河北省2022届高考数学模拟试卷（18份打包）.zip

高三下学期数学二模试卷 高三下学期数学二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合=|2，=|(1)(3)1B|2 0D|2 0)，()(2)，且()在0，4上单调递增，则=（）A13B12C2D37已知 a，(0，+)，且2+3+42=7，则 a+2b 的最大值为（）A2B3C2 2D3 28已知双曲线 C：2222=1(0，0)的左右焦点分别为1，2，直线 l：=(0)与 C交于，两点，且四边形12的面积为82.若点关于点2的对称点为，且|=|，则 C 的离心率是（）A 3B 5C3D5二、多选题二、多选题9已知复数 z 满足方程(24)(24+5)=0，则（）Az 可能为纯虚数B方程各根之和为 4Cz 可能为2D方程各根之积为-2010已知 O 为坐标原点，椭圆 C：26+22=1的左右焦点分别为1，2，两点都在上，且=，则（）A|的最小值为 4B|1|+|1|为定值C存在点，使得1 2DC 的焦距是短轴长的 2倍11若直线=3+是曲线=3(0)与曲线=2+6(0)的公切线，则（）A=2B=1C=6D=712已知函数=3223在(0，+)上先增后减，函数=4334在(0，+)上先增后减.若log2(log31)=log3(log21)=0，log2(log42)=log4(log22)=，log3(log43)=log4(log33)=0，则（）A B C D 3，则(+74)的取值范围为 .四、解答题四、解答题17已知公差为 2 的等差数列的前 n 项和为，且4=16.（1）求的通项公式.（2）若=1+2，数列的前 n 项和为，证明 0，所以13.18【答案】（1）解：因为sin2+sin2=(sin+2sinsin)sin，所以2+2=2+2sin，所以2cos=2sin，因为 0，所以tan=1.因为 (0，)，所以=4.（2）解：因为=17，=3，=4，所以由余弦定理2=2+22cos，可得17=9+26 22，即23 28=0，解得=4 2或=2（舍去），故ABC 的面积为12sin=12 3 4 2 22=6.19【答案】（1）解：因为比赛只进行了 3 回合，所以甲连胜 3 回合或乙连胜 3 回合，故所求概率为0.63+(10.6)0.62=0.36.（2）解：X 的可能取值为 3，4，5.由（1）得，(=3)=0.36.比赛进行 4 回合且甲胜出的情情形如下：甲负胜胜胜胜负胜胜胜胜负胜.1=0.4 0.4 0.6 0.6+0.6 0.4 0.4 0.6+0.6 0.6 0.4 0.4=0.1728.比赛进行 4 回合且乙胜出的情形如下：乙负胜胜胜胜负胜胜胜胜负胜.2=0.6 0.4 0.6 0.6+0.4 0.4 0.4 0.6+0.4 0.6 0.4 0.4=0.1632.(=4)=1+2=0.336.(=5)=1(=3)(=4)=0.304，故()=3(=3)+4(=4)+5(=5)=3.944.20【答案】（1）证明：由：=3：4：5，=12，得=3，=4，=5，则2=2+2，所以 .因为=12，所以ABEACB，所以 ，即 .又 =，所以 平面 PEB，因为 平面 PEB，所以 .（2）解：以 E 为坐标原点，以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 E-xyz，则(0，0，0)，(4，0，0)，(0，0，3)，(0，3 3，0)，(0，3 32，32)，=(4，0，0)，=(0，3 32，32)，=(4，3 3，0)，=(4，0，3).平面 BFM 即平面 BPM，设平面 BFM 的法向量为=(1，1，1)，则由 =0，=0，得413 31=04131=0.令1=4，得=(3 3，4，4 3).设平面 EFM 的法向量为=(2，2，2)，则 =0，=0，即42=03 322+322=0.令2=1，得=(0，1，3).因为cos=|=41291 2=4 9191，所以钝二面角 B-FM-E 的余弦值为4 9191.21【答案】（1）证明：当=1时，()=11，因为()在(0，+)上单调递增，且(1)=0，所以 (0，1)时，()0，()在(1，+)上单调递增.所以()min=(1)=1，所以，()1.（2）解：()=11ln，由于函数=1，=1在1，+)均为单调递增函数，所以，()=11ln在1，+)上单调递增，且(1)=ln.当(1)=ln 0，即0 1时，()0，()在1，+)上单调递增，所以()(1)=1.当(1)=ln 1时，()存在唯一的零点0 1，当 (1，0)时，()0，()在(1，0)上单调递减，则()1不满足题意综上，a 的取值范围是(0，1.22【答案】（1）解：选：设点(1，1)、(2，2)，联立=(1)2=4可得22(22+4)+2=0，（*）当=0时，方程（*）即为=0，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，0，=(22+4)244=16(2+1)0，则1+2=22+42，12=1，所以|=(21+21)(22+22)=(21+41)(22+42)=12(1+4)(2+4)=1212+4(1+2)+16=4 22+42+17=162+25.因为：=(1)经过抛物线的焦点，所以 4|+9=4(1+2+2)+9=4(22+42+2)+9=162+25，故|=4|+9.选：设点(1，1)、(2，2)，联立=(1)2=4可得22(22+4)+2=0，（*）当=0时，方程（*）即为=0，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，0，=(22+4)244=16(2+1)0，则1+2=22+42，12=1，|=(21+21)(22+22)=(21+41)(22+42)=12(1+4)(2+4)=1212+4(1+2)+16=4 22+42+17=162+25.