上海市2022届高三数学高考模拟试题（18份打包）.zip

上海市 2022 届高三数学二模试卷上海市 2022 届高三数学二模试卷一、填空题一、填空题1已知集合，则 .2已知，且，那么 3若复数 z 满足，则 z 对应的点位于第 象限.4已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .5的展开式共有 11 项，则常数项为 .6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，终边分别是射线 OA 和射线 OB，射线 OA，OC 与单位圆的交点分别为，若，则的值是 7如图 1，已知正方体的棱长为 2，M，N，Q 分别是线段上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为 .8某大学计算机系 4 名学生和英语系的 4 名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .9已知直线与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若三角形 ABF 的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .10已知数列中，则下列说法正确的序号是 .此数列没有最大项；此数列的最大项是；此数列没有最小项；此数列的最小项是.11已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.12已知平面向量，满足，则对任意的，的最小值记为 M，则 M 的最大值为 .二、单选题二、单选题13已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14在中，设，则（）ABCD15已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（）A为递增数列B当且仅当时，有最大值C不等式的解集为D不等式的解集为16已知定义域为 的奇函数 的周期为 2，且 时，.若函数 在区间 （且 ）上至少有 5 个零点，则 的最小值为（）A2B3C4D6三、解答题三、解答题17已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值18已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.19如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD，AD CD，AD/BC，PA=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且（1）求证：CD平面 PAD；（2）求二面角 F AE P 的余弦值；（3）设点 G 在 PB 上，且判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由20在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为 的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点 D，且点 D 在线段 OA 上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.21对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数 m 的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】-1，0，1，22【答案】3【答案】二4【答案】不存在5【答案】6【答案】7【答案】8【答案】9【答案】y=2x10【答案】11【答案】（2），（3）12【答案】13【答案】A14【答案】C15【答案】C16【答案】A17【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.18【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(*)式，得：，.当时，；当时，即19【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以 PACD，又因为 ADCD，所以 CD平面 PAD.（2）解：过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M.因为 PA平面 ABCD，平面，所以 PAAM，PAAD，以 A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系 A-xyz.则 A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，因为 E 为 PD 的中点，所以 E(0，1，1)，所以，所以，.设平面 AEF 的法向量为，则即，令，则，故，又平面 PAD 的法向量为，所以，二面角平面角余弦值为.（3）解：直线 AG 不在平面 AEF 内，理由如下：因为点 G 在 PB 上，且，故，所以，.由（2）知，平面 AEF 的法向量，所以，所以直线 AG 不在平面 AEF 内.20【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，由韦达定理可得，直线的方程为，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.21【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M 类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以.因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，即，解得；当时，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.上海市 2022 届高三数学二模试卷上海市 2022 届高三数学二模试卷一、填空题一、填空题1已知集合，则 .【答案】-1，0，1，2【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：-1，0，1，2。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合 A，再结合并集的运算法则，进而得出集合 A 和集合 B 的并集。2已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为 即，又，联立求解得：因为，0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合 和同角三角函数基本关系式，得出角 的正弦值。3若复数 z 满足，则 z 对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得 所以复数 z 对应复平面的点为，所以 z 对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数 z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，由基本不等式可得，当且仅当 时，等号成立，故实数 的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数 m 的最大值不存在。