1、2.1 连续系统数学模型的表示方法连续系统数学模型的表示方法2.2 连续信号的离散化连续信号的离散化2.3 Z变换与反变换变换与反变换2.4 离散系统与差分方程离散系统与差分方程第第2章章 计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的理论基础2.5 离散系统的传递函数离散系统的传递函数2.6 计算机控制系统的性能分析计算机控制系统的性能分析2.1 连续系统数学模型的表示方法连续系统数学模型的表示方法2.1.1 控制系统数学模型及其类型控制系统数学模型及其类型 数学模型是根据系统运动过程的物理、化学等规律，写出数学模型是根据系统运动过程的物理、化学等规律，写出描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的
2、数学表达式描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。（1）静态模型与动态模型）静态模型与动态模型 静态数学模型是描述系统静态特性的模型，一般用代数方静态数学模型是描述系统静态特性的模型，一般用代数方程来表示，反映输入与输出之间的稳态关系，其模型中的变量程来表示，反映输入与输出之间的稳态关系，其模型中的变量不依赖于时间。不依赖于时间。动态数学模型是描述系统动态或瞬态特性的模型，一般用动态数学模型是描述系统动态或瞬态特性的模型，一般用微分方程来表示，其模型中的变量依赖于时间。微分方程来表示，其模型中的变量依赖于时间。（2）输入输出描述模型与内部描述模型）输入输出描述模型与内部描述模型 输
3、入输出描述模型是描述系统输出与输入之间关系的数学输入输出描述模型是描述系统输出与输入之间关系的数学模型，可用微分方程、传递函数、频率特性等数学模型表示。模型，可用微分方程、传递函数、频率特性等数学模型表示。内部描述模型是描述系统内部状态和系统输入、输出之间内部描述模型是描述系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，即状态空间模型。内部描述模型不仅描述了系统输入的关系，即状态空间模型。内部描述模型不仅描述了系统输入与输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系。与输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系。（3）连续）连续数学数学模型与离散模型与离散数学数学模型模型 连续数学模型常用微分方程
4、、传递函数、状态空间等表示。连续数学模型常用微分方程、传递函数、状态空间等表示。离散数学模型常用差分方程、离散数学模型常用差分方程、Z传递函数、离散状态空间传递函数、离散状态空间等表示。等表示。（4）参数模型与非参数模型）参数模型与非参数模型 参数模型是采用数学表达式表示的数学模型，如传递参数模型是采用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。
5、频率特性曲线等。数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 机理分析建模法机理分析建模法简称分析法，它通过对系统内在机理的简称分析法，它通过对系统内在机理的分析，运用物理、化学等定律，推导出描述系统的数学模型。分析，运用物理、化学等定律，推导出描述系统的数学模型。实验建模法实验建模法也称为系统辨识，它是一种利用系统输入与也称为系统辨识，它是一种利用系统输入与输出的实验数据或者正常运行数据，构造数
6、学模型的实验建输出的实验数据或者正常运行数据，构造数学模型的实验建模方法。模方法。此此方法建模的条件：建模对象必须已经存在并能够方法建模的条件：建模对象必须已经存在并能够进行实验。进行实验。“灰箱灰箱”建模法建模法，首先，首先由机理分析提出模型结构，然后用由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数。观测数据估计出模型参数。（1）用微分方程描述）用微分方程描述 根据系统的机理分析，按以下步骤得到系统的微分方程：根据系统的机理分析，按以下步骤得到系统的微分方程：根据对象的工作原理确定系统的输入与输出变量；根据对象的工作原理确定系统的输入与输出变量；从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各