因为 =12+12=12+2(11)(21)=(2+1)122(1+2)+2=1+2222+42+2=3，所以cos23=|=3162+25=12，解得2=1611.（2）解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为=+，设点(234，3)、(244，4)，联立=+2=4得244=0，=162+16 0，由韦达定理可得3+4=4，34=4.因为+=231234+241244=42+1+42+2=1，所以12=12+2(1+2)，所以4=12+8，即=23.所以直线的方程为=23=(2)3，则直线过定点(3，2).因为 ，所以当点为的中点时，|=12|=2为定值，故存在定点(1，2)，使得|为定值. 高三下学期数学二模试卷 高三下学期数学二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为，所以.故答案为：C【分析】化简集合 B，再根据并集的定义可得答案。2已知向量，则（）A3B4C5D6【答案】C【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算【解析】【解答】解：由题意可得，所以.故答案为：C【分析】由向量的坐标运算求得再由模长公式即可求解。3某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分 y（单位：分）与每周课外阅读时间 x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了 100 组数据（，），并据此求得 y 关于 x 的线性回归方程为.若一位初中生的每周课外阅读时间为 2 个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为（）A70.6B100C106D110【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】解：因为，所以，所以，则.当时，.故答案为：C【分析】求得中心点坐标，代入方程求得 a，再由 x=120，即可求解。4已知是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【答案】B【知识点】充分条件；必要条件【解析】【解答】已知是空间两个不同的平面，若平面内存在不共线的三点到平面 的距离相等，可得或相交，反之，若，则平面上存在不共线的三点到平面的距离相等；所以“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的必要不充分条件故答案为：B.【分析】由平面内存在不共线的三点到平面 的距离相等，可得到或相交，即可确定选项。5若函数，则函数的最小值为（）A-1B-2C-3D-4【答案】D【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为-4.故答案为：D【分析】由配方法求得，进而得到，即可求解。6已知函数，且在上单调递增，则（）ABC2D3【答案】A【知识点】正弦函数的单调性；复合三角函数的单调性【解析】【解答】因为，所以，所以，解得.因为，所以.因为在上单调递增，所以，解得，故.故答案为：A【分析】由可得，即可得，再由得到，结合函数单调性即可知，从而解决问题。7已知 a，且，则 a+2b 的最大值为（）A2B3CD【答案】C【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：，则，当且仅当时，“=”成立，又 a，所以，当且仅当时，“=”成立，所以 a+2b 的最大值为.故答案为：C【分析】由即可求解。8已知双曲线 C：的左右焦点分别为，直线 l：与 C 交于两点，且四边形的面积为.若点关于点的对称点为，且，则 C 的离心率是（）ABC3D5【答案】B【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】解：由双曲线的对称性可知四边形是平行四边形.如图，不妨设在第三象限，由题意可知分别线段，的中点，则.因为，所以，则平行四边形是矩形.设，则，整理得，即，故双曲线 C 的离心率.故答案为：B【分析】由双曲线的对称性可知四边形是平行四边形.，不妨设在第三象限，由题意可知分别线段，的中点，如图，易判断平行四边形是矩形.，设，则即可求解。二、多选题二、多选题9已知复数 z 满足方程，则（）Az 可能为纯虚数B方程各根之和为 4Cz 可能为D方程各根之积为-20【答案】B,C,D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得或，即或，解得：或，显然 A 不符合题意，C 符合题意；各根之和为，B 符合题意；各根之积为，D 符合题意故答案为：BCD.【分析】由已知条件可得或，即可求得或，逐项判断即可。10已知 O 为坐标原点，椭圆 C：的左右焦点分别为，两点都在上，且，则（）A的最小值为 4B为定值C存在点，使得DC 的焦距是短轴长的倍【答案】B,C,D【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：因为，所以，所以，C 的焦距是短轴长的倍，D 符合题意.因为，故关于原点对称，所以，最小值为，A 不符合题意；所以，由椭圆的对称性知，所以 B 符合题意.当在轴上时，则为钝角，所以存在点 A，使得，C 符合题意.故答案为：BCD【分析】由椭圆方程可得，可判断 D，由可得 A，B 关于原点对称，即可判断 A，由椭圆定义即可判断 B，当在轴上时，结合余弦定理即可判断 C。