5的展开式共有 11 项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用 的展开式共有 11 项，得出 n 的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，终边分别是射线 OA 和射线 OB，射线OA，OC 与单位圆的交点分别为，若，则的值是 【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角 的正弦值和余弦值以及角 的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出 的值。7如图 1，已知正方体的棱长为 2，M，N，Q 分别是线段上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点 为 的中点，点 为 中点，点 与 重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点 为 的中点，点 为 中点，点 与 重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8某大学计算机系 4 名学生和英语系的 4 名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8 人平均分到 4 个班级共有 种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有 种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9已知直线与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若三角形 ABF 的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，所以 AB 为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为 AB 与 相等且平分，所以四边形 为矩形，所以，设，则，所以，因为 所以，因为三角形 ABF 的面积为，所以，得 所以，得，所以，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=2x。【分析】以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，所以 AB 为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用 AB 与 相等且平分，所以四边形 为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用 结合勾股定理得出，再利用三角形 ABF 的面积为 结合三角形的面积公式得出，进而得出 a，c 的关系式，再利用双曲线中 a，b，c 三者的关系式得出 a，b 的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10已知数列中，则下列说法正确的序号是 .此数列没有最大项；此数列的最大项是；此数列没有最小项；此数列的最小项是.【答案】【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，设，则，当，即 时，函数 取得最大值，当 时，函数 为增函数，当 时，函数 为减函数，所以数列 中，当 时，数列 递增，且，当 时，数列 递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：。【分析】由 得出，对于函数，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数 的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数 的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义 且，即 由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若 满足方程，即 则 代入为，也满足方程故方程所对应图像关于 对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在 单调递减若，当，有 故取 即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程 中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于 对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12已知平面向量，满足，则对任意的，的最小值记为 M，则 M 的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，满足，则 与 的夹角为，设，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以 为半径的圆；又 表示圆上的点 到点 的距离，即到直线 的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线 的距离为，得 的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，满足，得出 与 的夹角，设，由 结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以 为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出 表示圆上的点 到点 的距离，即点到直线 的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线 的距离公式得出圆心，到直线 的距离，进而得出 的最大值。二、单选题二、单选题13已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：【充分性】若函数 f(x)在0,1上单调递增，根据函数的单调性可知:函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1),所以“函数 f(x)在0,1.上单调递增”为“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的充分条件；【必要性】若函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)，函数 f(x)在0,1上可能先递减再递增，且最大值为 f(1)，所以“函数 f(x)在0,1.上单调递增”不是“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的必要条件，所以“函数 f(x)在0,1上单调递增”是“函数 f(x)在0,1的最大值为 f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14在中，设，则（）ABCD【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】在三角形 中，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用 得出 的值，进而得出 的值。