1、第第2 2章章 线性离散系统线性离散系统 的数学描述和分析方法的数学描述和分析方法 2.1 2.1 信号变换理论信号变换理论 2.2 2.2 线性离散系统的数学描述方法线性离散系统的数学描述方法 2.3 2.3 线性离散系统的线性离散系统的Z Z变换分析法变换分析法 2.4 2.4 脉冲传递函数脉冲传递函数 2.5 2.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 2.6 2.6 线性离散系统的稳态误差分析线性离散系统的稳态误差分析 2.7 2.7 线性离散系统的动态响应分析线性离散系统的动态响应分析兰州交通大学自动化学院12.1 2.1 信号变换理论信号变换理论 1.1.连续信号的采
2、样和量化连续信号的采样和量化 图图2-1 2-1 采样过程采样过程 采样过程采样过程兰州交通大学自动化学院2 在计算机控制系统中，采样信号在计算机控制系统中，采样信号 是一数是一数字序列，可分解成一系列单脉冲之和。字序列，可分解成一系列单脉冲之和。)(*tf kffftf10)(*)()(kTtkTffk 则：则：式中，式中，为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 ；为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 ；为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 。Tt0 0f)0(Tf1fTt1)1(TfkfkTt )(kTf。兰州交通大学自动化学
3、院幅值幅值时间时间3图图2-2 2-2 对单位脉冲序列的调制对单位脉冲序列的调制 可以解释为连续时间信号可以解释为连续时间信号 被理想单位脉冲被理想单位脉冲 做了离散时间调制。做了离散时间调制。)(tf)(t 0 )()()(*kkTtkTftf 因此：因此：兰州交通大学自动化学院4量化过程量化过程 图图2-3 2-3 量化过程量化过程所谓量化，就是采所谓量化，就是采用一组数码（如二用一组数码（如二进制码）来逼近离进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，散模拟信号的幅值，将其转换成数字信将其转换成数字信号。这个经量化使号。这个经量化使采样信号成为数字采样信号成为数字信号的过程称为量信号的过程称为量化
4、过程。化过程。兰州交通大学自动化学院52.2.采样定理采样定理 图图2-4 2-4 、的频谱的频谱 及从及从 恢复恢复 （a)a)的频谱的频谱 （b b）的频谱的频谱 （c c）理想的滤波器理想的滤波器 （d d）滤波器输出信号频谱滤波器输出信号频谱 )(tf)(*tf)(jF)(*jF)(jF)(tf)(jF)(*tf)(*jF)(jF兰州交通大学自动化学院6 为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映被采样信号的复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映被采样信号的变化规律，变化规律，采样频率采样频率
5、至少应是至少应是 的频的频谱谱 的最高频率的最高频率 的两倍，即的两倍，即 )2/2(fTs )(tf)(jFmax max2 s 采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。因此，因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中还要根据系统的实际情况综合考虑。还要根据系统的实际情况综合考虑。采样定理采样定理兰州交通大学自动化学院73.采样信号的复现和采样保持器采样信号的复现和采样保持器 保持器保持器 保持器是一种
6、基于时域外推原理、把采样信号转换成连保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连续信号，实现采样点之间的插值的元件。续信号，实现采样点之间的插值的元件。零阶保持器零阶保持器。)(kTeTk)1()(*kTe)(hte 零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 一直一直保持到下一个采样时刻保持到下一个采样时刻 ,从而把采样信号从而把采样信号 变成变成了阶梯连续信号了阶梯连续信号 。图图2-5 2-5 零阶保持器的功能零阶保持器的功能 兰州交通大学自动化学院82.2 2.2 线性离散系统的数学描述方法线性离散系统的数学描述方法 1.1.差分方程差分方程
7、)()2()()()()2()()(21021mTkTrbTkTrbTkTrbkTrbnTkTyaTkTyaTkTyakTymn 线性离散系统的差分方程线性离散系统的差分方程图图2-2-6 6 连续系统和离散系统连续系统和离散系统 （a a）连续系统）连续系统 （b b）离散系统）离散系统兰州交通大学自动化学院92.2.差分方程的求解差分方程的求解 )2(2)()()(TkTrkTrTkTykTy 0 0 ,0,kkkr(kT)2)0(y3,2,1 k,6)4(,2)3(,3)2(,1)(,2)0(TyTyTyTyy例例2-1 2-1 已知一个数字系统的差分方程为已知一个数字系统的差分方程为输