11若直线是曲线与曲线的公切线，则（）ABCD【答案】A,D【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，则，解得，所以，即.对于函数，则，又，所以，又，所以，.故答案为：AD【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，由导数的几何意义即可求 a=1，m=-2，再结合可得，结合即可求解。12已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，则（）ABCD【答案】B,C【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化；对数函数的图象与性质【解析】【解答】，.设，在上先增后减，.，.，设，在上先增后减，.故答案为：BC.【分析】由，可得.设，由在上先增后减，可得，再结合可得，由可得，构造函数，由在上先增后减，得，即可求解。三、填空题三、填空题13若展开式中各项的系数之和为 96，则展开式中的系数为 .【答案】25【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可知，得，则，展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.故答案为：25【分析】令 x=1，即可求得 n=5，再结合的通项公式即可求解。14现有 10 个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为 1，公比为 2 的等比数列，从第 2 个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前 3 个圆如图所示，若 P，Q 分别为第 1 个圆与第 10 个圆上任意一点，则的最大值为 .（用数字作答）【答案】2046【知识点】等比数列的前 n 项和【解析】【解答】由题意可知，的最大值为这 10 个圆的直径之和，由等比数列前项和公式可得，的最大值为.故答案为：2046【分析】由题意可得的最大值为这 10 个圆的直径之和结合等比数列求和公式即可求解。15在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑 P-ABC 中，ABBC，PA平面 ABC，且，则鳖臑 P-ABC 外接球的体积是 .【答案】36【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体【解析】【解答】由题意可得三角形 ABC 外接圆的半径，因为 PA平面 ABC，所以鳖臑 P-ABC 外接球的半径，故鳖臑 P-ABC 外接球的体积是.故答案为：36【分析】由直角三角形性质可得三角形 ABC 外接圆的半径，再结合 PA平面 ABC，可得即可求解。16已知，则的取值范围为 .【答案】【知识点】利用导数研究函数的单调性；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：因为，所以，即.设函数，则，因为，所以，所以为增函数.又，所以，所以，故.故答案为：【分析】由，代入已知条件可得，构造函数易判断单调递增，由，即可得，再由两角和的正切公式即可求解。四、解答题四、解答题17已知公差为 2 的等差数列的前 n 项和为，且.（1）求的通项公式.（2）若，数列的前 n 项和为，证明.【答案】（1）解：由题意，得，解得：，故.（2）证明：因为，所以，因为，所以.【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合【解析】【分析】（1）由求得 a1，即可求解；（2）由（1）可得，通过裂项相消求和即可求证。18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且.（1）求角 A；（2）若，求ABC 的面积.【答案】（1）解：因为，所以，所以，因为，所以.因为，所以.（2）解：因为，所以由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），故ABC 的面积为.【知识点】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角 A；(2)利用余弦定理求解 C，然后求解三角形的面积.19甲乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打 5 个回合，先胜 3 回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为 0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第 1 回合中，甲先发球.（1）求比赛只进行了 3 回合的概率；（2）设比赛共进行了 X 回合，求 X 的数学期望.【答案】（1）解：因为比赛只进行了 3 回合，所以甲连胜 3 回合或乙连胜 3 回合，故所求概率为.（2）解：X 的可能取值为 3，4，5.由（1）得，.比赛进行 4 回合且甲胜出的情情形如下：甲负胜胜胜胜负胜胜胜胜负胜.比赛进行 4 回合且乙胜出的情形如下：乙负胜胜胜胜负胜胜胜胜负胜.，故.【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）由 只进行了 3 回合等价于甲连胜 3 回合或乙连胜 3 回合，即可求解；（2）由题意可知 X 的可能取值为 3，4，5.求得每个取值对应概率，再由期望计算公式即可求解。20如图 1，在 RtABC 中，E，F 都在 AC 上，且，将AEB，CFG 分别沿 EB，FG 折起，使得点 A，C 在点 P 处重合，得到四棱锥 P-EFGB，如图2.（1）证明：.