15已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（）A为递增数列B当且仅当时，有最大值C不等式的解集为D不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列 的首项，公差，解得，对于 A，由，知 为递减数列，故 错误；对于 B，由，知当 或 时，有最大值，B 不符合题意；对于 C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C 符合题意；对于 D，由等差数列求通项公式知，解得，D 不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前 n 项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列 为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当 或 时，有最大值；再利用等差数列前 n 项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式 的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式 的解集，进而找出说法正确的选项。16已知定义域为 的奇函数 的周期为 2，且 时，.若函数 在区间 （且 ）上至少有 5 个零点，则 的最小值为（）A2B3C4D6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为 是奇函数，所以 ，又因为函数 的周期为 2，所以 ，在同一坐标系中作出函数 和 的图象（如图），观察图象可知 和 的图象在 上有五个交点，而函数 在区间 （且 ）上有至少有 5 个零点，所以 ，所以 的最小值为 2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数 的性质，然后将问题转化为函数 和 的图象交点问题，再根据图象求解出 的最小值.三、解答题三、解答题17已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数 的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出 m 的取值范围，从而得出实数 m 的最大值。18已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(*)式，得：，.当时，；当时，即【知识点】等差数列；等差数列的前 n 项和；等比数列的前 n 项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则 为定值，进而得出 为定值，再利用等差数列的定义判断出数列 为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式，再结合等差数列前 n 项和公式和等比数列前 n 项和公式得出数列 的前 n 项和。（2）由（1）得出数列 的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列 的前 项和。19如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD，AD CD，AD/BC，PA=AD=CD=2，BC=3E为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且（1）求证：CD平面 PAD；（2）求二面角 F AE P 的余弦值；（3）设点 G 在 PB 上，且判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以 PACD，又因为 ADCD，所以 CD平面 PAD.（2）解：过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M.因为 PA平面 ABCD，平面，所以 PAAM，PAAD，以 A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系 A-xyz.则 A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，因为 E 为 PD 的中点，所以 E(0，1，1)，所以，所以，.设平面 AEF 的法向量为，则即，令，则，故，又平面 PAD 的法向量为，所以，二面角平面角余弦值为.（3）解：直线 AG 不在平面 AEF 内，理由如下：因为点 G 在 PB 上，且，故，所以，.由（2）知，平面 AEF 的法向量，所以，所以直线 AG 不在平面 AEF 内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用 平面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 PACD，再利用 ADCD 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 CD平面 PAD。（2）过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M，利用 PA平面 ABCD 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PAAM，PAAD，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角 F AE P 的余弦值。（3）判断出直线 AG 不在平面 AEF 内，理由为点 G 在 PB 上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出 的坐标，由（2）知，平面 AEF 的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线 AG 不在平面 AEF 内。20在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为 的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点 D，且点 D 在线段 OA 上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，由韦达定理可得，直线的方程为，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 结合代入法得出 a，b 的关系式，再利用焦距与长轴之比为 结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出 a，c 的关系式，再结合椭圆中 a，b，c 三者的关系式，从而解方程组求出 a，b，c 的值，进而得出椭圆 C 的标准方程。（2）设点、，易知 A，B 的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由 结合向量共线的坐标表示得出点 M 的坐标，再利用点 在椭圆 上结合代入法得出 的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形 的面积。