8、入信号输入信号 初始条件初始条件，试求解差分方程试求解差分方程。，代入差分方程，得代入差分方程，得 解：令，令，兰州交通大学自动化学院102.3 2.3 线性离散系统的线性离散系统的Z Z变换分析法变换分析法1.Z1.Z变换变换 0*)()()2()2()()()()0()(kkTtkTfTTTfTtTftftf 0)()(*)(kkzkTftfZzF对上式取拉氏变换：对上式取拉氏变换：Tsze 令：令：则：则：0e)()(*)(*kkTskTftfLsF兰州交通大学自动化学院11注意：注意：（1 1）只有采样函数）只有采样函数 才能定义才能定义Z Z变换；变换；)(*tf )2()2()()
9、1()()0()(*TtfTtftftf 0210)2()1()0()()(kkzfzfzfzkTfzF（2 2）比较下面两式）比较下面两式 kzkTf)()(kTfkz 中中，决定幅值，决定幅值，决定时间。决定时间。（3 3）Z Z变换是由采样函数决变换是由采样函数决定的，它反映不了非采样时定的，它反映不了非采样时刻的信息。刻的信息。图图2-7 2-7 采样值相同连续函数不同采样值相同连续函数不同兰州交通大学自动化学院12 例例2-22-2 求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的Z Z变换变换。)(1)(ttf 0)()(kkzkTfzF kzzz2111 z 3211)(zzzzFz1)()1(
10、1 zFz111)()(1 zzFtZ 解解：，由，由Z Z变换定义有变换定义有 将上式两端同时乘以将上式两端同时乘以,有有 v 直接法直接法 Z Z 变换的求取变换的求取式减式减式式则：则：兰州交通大学自动化学院13)()(assasF assassasF 11)()(11e111111)(zzasZsZzFat)e1)(1(e1(111)zzzaTaT例例2-42-4 已知已知，求求F F（z z）。解解:v 部分分式法部分分式法 兰州交通大学自动化学院1421)(ssF，求，求 。)(zF1 N2 l01 s0S22 e1dd)!12(1)(sTzzssszF例例2-52-5 已知已知解
11、解:，v 留数法留数法 isssTlillNizzsFssslzF e)()(dd)!1(1)(111 已知，具有已知，具有N N个不同的极点，有个不同的极点，有 个重极点个重极点（=1=1，为单极点），则，为单极点），则 )(sF若若ll,2)1(zTz兰州交通大学自动化学院152.Z2.Z反变换反变换 u长除法长除法 例例2-7 2-7 用长除法用长除法求函数求函数 的的Z Z反变换。反变换。解：解：1232111 060.840.9361.40.4)0.6 0.60.84 0.24 0.84 0.24 0.84 1.1760.zzzzzzzzzz21212323336 0.9360.33
12、6 0.9361.3100.3744 0.974 0.3744 zzzzzzzz 4.04.16.0)(2 zzzzF )3(936.0)2(84.0)(6.0)(*TtTtTttf 321936084060z.z.z.F(z)兰州交通大学自动化学院16u部分分式法部分分式法 例例2-8 2-8 用部分分式法用部分分式法求求 的的Z Z反变换。反变换。解解：4.01)(21 zAzAzzF14.04.16.0)1(121 zzzzA14.04.16.0)4.0(4.022 zzzzA4.01)(zzzzzFkzFZkTf)4.0(1)()(1 4.04.16.0)(2 zzzzF（查表（查表2
13、 21 1）兰州交通大学自动化学院17u留数计算法留数计算法 例例2-92-9 用留数计算法求用留数计算法求 的的Z Z反变换。反变换。4.04.16.0)(2 zzzzF11)()(lim)(Res kipzpzkzzFpzzzFii根据留数定理根据留数定理 nipzkizzFkTf11)(Res)(nikipzzzFpzkTfi11)()(lim)(4.0,1,221 ppn4.04.16.0)4.0(lim4.04.16.0)1(lim)(24.021 zzzzzzzzkTfkzkzk)4.0(1兰州交通大学自动化学院183.3.用用Z Z变换解差分方程变换解差分方程 用用Z Z变换求解
14、差分方程主要用到变换的平移定理。变换求解差分方程主要用到变换的平移定理。例例2-102-10 用Z Z变换求解差分方程：变换求解差分方程：0)(2)1(3)2(kykyky初始条件为：初始条件为：1)1(,0)0(yy 解：解：对上式进行对上式进行Z Z变换得变换得 0)(2)1(3)2(kykykyZ由线性定理由线性定理:0)(2)1(3)2(kyZkyZkyZ由超前定理由超前定理:0)(2)0()(3)1()0()(22 zYzyzzYzyyzzYz兰州交通大学自动化学院1921)2)(1(23)(2 zzzzzzzzzzzY查表得查表得),2,1,0()2()1()(kkTykk为了书写
15、方便，通常将为了书写方便，通常将 写成写成 。kkT代入初始条件，解得代入初始条件，解得兰州交通大学自动化学院202.4 2.4 脉冲传递函数脉冲传递函数 图图2-8 2-8 单输入单输出离散系统的方框图单输入单输出离散系统的方框图 为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来获得输出信号的采样信号。获得输出信号的采样信号。1.1.脉冲传递函数脉冲传递函数兰州交通大学自动化学院21脉冲传递函数与差分方程的相互转换脉冲传递函数与差分方程的相互转换)()1()