（2）若 M 为 PB 的中点，求钝二面角 B-FM-E 的余弦值.【答案】（1）证明：由，得，则，所以.因为，所以ABEACB，所以，即.又，所以平面 PEB，因为平面 PEB，所以.（2）解：以 E 为坐标原点，以的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 E-xyz，则，.平面 BFM 即平面 BPM，设平面 BFM 的法向量为，则由，得.令，得.设平面 EFM 的法向量为，则，即.令，得.因为，所以钝二面角 B-FM-E 的余弦值为.【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）结合勾股定理易得，再由 ABEACB，得，即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。21已知函数.（1）若，证明：.（2）当时，恒成立，求 a 的取值范围.【答案】（1）证明：当时，因为在上单调递增，且，所以时，在上单调递减，当时，在上单调递增.所以，所以，.（2）解：，由于函数在均为单调递增函数，所以，在上单调递增，且.当，即时，在上单调递增，所以.当，即时，存在唯一的零点，当时，在上单调递减，则，这与恒成立矛盾，所以不满足题意综上，a 的取值范围是.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求得，通过，求得单调区间，即可求得最小值，从而解决问题；（2）由 函数在均为单调递增函数，可判断也单调递增，通过讨论和确定函数的单调区间，求得最小值，即可求解。22已知抛物线.（1）直线与交于 A、B 两点，O 为坐标原点.从下面的两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.证明：.若，求的值；（2）已知点，直线与交于 C、D 两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：选：设点、，联立可得，（*）当时，方程（*）即为，此时直线 与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，则，所以.因为经过抛物线的焦点，所以，故.选：设点、，联立可得，（*）当时，方程（*）即为，此时直线 与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，则，.因为，所以，解得.（2）解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立得，由韦达定理可得，.因为，所以，所以，即.所以直线的方程为，则直线过定点.因为，所以当点为的中点时，为定值，故存在定点，使得为定值.【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）选：设点、，直线方程，抛物线方程联立，结合韦达定理，可得，结合即可求解；选：设点、，联立直线与抛物线方程，结合达定理得到：，再由-3，即可求解；（2）先判断当直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，再设直线的方程为，设点、，联立结合韦达定理及，可得，即，从而直线的方程为，即过定点.又，可知点为的中点，即可求证。 高三数学三模试卷 高三数学三模试卷一、单选题一、单选题1设集合，则（）ABC2D2设复数 z 满足，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3等比数列中，若，则（）A16B-16C32D-324已知菱形的边长为 2，则（）ABC1D25的展开式中的系数为（）A-4B-2C2D106阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点 P 为椭圆 C 的上项点直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若的斜率之积为，则椭圆 C 的长轴长为（）A3B6CD7下列说法正确的是（）A数据的方差是 0.1，则有数据的方差为 9B将 4 名学生分配到 2 间宿舍，每间宿舍 2 人，则不同的分配方法共有种C从 4 名男医生和 5 名女医生中选出 3 名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种D在回归直线方程中，相对于样本点的残差为8已知函数则使不等式成立的实数 x 的取值范围为（）ABCD二、多选题二、多选题9下列命题正确的有（）A若，则B若，则C若，则D，则10已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（）AB双曲线的渐近线方程为C双曲线的离心率为D11已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O，其高为 2，为圆 O 的内接三角形，且，P 为圆上的动点，则（）A若平面，则三棱锥外接球的表面积为B若，则C三棱锥体积的最大值为D点 A 到平面距离的最大值为12已知函数，则下列说法正确的有（）A的周期为B关于点对称C在上的最大值为D在上的所有零点之和为三、填空题三、填空题13在某次测验中，测验结果服从正态分布若，则 14若，则 15直线与圆交于 A、B 两点，且，则实数 16角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以 3 再加 1；如果它是偶数，则将它除以 2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过 8 个步滕变成 1（简称为 8 步“香程”），已知数列满足：（m 