7、变量所从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列出各变量之间的动态方程，一遵循的物理、化学等定律，列出各变量之间的动态方程，一般为微分方程组；般为微分方程组；消去方程式中间变量，得到输入量与输出量相关联的消去方程式中间变量，得到输入量与输出量相关联的方程；方程；标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。数化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。例例2.1：如图：如图2.1
8、所示，水经过阀门所示，水经过阀门1不断地流入水槽，又不断地流入水槽，又通过阀门通过阀门2不断流出，水槽的横截面积为不断流出，水槽的横截面积为A。假定水槽的液。假定水槽的液位保持一定，并且阀门位保持一定，并且阀门2开度不变，则阀门开度不变，则阀门1开度变化是引起开度变化是引起水槽液位变化的干扰因素，请写出液位随阀门水槽液位变化的干扰因素，请写出液位随阀门 l 开度变化的开度变化的数学表示式。数学表示式。，假设系统的流入量为 ，流出量为 ，阀门 1开度为 ，阀门 1流量比例系数为 ，水位高度为 ，压力流量比例系数为 ，则输入量为 ，输出量为 ，遵循物料平衡原理。1Q2QV1Kh2KVh 解：在解：
9、在 时间内，水槽高度变化时间内，水槽高度变化 ，流入和流出水槽，流入和流出水槽的水量之差等于水槽内增加的水量之差等于水槽内增加(或减少或减少)的水量的水量,则有：则有：，而，而 ，由此可得到由此可得到 ，移项并整理得：移项并整理得：，令令 ，所以，水槽对象特性的微分方程式为所以，水槽对象特性的微分方程式为 。dt11QK V22QK hAdhdtQQ21dh12K VK h dtAdh122KA dhhVKdtK122,KATKKKdhThKVdt （2）用传递函数描述）用传递函数描述 1）传递函数的定义）传递函数的定义 传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普传递函数是在零初始条件
10、下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。线性定常系统的一般拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。线性定常系统的一般微分方程微分方程1111011011()()()()()()()()nnmmnnmmnnmmd c tdc tdc td r tdr tdr taaaa c tbbbb r tdtdtdtdtdtdt)(tc)(tr011,aaaann011,bbbbmm其中 为输出量，为输入量，及 均为由系统结构、参数决定的定常系数。在零初始条件下，系统的传递函数在零初始条件下，系统的传递函数 为为)(sG01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsG
11、nnnnmmmm 2）传递函数的性质）传递函数的性质 传递函数的分母反映了由系统的结构和参数所决定的系传递函数的分母反映了由系统的结构和参数所决定的系统固有特性，分子反映了系统与外界之间的联系。传递函数统固有特性，分子反映了系统与外界之间的联系。传递函数分子中分子中s的阶次不大于分母中的阶次不大于分母中s的阶次。的阶次。传递函数只反映系统在零初始条件下的运动特性。传递函数只反映系统在零初始条件下的运动特性。传递函数的概念只适用于线性定常系统。它的拉普拉斯传递函数的概念只适用于线性定常系统。它的拉普拉斯反变换即为系统的脉冲响应。反变换即为系统的脉冲响应。3）传递函数的表达式）传递函数的表达式 有
12、理分式形式有理分式形式 零极点形式零极点形式 时间常数形式时间常数形式 其中，在实数范围内因式分解v n n 01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm11212()()()()()()()mnK szszszG sspspsp)1()1()(11sTssKsGjnjvimi)12()1()12()1()(221122112121sTsTsTssssKsGlllnljnjvkkkmkimi 例例2.2：已知某系统的传递函数为已知某系统的传递函数为 ，求系统的微分方程。求系统的微分方程。215(2)()(3)(1)sG ss sss 解：解：2432()
