1、第第2 2章章 导数与微分导数与微分2.4.1 2.4.1 微分的概念微分的概念2.4.2 2.4.2 微分的计算微分的计算2.4 2.4 函数的微分函数的微分 设函数设函数y=f(x)在点在点x0可导，即可导，即)(lim00 xfxyx 根据具有极限的函数与无穷小的关系，得根据具有极限的函数与无穷小的关系，得)(0 xfxy（为无穷小，即为无穷小，即 ）0lim0 x于是于是xxxfy)(0其中其中 与与 是同阶无穷小，是同阶无穷小，是较是较 高阶的无穷小（当高阶的无穷小（当 时）。时）。xxf)(0 xxx0)(0 xf 因此因此,在增量在增量 中中,起主要作用的是起主要作用的是 它与它
2、与 仅差一个较仅差一个较 高阶的无穷小。高阶的无穷小。y,)(0 xxfyx 于是，在于是，在 中，中，是是 的主要部分。的主要部分。xxxfy)(0 xxf)(0y 又由于又由于 是是 的线性函数，故常的线性函数，故常把把 称为称为 的线性主部（当的线性主部（当 且且 时）。时）。xxf)(0 xxxf)(0y,0)(0 xf0 x 由以上的讨论可知，当由以上的讨论可知，当 很小时，可用很小时，可用函数增量的线性主部来近似代替函数的增量，函数增量的线性主部来近似代替函数的增量，即即xxxfy)(0 定义定义 若函数若函数y=f(x)在点在点x0可导可导,则称则称 为为f(x)在点在点x0的微
3、分，记作的微分，记作dy，即，即xxf)(0 xxfdy)(0 显然，当显然，当 且且 时，函数的时，函数的微分微分 就是函数增量就是函数增量 的线性主部。的线性主部。0)(0 xf0 xxxfdy)(0y 一般地，函数一般地，函数y=f(x)在点在点x的微分称为函数的微分称为函数的微分，记为的微分，记为dy，即，即xxfdy)(当函数当函数f(x)在点在点x的微分存在时，称函数的微分存在时，称函数f(x)在点在点x可微。可微。显然，可导显然，可导 可微可微（可见，导数即为微分之商，简称微商）（可见，导数即为微分之商，简称微商）从而从而 自变量自变量x的微分定义为的微分定义为于是有于是有,)(
4、dxxfdyxdx)(xfdxdy 微分的几何意义是：切线的纵坐标增量。微分的几何意义是：切线的纵坐标增量。ONNMMdyyQTPxydx事实上，事实上，tgMQQP 故切线的纵坐标增故切线的纵坐标增量为量为dydxxfxxfxfxtgMQQP)()()(微分的几何意义是：切线的纵坐标增量。微分的几何意义是：切线的纵坐标增量。ONNMMdyyQTPxydx事实上，事实上，tgMQQP 故切线的纵坐标增故切线的纵坐标增量为量为dydxxfxxfxfxtgMQQP)()()(3、微分公式与运算法则、微分公式与运算法则1)微分的基本公式微分的基本公式（即基本初等函数的微分公式）（即基本初等函数的微分
5、公式）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）0dCdxxxd1)(adxaadxxln)(dxeedxx)(dxaxxdaln1logdxxxd1lnxdxxdcossinxdxxdsincos2tansecdxxdx2cotcscdxxdx（11）（12）（13）（14）（15）（16）xtgxdxxdsecsecxctgxdxxdcsccscdxxxd211arcsindxxxd211arccos21arctan1dxdxx21cot1darcxdxx 2.微分的基本法则微分的基本法则(1)(2)d(uv)=udv+vdu(3)d(Cu)=Cdu(4)dvduvud
6、)(2vudvvduvud四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性 结论：无论结论：无论u是自变量还是中间变量，函数是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分始终保持同一形式的微分始终保持同一形式duufdy)(（微分形式的不变性）（微分形式的不变性）求复合函数的微分时，既可根据微分的定求复合函数的微分时，既可根据微分的定义，又可用微分形式的不变性。义，又可用微分形式的不变性。例例1 求求y=sin(2x+1)的微分。的微分。例例2 求求 的微分的微分dy2xeyx解：dy=dsin(2x+1)=2cos(2x+1)dx2222222x(2x1)dy=d=dx=xxxxxxeeeedxx解：