为正整数），若，则使得至少需要 步雹程；若；则 m 所有可能取值的和为 四、解答题四、解答题17如图，在四边形中，（1）证明：为直角三角形；（2）若，求四边形面积 S 的最大值18已知正项数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，证明：19某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的 A，B，C 三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费 10 元，投进 A 桶，奖励游客面值 20 元的景区消费券；投进 B 桶，奖励游客面值 60元的景区消费券；投进 C 桶，奖励游客面值 90 元的景区消费券；投不进则没有奖励游客各次投球是否投进相互独立（1）向 A 桶投球 3 次，每次投进的概率为 p，记投进 2 次的概率为，求的最大值点；（2）游客甲投进 A，B，C 三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由20如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，（1）证明：平面；（2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值21在平面直角坐标系中，动圆 M 与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心 M 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）过点的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，分别以 A，B 为切点作曲线 C 的切线，直线相交于点 P若，求直线 l 的方程22已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在定义域内有两个不相等的零点求实数 a 的取值范围；证明：答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】D3【答案】A4【答案】B5【答案】C6【答案】B7【答案】D8【答案】C9【答案】B,D10【答案】C,D11【答案】A,C,D12【答案】B,C,D13【答案】0.614【答案】415【答案】-1 或 516【答案】9；38517【答案】（1）证明：，由与余弦定理，整理得，为直角三角形（2）解：，由，得（当且仅当时取等号）所以四边形面积 S 的最大值为 1218【答案】（1）解：由已知，即又，故，即（且）所以，当时，当时，所以（2）证明：当时，法二：.19【答案】（1）解：3 次向 A 桶投球投进 2 次的概率令，得当时，；当时，在上单调递增，在单调递减，所以的最大值点（2）解：由（1）得游客甲投进 A，B，C 三桶的概率分别为设投进 A 桶的纯收入为 X 元，；设投进 B 桶的纯收入为 Y 元，；设投进 C 桶的纯收入为 Z 元，；因为所以游客甲选择向 B 桶投球更有利20【答案】（1）证明：取中点，连接，四边形为菱形，四边形为平行四边形，又，平面又平面，又平面平面，且平面平面，平面（2）解：平面，又，又，底面是直角梯形以所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由得取，平面与平面所成锐二面角的余弦值为21【答案】（1）解：设动圆圆心，半径为 r，依题意，于是得，化简得，所以曲线 C 的方程为.（2）解：依题意，直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为，由消去 y 并整理得，则有，直线的斜率存在，设直线的方程为：，由消去 y 并整理得：，则有，解得，切线的方程为，同理可得，切线的方程为，由，解得，即点，则，因，即，即，化简得，因此，于是得点或，直线 l 的斜率，所以直线 l 的方程为或.22【答案】（1）解：当时，函数，定义域为由，得当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：若函数在定义域内有两个不相等的零点，则方程有两个不等的实根即方程有两个不等的实根记，则，记，则在上单减，且，当时，；当时，在上单调递增，在单调递减又且当时，方程为有两个不等的实根时，当时函数在定义域内有两个不相等的零点要证，只需证，只需证，因为，两式相减得：整理得所以只需证，即证，即，不妨设，令，只需证，只需证，设，只需证当时，即可，在（单调递减，当时，在单调递增，当时，原不等式得证 高三数学三模试卷 高三数学三模试卷一、单选题一、单选题1设集合，则（）ABC2D【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】，则，又，所以.故答案为：A.【分析】首先由一元二次方程的解法以及数集的定义即可得出集合 A 与 B，再由补集和交集的定义即可得出答案。2设复数 z 满足，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】依题意，于是得，所以 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限.故答案为：D【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。3等比数列中，若，则（）A16B-16C32D-32【答案】A【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】，则，即又，即，则且则故答案为：A【分析】首先由已知条件的数列的递推公式结合等差数列的通项公式即可计算出 q 的取值，然后由已知条件计算出首先并代入到等比数列的通项公式，由此计算出答案。