13、15(2)15(2)()()(3)(1)443C sssG sR ss sssssss()G s432432()()()()()4431530()d c td c td c tdc tdr tr tdtdtdtdtdt对对 进行拉普拉斯反变换，零初始条件下可得系统进行拉普拉斯反变换，零初始条件下可得系统的微分方程为：的微分方程为：2.1.3 控控制系统中基本环节的传递函数制系统中基本环节的传递函数稳定的基本环节：比例环节：；积分环节：；微分环节：；实际微分环节为 ，一阶微分环节：；二阶微分环节：；惯性环节：；振荡环节：；迟后环节（纯时滞环节）：ks1s1ss1s1222ss11s22121ss
14、se不稳定的基本环节：不稳定惯性环节：不稳定振荡环节：11s22121ss2.1.4 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 （1）结构图结构图：描述系统各组成元部件之间信号传递关系描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形。的数学图形。信号线信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向，直线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向，直线上面或者旁边标注所传递信号的时间函数或传递函数。上面或者旁边标注所传递信号的时间函数或传递函数。引出点引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。从同一信（测量点）：引出或者测量信号的位置。从同一信号线上引出的信号在数值和性质上完全相同。号线
15、上引出的信号在数值和性质上完全相同。比较点比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算，运算，“+”表示相加，可以省略，表示相加，可以省略，“-”表示相减。表示相减。方块方块：对输入信号进行的数学变换。对于线性定常系统或：对输入信号进行的数学变换。对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数或者频率特性。元件，通常在方框中写入其传递函数或者频率特性。（2）结构图等效变换）结构图等效变换 1）串联环节的等效变换）串联环节的等效变换 图图2.2（a）是两个环节串联的结构图，）是两个环节串联的结构图，2.2（b）是）是2.2（a）的）的等效
16、结构图。等效结构图。（a）（b）图2.2 2个环节串联的等效变换)()()()()(12sGsGsRsCsG 结论：结论：n个环节串联后的总传递函数等于各个串联环节传递函个环节串联后的总传递函数等于各个串联环节传递函数的乘积数的乘积。例例2.3：已知系统由：已知系统由1个比例环节，个比例环节，2个惯性环节，以及个惯性环节，以及1个纯迟后环节串联而成。其中，比例常数为个纯迟后环节串联而成。其中，比例常数为5，惯性时间常，惯性时间常数分别为数分别为0.1s和和0.5s，迟后时间常数为，迟后时间常数为1s，请写出该系统的传，请写出该系统的传递函数递函数 。()G s 解：根据基本环节的传递函数有：1
17、()5G sk211()1 0.11G sss311()10.51G sss4()ssG see因此，1234100()()()()()(10)(2)seG sG s G s G s G sss 2）并联环节的等效变换）并联环节的等效变换 结论：结论：n个环节并联后的总传递函数等于各个并联环节传递个环节并联后的总传递函数等于各个并联环节传递函数的代数和。函数的代数和。)()()()()()()()(2121sRsGsGsRsGsRsGsC 2个环节并联的结构)()()(21sGsGsG因此，因此，例例2.4：某一系统的结构如图，若：某一系统的结构如图，若 ，请写出该系统的传递函数请写出该系统的
18、传递函数 。13()Gss21()21G ss sG解：解：该系统的传递函数：123173()()()21(21)sG sG sG ssss s 或123153()()()21(21)sG sG sG sssss 3）反馈连接的等效变换）反馈连接的等效变换 可得，反馈连接后的等效（闭环）传递函数表示为：)()()()()()()()()()(111sCsHsRsGsBsRsGsEsGsC)()()(1)()(11sRsHsGsGsC)()(1)()(11sHsGsGsG 反馈连接的结构2.1.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 具有扰动作用的闭环系统具有扰动作用的闭环系统框图如下
