 ,0 ,1)(bxaabxf则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作.),(baUXab)(xfx14(2)(2)指
8、数分布指数分布(Exponential Distribution)如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 0 ,00,e)(xxxfx 其其中中0 为为常常数数，则则称称X服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布，)(xfx 记为记为.)(EX 指数分布的一个重要性质就是指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或或“无记忆性无记忆性”.具体叙述如下：具体叙述如下：|tXPsXtsXP 15如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 xxfx e21)(222)(，其其中中0 ,则则称称X服服从从参参数数为为 ,的的正正态态分分布布,.),(2 NX记记为为)(xfx
9、(3)正态分布正态分布(Normal Distribution)16)(x)(x txxtde21)(22 10 ,的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.xxx,e21)(22 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x 17正态分布的性质正态分布的性质，若若),(2 NX.)1,0(NXY 则则（1）baabbXaP,（2）)1)(,0)(.)(1)(xx （3）（4）18正态分布情况下有关概率、区间的求法正态分布情况下有关概率、区间的求法1.设X N(0,1)，求P(aXb)abbXaP bbXP)(aaXP1)(3.设XN(,2)，且
10、已知X落入某个区间的概率，求这个区间的端点,分二种情形讨论之：19（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X x)=p2，求x.利用或然后反查标准正态分布表，即可求出x（2）区间关于对称，不妨设为(a,+a)，而P(aX111)；P(101.1X117.6)31例7 7 设 XN(108,9),已知P(Xx)=0.9，求x；已知P(Xx)=0.95，求x32例8 8 某种电池的寿命XN(300,352)，求电池寿命在 250小时以上的概率；求x，使得寿命在(300 x,300+x)之间的概率为0.933例9 9 已知随机变量XU(0,1)，求随机变量Y=lnX 的密度函数.解 由题意，X的概率密度为由于Y的取值范围为(0,+)，所以当y0时，当y0时，34因此，随机变量Y=lnX的密度函数为思考题思考题：已知随机变量XU(0,1)，求随机变量Y=2X+1的密度函数.