4已知菱形的边长为 2，则（）ABC1D2【答案】B【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算【解析】【解答】根据题意可得，即，即故答案为：B【分析】首先由向量的运算性质整理化简已知条件，再由数量积的运算性质整理化简进而得出答案。5的展开式中的系数为（）A-4B-2C2D10【答案】C【知识点】二项式定理【解析】【解答】的第项令，则，令，则，则的展开式中的系数为故答案为：C【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合题意代入数值计算出 k 的取值，并代入到通项公式由此计算出答案。6阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点 P 为椭圆 C 的上项点直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若的斜率之积为，则椭圆 C 的长轴长为（）A3B6CD【答案】B【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】椭圆的面积，即.因为点 P 为椭圆 C 的上项点，所以.因为直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，不妨设，则且，所以.因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：联立解得：.所以椭圆 C 的长轴长为 2a=6.故答案为：B【分析】根据题意由椭圆的简单性结合已知条件即可得出 a 与 b 的方程，再由题意设出点以及直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后，结合韦达定理以及斜率的坐标公式整理化简即可得出 a 与 b 的方程，联立求解出a 与 b 的值，从而得出椭圆的长轴的取值。7下列说法正确的是（）A数据的方差是 0.1，则有数据的方差为 9B将 4 名学生分配到 2 间宿舍，每间宿舍 2 人，则不同的分配方法共有种C从 4 名男医生和 5 名女医生中选出 3 名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种D在回归直线方程中，相对于样本点的残差为【答案】D【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】对于 A，由已知得，则对于，可得，A 不符合题意；对于 B，将 4 名学生分配到 2 间宿舍，每间宿舍 2 人，则不同分配方法有种，B 不符合题意；对于 C，从 4 名男医生和 5 名女医生中选出 3 名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种，而种，C 不符合题意；对于 D，残差，D 符合题意；故答案为：D【分析】根据题意由方程的公式代入数值计算出结果由此判断出选项 A 错误；由排列组合以及计数原理即可计算出结果由此判断出选项 B 和 C 的正误；结合已知条件由线性回归方程中的数据以及残差的公式，代入数值计算出结果由此判断出选项 D 正确；从而得出答案。8已知函数则使不等式成立的实数 x 的取值范围为（）ABCD【答案】C【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用【解析】【解答】因为，时，因此时也有，即函数是奇函数，时，所以是减函数，所以奇函数在 R 上是减函数，又，所以，不等式为，所以，故答案为：C【分析】根据题意由函数的奇偶性以及单调性结合指数函数的图象和性质，即可计算出函数的取值再由函数的单调性以及对数的运算性质整理化简即可得出 x 的取值范围。二、多选题二、多选题9下列命题正确的有（）A若，则B若，则C若，则D，则【答案】B,D【知识点】对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质【解析】【解答】对于 A，A 不符合题意；对于 B，B 符合题意；对于 C，C 不符合题意；对于 D，所以，D 符合题意.故答案为：BD.【分析】由不等式的简单性质以及指对互化公式、对数的运算性质整理化简，由此对选项逐一判断即可得出答案。10已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（）AB双曲线的渐近线方程为C双曲线的离心率为D【答案】C,D【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线：焦点在轴上，对于 A 选项，而点在哪支上并不确定，A 不符合题意对于 B 选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，B 不符合题意对于 C 选项，C 符合题意对于 D 选项，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，D 符合题意故答案为：CD【分析】根据题意由双曲线的简单性质、定义以及离心率公式，结合整体思想，由此对选项逐一判断即可得出答案。