19、。框图如下。（1）系统的开环传递函数）系统的开环传递函数)()(sHsG)()(sEsB)()()(21sHsGsG=2）扰动输入作用下的闭环传递函数）扰动输入作用下的闭环传递函数3）输入和扰动同时作用下系统的总输出）输入和扰动同时作用下系统的总输出)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn令 ，0)(sR)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsGsC（2）系统的闭环传递函数）系统的闭环传递函数1）给定输入作用下的闭环传递函数）给定输入作用下的闭环传递函数212()()()()1()()()G sC ss
20、R sG s G s H s令 ，0)(sN2.2 连续信号的离散化连续信号的离散化2.2.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复（1）信号的采样过程）信号的采样过程 信号的采样过程被采样的连续信号经采样后的脉冲序列由于采样开关的接通时间无限小，则 就是 在开关合上瞬时的值，用理想脉冲 函数表示：)(*tf)(tf)2()2()()()()0()(*TtTfTtTftftf0)()(kkTtkTf对于实际系统，当 时，故有 。0t0)(tfkkTtkTftf)()()(*（2）采样定理）采样定理 一个连续时间信号 ，设其频带宽度是有限的，其最高角频率记为 ，如果在等间隔点上对 进行连续采样得到离
21、散信号 ，为使 能包含 的全部信息量，则采样角频率 必须满足 。与采样频率 、采样周期 的关系为：。)(tfmax)(tf)(*tf)(*tf)(tfsmax2sssfTTfss22 （3）信息的恢复过程和零阶保持器）信息的恢复过程和零阶保持器 连续信号 在 邻域展开的泰勒级数如下:取式右端第一项近似，则有 此时称为零阶保持器，表示为“ZOH”。同理，取式右端两项之和近似，则有此时称为1阶保持器。依次类推，取式右端前 项之和近似，构成 阶保持器。)(tf 2)(!21)()()(kTtkTfkTtkTfkTftfkTtTktkTkTftf)1(),()(TktkTkTtTTkfkTfkTfkT
22、tkTfkTftf)1(),()1()()()()()(t kTn1n 利用利用零阶保持器零阶保持器将将 恢复出恢复出 ：把第 时刻的采样值保持到第 时刻的前一瞬间，把第 时刻的采样值保持到 时刻的前一瞬间，依次类推。如图所示。kT(1)kT(1)kT(2)kT()f kT()f t2.2.2 采样周期的选择采样周期的选择 由于模拟信号的最高角频率不易确定，采样定理只能作为由于模拟信号的最高角频率不易确定，采样定理只能作为控制系统确定采样周期的理论指导原则，应用中设计者应结合控制系统确定采样周期的理论指导原则，应用中设计者应结合实际被控对象性质或参数，依据实践经验选择计算的实用公式，实际被控对
23、象性质或参数，依据实践经验选择计算的实用公式，最后由系统实际运行的实验确定。最后由系统实际运行的实验确定。采样周期取值越小，采样信号的信息损失越小，复现精度采样周期取值越小，采样信号的信息损失越小，复现精度就越高。但过小会使控制系统调节过于频繁。采样周期过大，就越高。但过小会使控制系统调节过于频繁。采样周期过大，计算机控制系统计算机控制系统的的动态品质动态品质不佳不佳，甚至，甚至使使系统不稳定。系统不稳定。在工程应用的实践中，通常以采样定理为理论指导，结合在工程应用的实践中，通常以采样定理为理论指导，结合系统被控对象的惯性大小和加在该对象的预期干扰程度和性质系统被控对象的惯性大小和加在该对象的
24、预期干扰程度和性质来选择采样周期。来选择采样周期。2.3 Z变换与反变换变换与反变换2.3.1 Z变换的定义变换的定义 连续函数 经采样周期 采样后的脉冲采样函数 表示为 对式子进行拉普拉斯变换，得到0*)()()(kkTtkTftf 00*)()()()()()()(kststkstdtekTtkTfdtekTtkTfdtetftfLsF)(tfT)(*tf根据广义脉冲函数 的性质)()(kTtLedtekTtskTst0*)()(kskTekTfsF)(t可得引入新变量 ，令 ，并记 为 ，得到脉冲采样函数 的 变换式Tsez z)(*sF)(zF0)()(kkzkTfzFZ)(*tf2.