（3）设、，设直线 的方程为，其中，再利用代入法得出点 D 的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，再利用两点求斜率公式得出直线 NA 的斜率，再结合斜截式求出直线 的方程，再利用两点求斜率公式得出直线 MB 的斜率，再结合斜截式求出直线 的方程，进而得出，从而得出 t 的值，进而得出点 P 的坐标，再结合数量积的坐标表示得出 的值。21对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数 m 的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M 类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以.因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，即，解得；当时，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数 是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数 m 的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数 m 的取值范围。上海市 2022 届高三数学模拟卷 上海市 2022 届高三数学模拟卷 一、填空题一、填空题1设集合=0，1，2，=1，若 ，则实数=2已知为虚数单位，若复数=13+4，则|=3不等式32 2的解集是 4若方程组+2=32+=2无解，则实数=5从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为 .6若数列的前 n 项和=23+13，则数列的通项=.7二项式(31)15 展开式中的常数项是 8小明给朋友发拼手气红包，1 毛钱分成三份（不定额数，每份是 1 分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到 5 分钱的概率为 9如图，为双曲线2222=1(0)的右焦点，过作直线与圆2+2=2切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是 .10若函数()=cos(+4)(0)在0，的值域为1，22，则 的取值范围是 11若分段函数()=32 023 0，将函数=|()()|，的最大值记作，那么当2 2时，2，+4的取值范围是 ；12已知向量 ，满足|=3，|=1，若存在不同的实数 1,2(12 0)，使得=+3，且()()=0(=1,2),则|12|的取值范围是 二、单选题二、单选题13设 0，则“=1”是“+2 恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14已知0 ，若lim+1+2=25，则（）A=25B=5C=25Db=-515已知函数()=sincos（、为常数 0，R）在=4处取得最小值，则函数(34)是（）A偶函数，且图象关于点(，0)对称B偶函数，且图象关于点(32，0)对称C奇函数，且图象关于点(32，0)对称D奇函数，且图象关于点(，0)对称16已知数列，以下两个命题：若+，+，+都是递增数列，则，都是递增数列；若+，+，+都是等差数列，则，都是等差数列，下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题三、解答题三、解答题17如图，正四棱锥中.（1）求证：平面；（2）若=2，=4 23，求二面角的余弦值.18已知()=3sin+3cos(0)（1）设=(+)(0 2)是周期为的偶函数，求，；（2）若()=(3)在(2，3)上是增函数，求的最大值；并求此时()在0，的取值范围.19如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路 上一游客休息区，已知 tan=3，=6（百米），Q 到直线 ，的距离分别为 3（百米），6 105（百米），现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路 的长；（2）已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9 分钟，表演时，喷泉喷洒区域以 P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时，=2 （百米）（0 9，0 1）.当喷泉表演开始时，一观光车 S（大小忽略不计）正从休息区 B 沿（1）中的轨道 以 2（百米/分钟）的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.20定义符号函数sgn()=1 01 1满足=1？请说明理由答案解析部分答案解析部分1【答案】0，22【答案】153【答案】(23，45)4【答案】25【答案】1336【答案】(2)17【答案】50058【答案】199【答案】y=2x10【答案】34，3211【答案】4，6012【答案】2,2 2)2 2，23)13【答案】A14【答案】D15【答案】D16【答案】D17【答案】（1）证明：因为是正棱锥，在面内射影是与的交点，即 面，又 ，与在面内相交，面；（2）解：=13 22 =4 23，=2，=2+2=2，则 与 为边长是 2 的正三角形，取的中点，连，则 ，是二面角的平面角，cos=3+382 3 3=13，=cos(13)18【答案】（1）解：()=3sin+3cos=2 3sin(+3)，设(+)=2 3sin(+)+3=2 3sin(+3)，因为(+)的周期为，故2=，故=2.所以(+)=2 3sin(2+2+3)，而(+)为偶函数，所以2+3=+2，即=2+12，因为0 2，故=12，综上，=2，=12.（2）解：()=(3)=2 3sin(3+3)，令22 3+3 2+2，解得2563 2+63，故函数()的单调递增区间为2563，2+63，所以存在 使得2563 2 0，所以=0，故563 2363即0 0）.由|30+3|10=6 105，解得 0=3，所以(3,3).故直线 的方程为 =(6)，由 =3+6=0 得 =3,=9,即(3,9)，故 =(36)2+92=9 2，答：水上旅游线 的长为 9 2.（2）解：将喷泉记为圆 P，由题意可得(3,9)，生成 t 分钟时，观光车在线段 上的点 C 处，则 =2，0 9，所以(3+,9).若喷泉不会洒到观光车上，则 2 2 对 0,9 恒成立，即 2=(6)2+2=2212+36 4，当 =0 时，上式成立，当 (0,9 时，2 +186，(+186)min=6 26，当且仅当 =3 2 时取等号，因为 (0,1)，所以 1，(0)=0，所以(1)(0)1，1+2 0，或 1，32 0，解得：12或 32，所以实数的取值集合为(，12 32，+).（2）解：当=1时，()=22(21)，21 0，2+2(21)，21 0，所以()=22(21)，1 或 1，2+2(21)，1 1，因为()=()在区间(2，0)上有唯一零点，所以方程=()在区间(2，0)上有唯一的根，所以函数=与=()在区间(2，0)上有唯一的交点，函数=()的图象，如图所示：当8 1时，()(1)2+2(2)322(1)23+23，所以2 23+231=22+3+3在 0，1)恒成立，所以2 2+3+3=8 4.