16、()()1()(101mkrbkrbkrbnkyakyakymn nm ，若已知若已知n 阶离散系统的差分方程是阶离散系统的差分方程是 在零初始条件下，进行在零初始条件下，进行Z Z变换变换)()()()1(11011zRzbzbbzYzazammnn nm 脉冲传递函数为脉冲传递函数为 nnmmzazazazbzbzbbzRzYzG 2211221101)()()(nm 兰州交通大学自动化学院222.2.离散系统方框图的变换离散系统方框图的变换 l开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数图图2-9 2-9 串联环节框图的两种形式串联环节框图的两种形式（a a）两环节间有采样开关）两环节间有采样开关（
17、b b）两环节间无采样开关）两环节间无采样开关)()()()(21zGzGzRzY（a a）（b b）)()(21zGGzG)()()()(21sGsGZzRzY)()()(21zGzGzG)()()(2121zGGzGzG 通常通常兰州交通大学自动化学院23l闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数 例例2-112-11 求图所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。求图所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。图图2-10 2-10 典型计算机控制系统典型计算机控制系统 解：解：)()()()()()(zDzEzUzGzUzY )()()(zYzRzE )()()(1)()()(zRzGzDzGz
18、DzY )()()(zRzYz )()(1)()(zGzDzGzD 兰州交通大学自动化学院242.5 2.5 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 闭环脉冲传递函数的所有极点位于闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z Z平面的单平面的单位圆内，系统是稳定的；位圆内，系统是稳定的；线性定常离散系统是渐近稳定的充分必要条件是：线性定常离散系统是渐近稳定的充分必要条件是：兰州交通大学自动化学院 在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以上的极点，系统是不稳定的；上的极点，系统是不稳定的；在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，在单位圆上有一对复数极点或一个实
19、极点，系统是临界稳定的。系统是临界稳定的。25朱利（朱利（JuryJury）稳定性判据）稳定性判据 朱利稳定性判据可以根据系统的特征方程的系数判朱利稳定性判据可以根据系统的特征方程的系数判断系统的稳定性。断系统的稳定性。0)(12211 nnnnnoazazazazazD设离散系统的特征方程为设离散系统的特征方程为 其中，其中，为实数，通常取为实数，通常取 。naaaa,21010 a与构造劳斯表类似，按以下方法构造朱利与构造劳斯表类似，按以下方法构造朱利表表 兰州交通大学自动化学院第一行系数第一行系数 用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列；用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列；第
20、二行系数第二行系数 将上行系数倒序排列而成；将上行系数倒序排列而成；第三行系数计算公式：第三行系数计算公式：第一行系数第二行系数第一行系数第二行系数（第一行末系数第一行首系数）（第一行末系数第一行首系数）第四行系数第四行系数 是第三行系数倒序排列；是第三行系数倒序排列；,以此类推以此类推。26朱利表朱利表 兰州交通大学自动化学院0a1a2ana1 nana1 na2 na0a1a)0aan 0m0b1b2b2 nb1 nb0b1b1 nb2 nb)01bbn 000aaaabnn 00 aaaabnonn0c1c2c2 nc2 nc3 nc4 nc0c02ccn )1l0l1l0l01ll)即
21、：即：27朱利稳定判据朱利稳定判据 兰州交通大学自动化学院即：即：000000mba 如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的根在根在z z平面单位圆外的个数。平面单位圆外的个数。离散系统特征方程式的所有根都在平面单位圆离散系统特征方程式的所有根都在平面单位圆内的充分必要条件是朱利表中所有奇数行第一列内的充分必要条件是朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零。即：系数均大于零。即：28 为了减少计算，给出系统稳定的必要条件：为了减少计算，给出系统稳定的必要条件：1)0(0)1()1(0)1(DDDn 0)1()1(0)1(DDn对于二阶系统有对于二阶系统有
22、可以证明：离散线性系统稳定的必要条件等可以证明：离散线性系统稳定的必要条件等价于朱利稳定判据的充要条件中最后一行系数大价于朱利稳定判据的充要条件中最后一行系数大于零，即：于零，即：00 m29例例2-142-14已知二阶离散系统特征多项式为已知二阶离散系统特征多项式为 试确定使系统渐近稳定的试确定使系统渐近稳定的K K值范围。值范围。KzKzzD264.0368.0)368.1368.0()(2 0)1(D,0)1()1(2 D10 a，0 0264.0368.0)368.1368.0(1)1(KKKD26.3 0264.0368.0)368.1368.0(1)1()1(2 KKKD1264.