25、3.2 Z变换方法变换方法 (1)级数求和法级数求和法：按 直接展开求结果。0)()(kkzkTfzF 例例2.5：求单位阶跃函数：求单位阶跃函数 的的 Z变换。变换。解：解：单位阶跃函数 在任何采样时刻的值均为1，即 ，因此，两边乘以得 ，两式相减得 ,所以 )(1 t)(1 t,2,1,0,1)(1)(kkTkTf1zkzzzzzFz3211)(kkkzzzzzkTfzF2100)()(1)()(1zFzzF111)(1zzzzF 例例2.6：求函数：求函数 的的Z 变换。变换。解：解：令 ，则 因此，两边乘以 ,得 ，两式相减得 ,所以，。Tttf3)(kTt kkTf3)(kkkkzz
26、zzzkTfzF3333)()(221100013zkkzzzzFz333)(3221111)(3)(1zFzzF3311)(1zzzzF3z(2)(2)部分分式法部分分式法：将：将有理函数 展开成 形式，则连续函数 的 变换可以按式 求出。ZniTsiiezzazF1)(niiissasF1)()(sF)(tf 例例2.7：求：求 的的 Z 变换。变换。解解：将 写成部分分式 对比部分分式法可知 因此，整理后为 25141)(ssssF)(sF)2)(1(21610)(2ssssssF1231231,4,5,0,1,2aaasss245()1TTzzzF zzz ez e3222332223
27、310(965)(54)()(1)()TTTTTTTTTTTzeezeeezF zzeezeeeze(3)留数计算法留数计算法：已知 及全部极点 ，则可按 求结果。其中 表示 处的留数，分两种情况：)(sF1,2,3,is im miTsiiezzsFzF1 sRe)()(sReTsiiezzsFiss 1）单极点的情况）单极点的情况 2）阶阶重极点的情况重极点的情况iisssTiTsiezzsFssezzsF)()()(sReiisssTninnTsiezzsFssdsdnezzsF)()()!1(1)(sRe11 例例2.8：求：求 的的Z 变换。变换。解：解：的极点 ，包含了单极点与2阶
28、重极点的情况，则)3()1(4)(2ssssF()F s1,231,3,3,2ssmn 32122)3()1(4)3()3()1(4)1()!12(1)(ssTssTezzssssezzssssdsdzF213234(61)=34()4()4()TssTTTTdszzTezzzds szezezeze2.3.3 Z变换的基本定理变换的基本定理 （1）线性定理）线性定理:，（2）滞后定理）滞后定理：(，)（3）超前定理）超前定理：（4）初值定理）初值定理：（5）终值定理）终值定理：（6）卷积和定理）卷积和定理：)()(zaFtafZ)()()()(22112211zFazFatfatfaZ)()
29、(zFzkTtfZk0)(tf0t10)()()(kmmkkzmTfzFzkTtfZ)(lim)0(zFfz)()1(lim)()1(lim)(111zFzzFzfzz()*()()()Z f kg kG z F z （7）求和定理）求和定理：若有若有 ，则则 （8）位移定理）位移定理：（9）微分定理）微分定理：,2,1,0,)()(0kiTfkTgki11)()(zzFzG)()(aTatezFetfZ dzzFdTzttfZ)(2.3.4 Z反变换反变换 反变换是已知 变换为 ，求对应离散序列 或 的过程，表示为 。ZZ)(zF)(kTf)(*tf)()(1zFZkTf （1）长除法）长除
30、法 设 用长除法展开得：由Z变换定义得：比较可得：则：nnnmmmazazabzbzbzF110110)(kkzczcczF110)(kzkTfzTffzF)()()0()(1,)(,)(,)0(10kckTfcTfcf)()2()()(210*kTtcTtcTtcctfk 例例2.9：已知已知 ，求求 。)3)(1(6)(zzzzF)(tf解：012346()(1)(3)062478240zF zzzzzzzz 即 ，所以，(0)0f()6f T(2)24fT(3)78fT(4)240,fT)4(240)3(78)2(24)(6)(TtTtTtTttf （2）部分分式法）部分分式法 假设已知
31、 变换函数 无重极点，则先求出 的极点，然后将 展开成 的形式，最后逐项查Z变换表，得 所以：Z)(zF)(zF)(zFniiizzzazF1)(nizzzaZkTfiii,2,1,)(101*)()()(kniikTtkTftf 例例2.10：已知已知 ，用部分分式法求用部分分式法求 。)3)(1(6)(zzzzF)(tf解：解：1333)3)(1(6)(zzzzzzzzF 因为 ，所以 ，111zzzkzzz331)13(3)(kkTf)4(240)3(78)2(24)(6)()13(3)(0TtTtTtTtTttfkk （3）留数法）留数法 假设 变换函数为 ，则 的反变换 值可由下式求
