1、高 等 数 学 第四章第四章 不定积分不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节直接积分法第三节换元积分法第四节分部积分法第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念一1.原函数的概念定义4-1 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使对任意的xI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。例如,因为(sinx)=cosx,所以sinx是cosx在(,+)内的一个原函数。第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质定理41 若函数f(x)在区间I上存在原函数，则在该区间上f(x)就有无
2、穷多个原函数，并且其中任何两个原函数间仅仅相差一个常数C。该定理表明,只要求出了函数f(x)的任一个原函数F(x),就可以用F(x)+C来表示全部原函数,其中C为任意常数。定理42 若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上存在原函数。由于初等函数在其定义域内连续,所以一切初等函数在其定义域内都存在原函数。第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质2.不定积分的概念定义42 如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx=F(x)+C 其中,记号 称为积
3、分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的性质二由不定积分的定义可得出下列性质：（1）f(x)dx=f(x)或df(x)dx=f(x)dx；（2）F(x)dx=F(x)+C 或dF(x)=F(x)+C该性质表明微分运算与求不定积分的运算（简称积分运算）互为逆运算,两者作用会相互抵消,或者抵消后相差一个常数。第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的几何意义三若函数F(x)是f(x)的一个原函数,则曲线y=F(x
4、)为f(x)的一条积分曲线,不定积分f(x)dx 表示f(x)的积分曲线簇,即全体积分曲线,而其中任意一条积分曲线都可以由曲线y=F(x)沿y轴方向上、下平移得到,如图41所示。图41第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质例43 设曲线过点(1,2)，且其上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，求此曲线的方程。解 设所求的曲线方程为y=f(x)由题意得y=3x2所以y=3x2 dx=x3+C又因为曲线过点(1,2),所以得C=1，于是所求曲线为y=x3+1第二节第二节 直接积分法直接积分法基本积分公式一根据不定积分与导数(或微分)的逆运算关系及基本初等函数的导数公式,我们
5、可以得到如下一些最基本的不定积分公式,通常称其为基本积分表。为了便于理解,右边同时列出了相应的导数公式。第二节第二节 直接积分法直接积分法第二节第二节 直接积分法直接积分法不定积分的运算法则二法则41 两个函数的和（或差）的不定积分等于各个函数不定积分的和（或差），即f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx 这一法则可以推广到有限多个函数的情形，即k1f1(x)k2f2(x)knfn(x)dx=k1f1(x)dxk2f2(x)dxknfn(x)dx 法则42 被积函数中的非零常数因子可以移到积分号的前面，即kf(x)dx=kf(x)dx第二节第二节 直接积分法直接积分法直接积分法三利用基
6、本积分表和不定积分的运算法则,可以直接计算一些较简单的不定积分,这种方法一般称为直接积分法。第二节第二节 直接积分法直接积分法第二节第二节 直接积分法直接积分法第三节第三节 换元积分法换元积分法利用直接积分法所能求出的不定积分是有限的，为了能求得更多的不定积分，还需要介绍一些其他的积分方法。本节我们利用复合函数的微分法,通过引入中间变量,来置换原积分变量，把原来的不定积分转化为容易计算的不定积分，这就是换元积分法。第三节第三节 换元积分法换元积分法第一类换元积分法一1.利用 凑微分)bax(da1dx第三节第三节 换元积分法换元积分法2.利用以下微分公式凑微分第三节第三节 换元积分法换元积分法
7、3.利用三角函数类积分凑微分第三节第三节 换元积分法换元积分法第三节第三节 换元积分法换元积分法第二类换元积分法二1.简单根式代换第三节第三节 换元积分法换元积分法2.三角代换第三节第三节 换元积分法换元积分法再把变量t回代为x为简便起见，画一个直角三角形，称为辅助三角形，如图42所示。图42第三节第三节 换元积分法换元积分法为了去掉被积函数中的根号，结合三角函数关系式，作辅助三角形，如图43所示。图43第三节第三节 换元积分法换元积分法为了去掉被积函数中的根号，结合三角函数关系式，作辅助三角形，如图44所示。图44第三节第三节 换元积分法换元积分法三角换元法的目的是去掉被积函数中的根号。本节
8、介绍了两类换元法，无论是第一换元法，还是第二换元法，都是为了使不容易求出的积分能够直接积分或便于直接积分。第四节第四节 分部积分法分部积分法下面我们从函数乘积的导数公式出发，导出计算不定积分的另一种方法分部积分法。设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，由函数乘积的微分公式d(uv)=udv+vdu有udv=d(uv)vdu对这个等式两边同时求不定积分,得udv=d(uv)vdu =uvvdu 第四节第四节 分部积分法分部积分法上述公式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法。如果udv 的积分难求，而vdu 的积分好求，且v很容易求，像这类积分,我们就可以用分部积分法来求了。应用分部积分法的作用在于：把不容易求出的积分udv 转化为容易求出的积分vdu。第四节第四节 分部积分法分部积分法第四节第四节 分部积分法分部积分法第四节第四节 分部积分法分部积分法Thank You!