23、0368.020 Ka系统渐近稳定的系统渐近稳定的K K值是值是39.218.5 K39.20 K兰州交通大学自动化学院解：系统渐近稳定的条件是解：系统渐近稳定的条件是30 2.6 2.6 线性离散系统的稳态误差分析线性离散系统的稳态误差分析 离散系统采样时刻的稳态误差离散系统采样时刻的稳态误差)(lim)(*lim*kTeteektss )()()(11)()()()()(zRzGzDzRzzYzRzEe )()(11)()()(zGzDzRzEze 假设所有的极点都在平面单位圆内，根据终值定理，假设所有的极点都在平面单位圆内，根据终值定理，系统的稳态误差为系统的稳态误差为)()()(11)
24、1(lim)()1(lim*11zRzGzDzzEzezzss 图图2-11 2-11 离散控制系统离散控制系统 兰州交通大学自动化学院312.7 2.7 线性离散系统的动态响应分析线性离散系统的动态响应分析 1 1已知离散系统的结构和参数，分析系统的动态已知离散系统的结构和参数，分析系统的动态响应特性响应特性 当离散系统的结构和参数已知时，在输入信号给定的当离散系统的结构和参数已知时，在输入信号给定的情况下，得到输出量的情况下，得到输出量的 变换变换 ，经过，经过 反变换，就能反变换，就能得到系统输出的时间序列得到系统输出的时间序列 。根据过渡过程曲线，可。根据过渡过程曲线，可以分析系统的动
25、态特性如以分析系统的动态特性如 、等。等。Z)(zYZ)(kTyp st兰州交通大学自动化学院32解：解：被控对象脉冲传递函数被控对象脉冲传递函数KezzzTeezTezzzGTTTT )()1()1()1(1)(22代入已知参数，可得系统闭环脉冲传递函数代入已知参数，可得系统闭环脉冲传递函数 632.0264.03684.0)(1)()(2 zzzzGzGz1)(zzzR例例2-172-17 如图所示的线性离散系统，输入为单位阶跃序列。如图所示的线性离散系统，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。（其中：试分析系统的过渡过程。（其中：）1,a,1 KsT1 图2-12 例11图兰州交通大
26、学自动化学院33632.0632.12264.0368.0)()()(232 zzzzzzRzzY 16151413121110987654321998.0973.0961.0981.0032.1081.1077.10.993868.0802.0895.0147.14.14.1368.0zzzzzzzzzzzzzzzz得到输出时间序列为得到输出时间序列为 0)0(y3684.0)(Ty0008.1)2(Ty4004.1)3(Ty4003.1)4(Ty1476.1)5(Ty8951.0)6(Ty8022.0)7(Ty8689.0)8(Ty9943.0)9(Ty图图2-13 2-13 离散系统输出
27、时间序列离散系统输出时间序列 兰州交通大学自动化学院342 2已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中的分布情况，分析系统的动态响应特性的分布情况，分析系统的动态响应特性图图2 214 14 闭环极点分布与过渡分量的关系闭环极点分布与过渡分量的关系(a)闭环实数极点闭环实数极点兰州交通大学自动化学院(b)闭环复数极点闭环复数极点35 本章小结本章小结 本章介绍了线性离散系统的数学描述和分析方本章介绍了线性离散系统的数学描述和分析方法。主要包括：信号变换原理、线性离散控制系统法。主要包括：信号变换原理、线性离散控制系统的数学描述和变换分析法、离散系统开环和闭环脉的数学描述和变换分析法、离散系统开环和闭环脉冲传递函数的求取。在此基础上介绍了线性离散系冲传递函数的求取。在此基础上介绍了线性离散系统的稳定性、稳态性能和动态性能等离散系统性能统的稳定性、稳态性能和动态性能等离散系统性能分析方法。分析方法。36 第二章结束第二章结束 37