32、取。式中，为全部极点数，表示 的第 个极点，表示在 处的留数。1）单极点情况）单极点情况 2）阶重极点情况）阶重极点情况z)(zF)(zF)(kTfizzmikzzFzFZkTf111)(Res)()(miz zFiizzkzzf1)(ResiizzkizzkzzFzzzzF)()()(Res11iizzkninnzzkzzFzzdzdnzzF)()()!1(1)(Res1111izz 例例2.11：求求 的的 反变换反变换。2)1)(3()(zzzzFZ解：中有1个单极点和2个重极点，即 )(zF12,33,1,3,2zzmn分别求出极点的留数：所以，kzzzkzzzzzzF3)2)(3()
33、3()(Res321111221)2)(3()1()!12(1)(Res3,2zkzzkzzzzzdzdzzF412)3()3()3(1211kzzzkzzzdzdzkkzk4123)(kkTfk)(4123)(0kTtktfkk2.4 离散系统与差分方程离散系统与差分方程2.4.1 离散系统离散系统 离散时间系统离散时间系统：简称离散系统简称离散系统,其输入和输出信号均为离散其输入和输出信号均为离散信号的物理系统。信号的物理系统。线性离散系统：线性离散系统：输入信号到输出信号的变换关系满足比例输入信号到输出信号的变换关系满足比例叠加原理叠加原理的的离散系统离散系统。时不变离散系统：时不变离散
34、系统：输入信号到输出信号之间的变换关系不输入信号到输出信号之间的变换关系不随时间变化而变化的离散系统。随时间变化而变化的离散系统。该类系统也该类系统也称定常离散系统。称定常离散系统。线性时不变离散系统：线性时不变离散系统：输入信号到输出信号之间的变换关输入信号到输出信号之间的变换关系既满足比例叠加原理，同时其变换关系又不随时间变化而变系既满足比例叠加原理，同时其变换关系又不随时间变化而变化的离散系统。化的离散系统。2.4.2 差分方程差分方程 前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，而后向前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，而后向差分方程多用于描述全零初始值的离散系统。若不考虑系统
35、初差分方程多用于描述全零初始值的离散系统。若不考虑系统初始值，两者完全等价，可以相互转换。始值，两者完全等价，可以相互转换。阶非齐次后向差分方程的标准形式为阶非齐次后向差分方程的标准形式为：阶非齐次前向差分方程标准形式为阶非齐次前向差分方程标准形式为：101()(1)()()(1)()nmy ka y ka y knb u kbu kb u km)()1()()()1()(101kubmkubmkubkyankyankymnnn2.4.3 差差分方程求解分方程求解 (1)递推法递推法 将前向差分方程改写为 )()()()2()1()(021kubmkubkyankyankyankymn10()
36、()nmijija y knib u kmj 若己知输出序列初始值及输入序列值则可按上式递推计算输出序列值 。(0),(1),(1)yyy n(),1,2,3,u ii(),y kkn例例2.12：二阶差分方程为二阶差分方程为 已知初始值已知初始值 ，输入序列，输入序列为为单位阶跃序列，试单位阶跃序列，试用递推方法求解该差分方程。用递推方法求解该差分方程。)1(3.1)(42.0)1(3.1)2(kukykyky(0)1,(1)2.6yy解：解：按照递推方法依次计算0,(2)1.3(1)0.42(0)1.3(1)3.38 0.42 1.34.26kyyyu746.531092.1538.5)2
37、(31)1(420)2(31)3(1.u.+y.y.yk，2,(4)1.3(3)0.42(2)1.3(3)7.4798 1.7892 1.36.9806kyyyu3,(5)1.3(4)0.42(3)1.3(4)7.961kyyyu (2)Z变换法变换法 用用Z变换方法解差分方程步骤如下：变换方法解差分方程步骤如下：利用利用Z变换线性性质和位移定理对差分方程两边各项分别进变换线性性质和位移定理对差分方程两边各项分别进行行Z变换，将差分方程变换为以变换，将差分方程变换为以Z变量的代数方程；变量的代数方程；代入系统初始值，通过同项合并、整理，得到输出代入系统初始值，通过同项合并、整理，得到输出Z变换
38、变换y(z)的表达式；的表达式；对已知的输入序列进行对已知的输入序列进行Z变换，并将其变换，并将其Z变换代入输出变换代入输出Z变变换换y(z)的表达式中使的表达式中使y(z)成为确定的成为确定的z的函数；的函数；对输出对输出Z变换变换y(z)进行进行Z反变换，求得相应的输出序列反变换，求得相应的输出序列y(k)的的表达式。表达式。例例2.13：二阶差分方程为二阶差分方程为 已知初始值已知初始值 ，输入序列，输入序列为为单位阶跃序列，试单位阶跃序列，试用用Z变换变换法求解该差分方程。法求解该差分方程。)1(3.1)(42.0)1(3.1)2(kukykyky(0)1,(1)2.6yy解：解：第一