11已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O，其高为 2，为圆 O 的内接三角形，且，P 为圆上的动点，则（）A若平面，则三棱锥外接球的表面积为B若，则C三棱锥体积的最大值为D点 A 到平面距离的最大值为【答案】A,C,D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；点、线、面间的距离计算【解析】【解答】对于 A，取的中点，易得，则为三棱锥外接球的球心，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为.A符合题意；对于 B，过过平面，垂足为，连，则，又因为，所以平面，所以，只有当经过的中点时，才有，B 不正确；对于 C，在中，由余弦定理得，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以三棱锥体积的最大值为.C 符合题意；对于 D，设点 A 到平面距离为，则，因为，所以，即点 A 到平面距离的最大值为，D 符合题意.故答案为：ACD【分析】首先由已知条件作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，然后由余弦定理代入数值计算出边的大小，再由线面垂直的性质定理以及三棱柱和球的几何性质把数值代入到球的表面积公式由此判断出选项 A正确；结合三棱锥的体积公式以及点到平面的距离公式，代入数值计算出结果，由此判断出选项 C 与 D 的正误；从而得出答案。12已知函数，则下列说法正确的有（）A的周期为B关于点对称C在上的最大值为D在上的所有零点之和为【答案】B,C,D【知识点】函数单调性的性质；函数的图象【解析】【解答】对 A，因为的周期为，的周期为，故的周期为，A 不符合题意；对 B，因为，故关于点对称，B 符合题意；对 C，因为导函数在上为减函数，且当时，即，故在上，单调递增；在上，单调递减.故；对 D，分析在上的所有零点即图象交点的横坐标，又均关于对称，故分析时的图象即可.由 C 选项，在上单调递增；在上单调递减，又关于对称，在上，为减函数，故可画出在区间上的简图.故图象交点有三对关于的对称点，故零点和为，D 符合题意故答案为：BCD【分析】根据题意由正弦函数和正切函数的图象和性质即可判断出选项 A 与 B 的正误；再由函数零点的定义结合数形结合法，即可判断出选项 C 与 D 的正误，由此即可得出答案。三、填空题三、填空题13在某次测验中，测验结果服从正态分布若，则 【答案】0.6【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为服从正态分布，所以，因为故答案为：0.6.【分析】利用正太分布的几何性质以及数据，代入数值计算出结果即可。14若，则 【答案】4【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为，两边同时平方得，即，所以，因此，故答案为：4.【分析】首先整理化简原式，再由同角三角函数的基本关系式计算出结果即可。15直线与圆交于 A、B 两点，且，则实数 【答案】-1 或 5【知识点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【解析】【解答】，则圆心，半径，设 AB 中点为 D，则 CDAB，且 DB=DA，则，即，或 5故答案为：-1 或 5【分析】根据题意首先把圆化为标准式并求出圆心坐标以及半径，再由数量积的运算公式整理化简计算出 m的取值。16角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以 3 再加 1；如果它是偶数，则将它除以 2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过 8 个步滕变成 1（简称为 8 步“香程”），已知数列满足：（m 为正整数），若，则使得至少需要 步雹程；若；则 m 所有可能取值的和为 【答案】9；385【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性【解析】【解答】m=13，依题意，共 9 共 步骤；若，或，若，若，的集合为，其和为 385；故答案为：9，385.【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合数列的递推公式整理化简分情况讨论计算出的取值，结合已知条件即可得出数列的通项公式；并把结果代入到数列的通项公式由此计算出结果即可。四、解答题四、解答题17如图，在四边形中，（1）证明：为直角三角形；（2）若，求四边形面积 S 的最大值【答案】（1）证明：，由与余弦定理，整理得，为直角三角形（2）解：，由，得（当且仅当时取等号）所以四边形面积 S 的最大值为 12【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式由此计算出边之间的关系，从而得出角的大小。(2)利用等面积法结合勾股定理计算出线线垂直，由此整理化简三角形的面积公式，再结合基本不等式即可得出最值。18已知正项数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，证明：【答案】（1）解：由已知，即又，故，即（且）所以，当时，当时，所以（2）证明：当时，法二：.【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合【解析】【分析】(1)根据题意整理化简已知的数列的通项公式，整理化简即可得出数列的通项公式，并代入验证即可得出数列的通项公式。(2)法一：由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法以及放缩法即可得证出结论；法二：首先整理化简数列前 n 项和公式，再由裂项相消法以及放缩法即可得证出结论。19某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的 A，B，C 三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费 10 元，投进 A 桶，奖