当0 1时，()(1)22(2)sgn(2)21，）当 1时，上式22(2)21，所以2 22+1在 ，1)恒成立，所以2 2+1，此时0 1的数都成立；）当0 时，()(1)2+2(2)21，所以2 22+1在 0，)恒成立，当 14，即0 116时，2 2 +10 1，所以0 116；当14 1，即116 1时，2 2(14)214+1 716，所以116 716；所以0 716；综合可得：0 0，所以数列单调递增再证“必要性”假设存在 使得为偶数，则+1=2 1满足=1，理由如下：因为1=1，为奇数，所以2=1+2且2为偶数，3=1+2 假设为奇数时，；为偶数时，2当为奇数时，+1=+2，且+1为偶数；当为偶数时，+1=2 所以若+1为奇数，则+1；若+1为偶数，则+1 2因此对 都有 2所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项设集合=(，)|=，1且1=1(1 时，11=1，11=1，所以11=11所以若1 1，则11 且11 1，与1是中的最小元素矛盾所以1=1，且存在1 1满足=1 高三数学模拟卷 高三数学模拟卷 一、填空题一、填空题1设集合=0，1，2，=1，若 ，则实数=【答案】0，2【知识点】集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】集合=0，1，2，=1，若 ，则 且 1，所以=0或 2，故答案为：0，2【分析】由 ，可得 且 1，即可求解。2已知为虚数单位，若复数=13+4，则|=【答案】15【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】=13+4=34(3+4)(34)=3425，所以|=|34|25=9+1625=15.故答案为：15【分析】由复数的乘除运算化简 z，代入模长公式即可。3不等式32 2的解集是 【答案】(23，45)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】32 2322 04532 05432 0(54)(32)023 2移项通分可得(54)(32)0)的右焦点，过作直线与圆2+2=2切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是 .【答案】y=2x【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设左焦点为1，由题设知，|=2，|1|=4，1=90，162+42=42，=5，=2，双曲线的渐近线方程是 y=2x故答案为 y=2x【分析】设左焦点为1，由题意可得162+42=42即可求解。10若函数()=cos(+4)(0)在0，的值域为1，22，则 的取值范围是 【答案】34，32【知识点】余弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性；三角函数的最值【解析】【解答】因为 0，且 0，故可得+4 4，(+14)，因为=在区间4，单调递减，在，74单调递增，且cos4=22=cos74，=1，故要满足题意，只需 (+14)74解得 34，32.故答案为：34，32.【分析】由 x 的范围可得+4 4，(+14)，再结合=的单调性，可确定 (+14)74，解不等式即可。11若分段函数()=32 023 0，将函数=|()()|，的最大值记作，那么当2 2时，2，+4的取值范围是 ；【答案】4，60【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值【解析】【解答】由()=3sin2，023，0，得（2）=1，则=|()（a）|=|()1|，作出函数()的图象如图所示：当21时，|()1|=|(3)1|=4；当 1时，+4 3，2+431=2+44 4，当1 1的最大值，从而得到，+4=2+44，即可求解。12已知向量 ，满足|=3，|=1，若存在不同的实数 1,2(12 0)，使得=+3，且()()=0(=1,2),则|12|的取值范围是 【答案】2,2 2)2 2，23)【知识点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算【解析】【解答】1=(11)+31，1=1+(311)，设 =（3 3），由(1)(1)=0 得 12(+)1+=0，整理得 6(+3)214(+3)1+=0，同理 6(+3)224(+3)2+=0，所以 1,2 是方程 6(+3)24(+3)+=0 的两根，由 12 0 得 0，=3 时方程无解，故 0 且 3，=8(+3)(6)0，1+2=23，12=6(+3)，所以|12|=(1+2)2412=4946(+3)=8(+3)(6)6(+3)，|+3|=(+3)2=2+6 +92=6(+3)，所以|12|=|12|+3|=6(+3)|12|=43(6)，由 3 0，则“=1”是“+2 恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】基本不等式【解析】【解答】由题意得，+2(+)22 2 1，故“=1”是“+2 恒成立”的充分不必要条件，故答案为：A【分析】先求命题“对任意的正数 x，不等式 x+2 成立”的充要条件，再利用集合法判断两命题间的充分必要关系.14已知0 ，若lim+1+2=25，则（）A=25B=5C=25Db=-5【答案】D【知识点】极限及其运算【解析】【解答】因为0 ，且lim+1+2=25，所以0 1，可得lim+1+2=lim ()2()1=0201=2=25，=5，故答案为：D.【分析】由lim+1+2=lim ()2()1结合，0 0)（1）设=(+)(0 2)是周期为的偶函数，求，；（2）若()=(3)在(2，3)上是增函数，求的最大值；并求此时()在0，的取值范围.【答案】（1）解：()=3sin+3cos=2 3sin(+3)，设(+)=2 3sin(+)+3=2 3sin(+3)，因为(+)的周期为，故2=，故=2.所以(+)=2 3sin(2+2+3)，而(+)为偶函数，所以2+3=+2，即=2+12，因为0 2，故=12，综上，=2，=12.（2）解：()=(3)=2 3sin(3+3)，令22 3+3 2+2，解得2563 2+63，故函数()的单调递增区间为2563，2+63，所以存在 使得2563 2 0，所以=0，故563 2363即0 16，故的最大值为16.此时()=2 3sin(2+3)，因为 0，故32+356，所以 3 2sin(+6)2 3，()在0，上的取值范围为 3，2 3.【知识点】两角和与差的正弦公式；函数 y=Asin（x+）的图象变换；复合三角函数的单调性【解析】【分析】（1）由题意可得(+)=2 3sin(+3)，由周期可求=2，再结合(+)为偶函数 得到2+3=+2，即可求解；（2）由题意得到()=2 3sin(3+3)。由22 3+3 2+2即可得()的单调递增区间2563，2+63，从而得到2563 232+63求解即可得，得到()=2 3sin(2+3)进而可求解。19如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路 上一游客休息区，已知 tan=3，=6（百米），Q 到直线 ，的距离分别为3（百米），6 105（百米），现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路 的长；（2）已知在景点 Q