39、步第一步，对题中差分方程的等号两边各项进行Z变换，得)zu(.zzU.zY.zy.zzY.zyyz zYz031)(31)(420)0(31)(31)1()0()(2242031)0(3.1)1()0()3.1()(0.423.13.1)(222.z.zzuzyyzzzUzzzzY第二步第二步，整理，得到代入初值，得到42031)(0.423.13.1)(222.z.zzzUzzzzY第三步第三步，对输入 进行Z变换得 ，并代入，得第四步第四步，对Y(z)进行Z反变换，得)(1)(kku1)(1)(zzkZzU42031)1)(0.423.1(3.1)(2222.z.zzzzzzzY)1)(0
40、.7)(0.6(3.023zzzzz311)(sRe)(ipzkizzYky127.026.02)7.0)(6.0()3.0()1)(6.0()3.0()1)(7.0()3.0(zkzkzkzzzzzzzzzzzzzzz0,16657.03706.0227kkkk2.5 离散系统的传递函数离散系统的传递函数2.5.1 Z传递函数的定义传递函数的定义niiimiiinnmmzazbzazazbzbbzUzYzG101111011)()()(设 阶定常离散系统的差分方程为：应用滞后定理，在零初始条件下，取 Z 变换得 则线性定常离散系统的Z传递函数如下：)()1()()()1()(101mkubk
41、ubkubnkyakyakymn)()()()1(11011zUzbzbbzYzazammnnn 例例2.14：求差分方程：求差分方程 的的Z传递函数传递函数 。()3(1)5(3)2()(1)y ky ky ku ku k)(zG解：解：比对定常离散系统差分方程的一般式，得123013,0,52,1aaabb 1101123131232()11 35bb zzG za za za zzz代入定义式，得Z传递函数2.5.2 Z传递函数的求法传递函数的求法 （1）已知脉冲响应 ，求 传递函数。步骤如下：1）将 按采样周期 离散化，得 ；2）按定义求出Z传递函数，即 。（2）已知差分方程，求 传递
42、函数。此方法就是本节介绍的Z传递函数定义法。（3）已知系统的传递函数 ，求 传递函数。此方法就是部分分式法，即 。Z)(tgT)(kTg0()()kkG zg kT zZ()G sZ()()G zG s)(tg例例2.15：已知已知 ，求求 。)15.0(1)(sssG)(zG解：解：利用部分分式法：()()G zZ G s1(0.51)Zss112Zss21Tzzzze 例例2.16：已知已知 ，求求 。)1(1)(ssKsesGTs)(zG解解:将 进行变换，得 其中 相当于将采样延迟了 时间。根据 变换的线性定理和滞后定理，再查表，可得对应的脉冲传递函数为11)1()(2ssseKsGT
43、sTseTZ)(sG11211111)1()1()(zezzTzzKzGT111111zezzTeeeTKzTTTT2.5.3 开环开环Z Z传递函数传递函数 （1）串联环节的）串联环节的Z Z传递函数传递函数 1）串联环节间无采样开关）串联环节间无采样开关 1212()()()()G zZ G s GsG Gz 2）串联环节间有采样开关）串联环节间有采样开关()()()Y zG zU z1121()()()()()()Y z Y zGz GzU z Y z 一般情况，所以 n 个环节串联构成的系统，若各串联环节间有同步采样开关，总的 传递函数等于各个串联环节 传递函数之积，即 ；若在串联环节
44、间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，先求出其传递函数 ，然后再根据 求 。一般表示成 。)()()(2121zGzGzGGZ)()()()(21zGzGzGzGnZ)(sG)(sG)(zG)()()()()(2121zGGGsGsGsGZzGnn（2）并联环节的）并联环节的 传递函数传递函数Z（a）采样开关在各个环节输入端（b）采样开关在总输入端总的 传递函数等于两个环节 传递函数之和，即Z)()()()()()()(2121zGzGsGsGZzUzYzGZ 一般情况 个环节并联时，在总的输入端或在支路分设采样开关，其总的 传递函数等于各环节 传递函数之和，即 。n)()()()(
45、21zGzGzGzGnZZ2.5.4 闭环闭环Z传递函数传递函数 设闭环系统输出信号的 变换为 ，输入信号的 变换为 ，误差信号的 变换为 ，则闭环 传递函数：，闭环误差 传递函数：。Z)(zY)(zR)(zEZZ)()()(zRzYzW)()()(zRzEzWeZZ 例例2.17：设离散系统如图所示，求该系统的闭环误差：设离散系统如图所示，求该系统的闭环误差Z传递传递函数及闭环函数及闭环Z传递函数。传递函数。解解：与 为串联环节并且它们之间没有采样开关，则有 闭环误差 传递函数：又：闭环 传递函数：)(sG)(sH()()()()E zR zGH zE z()()1()R zE zGH z(
46、)1()()1()eE zW zR zGH z()()()()()1()G zR zY zG zE zGH z()()()()1()Y zG zW zR zGH zZZ2.6 计算机控制系统的性能分析计算机控制系统的性能分析2.6.1 计算机控制系统的稳定性分析计算机控制系统的稳定性分析 稳定是控制系统正常工作的前提，它是指系统在平衡状稳定是控制系统正常工作的前提，它是指系统在平衡状态下，受到外部扰动作用而偏离平衡状态，当扰动消失后，态下，受到外部扰动作用而偏离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态。一个线性系经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态。一个线性系统的稳
47、定性是系统固有特性，与扰动的形式无关，只取决于统的稳定性是系统固有特性，与扰动的形式无关，只取决于系统本身的结构及参数。计算机控制系统稳定性分析的实质系统本身的结构及参数。计算机控制系统稳定性分析的实质就是离散系统稳定性分析。连续系统的稳定性分析是在就是离散系统稳定性分析。连续系统的稳定性分析是在 平平面进行的，离散系统的稳定性分析是在面进行的，离散系统的稳定性分析是在 平面进行的。平面进行的。SZ （1）S平面与平面与Z平面的关系平面的关系 平面与 平面的映射关系，可由 确定。设 ，则有 平面上的虚轴映射到 平面上的是以原点为圆心的单位圆。SZTszesj|TjTTzeezezTSZ 当0时
48、，|z|0时，|z|1，即 平面的右半面映射到 平面上的是以原点为圆心单位圆的外部。SSZZ 1）S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。2）S平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。当0时，|z|8.65时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。思考思考：若取T=0.25s，请确系统稳定的k值范围？2.6.2 计算机控制系统的稳态误差分析计算机控制系统的稳态误差分析 假设单位负反馈离散系统如图所示，其闭环误差Z传递函数为：()1()()1()eE zWzR zG z 如果 的极点（即闭环
49、极点）全部严格位于Z 平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用Z 变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差。()eW z1*1111()()lim()lim 1()lim1()tzzzR zee tzE zG z 图2.15 单位负反馈离散系统 在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数 具有 的极点数 作为划分离散系统型别的标准，把 中 的系统，分别称为0型，型和型系统等。()G z1zv()G z,2,1,0v （1）单位阶跃输入下的稳态误差）单位阶跃输入下的稳态误差 对于单位阶跃输入 时，()1()r tt1()1()1zE zG zz111111()lim()lim1()1(1)pzzpz
50、eE zzG zGK 称为位置放大系数。在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；型或型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。1lim 1()pzKG z （2）单位速度输入下的稳态误差）单位速度输入下的稳态误差 对于单位速度输入 时，称为速度放大系数。在单位速度函数作用下，0型离散系统在采样瞬时稳态误差无穷大，型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型或型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。()r tt21()1()(1)TzE zG zz111()lim()lim(1)()vzzzTeE zzzG z 1lim(1)()vzKzG z （3）单位加速度输入下的稳态误差）单
