1、第四章第四章 极点配置设计：状态空间方法极点配置设计：状态空间方法 4.1 引言 4.2 控制系统设计 4.3 采用状态反馈调节 4.4 观测器 4.5 输出反馈 4.6 伺服问题 4.7 设计举例 4.8 结论第四章第四章 极点配置设计：状态空间方法极点配置设计：状态空间方法4.1 4.1 引言引言 基于内部模型的设计方法 调节问题 伺服问题4.2 4.2 控制系统设计控制系统设计考虑因素考虑因素：负载扰动的衰减 量测噪声影响的减少 指令信号的跟踪 过程特征的变化和不确定性调节问题调节问题：减少负载扰动和减少由反馈注入到系统的量测噪声而产生的涨落之间进行折衷。伺服问题伺服问题：指令信号的跟踪
2、。设计问题的主要组成内容设计问题的主要组成内容 系统的用途 过程模型 扰动模型 模型的偏差和不确定性 允许的控制策略 设计参数典型的控制系统典型的控制系统：cH1ffHycuvxe图 4.1pHu过程模型过程模型：连续 离散)()()1(kukxkx(4.2)性能准则：性能准则：极点形式的确定允许控制：允许控制：反馈：线性，负反馈。形式：)()(kLxku（4.3）设计参数：设计参数：采样周期和希望闭环的极点。闭环系统：闭环系统：)()()1(kxLkx特征方程：特征方程：0)det(LI4.3 4.3 采用状态反馈的调节采用状态反馈的调节 4.3.1 一般情况 4.3.2 实际应用问题 4.
3、3.3 有限拍控制 4.3.4 更一般的扰动 4.3.5 计算问题4.3 4.3 采用状态反馈的调节采用状态反馈的调节假设：假设：系统为式 4.1 或式 4.2 所描述的系统。扰动：扰动：系统初始状态的摄动。目的：目的：使闭环系统具有规定的特征方程，使扰动以规定的方式衰减。例例 4.1 双重积分器对象的极点配置双重积分器对象的极点配置采样周期一定，系统为：)(2)(101)1(2kuhhkxhkx一般的线形反馈采用：xllxlxlu212211则闭环系统为：)(1221)1(212221kxhlhlhlhhlkx闭环系统的特征方程为：012222212212hlhlzhlhlz设希望的特征方程
4、为：0212pzpz则：222112212222phlhlphlhl解为：结论：结论：该例可以任意配置闭环特征方程，对于所有的 和 值，这个线性方程组都能给出 和 的一个解。2l1p2p1l212212132111pphlpphl(4.4)4.3.1 一般情况一般情况单输入系统的极点配置问题。设系统为（4.2）式描述，其特征多项式为：nnnazaz11假设系统为能达的，引入变换 ，将式（4.2）变为能达规范型：Txz)()()1(kukzkz（4.5）其中：0001010000100001121nnaaaa(4.6)闭环系统的特征多项式为：nnnpzpzzP11)(反馈律：zapapapzLu
5、nn2211(4.7)(4.8)转换回原始坐标：ccTWW LxTxLzLu(4.9)得到变换矩阵T：确定变换矩阵T的一个简单方法是基于能达性矩阵的特性。系统(4.2)式的能达矩阵 为：cW1ncW(4.10)系统(4.5)式的能达矩阵 为：cW1ccWWT(4.11)直接计算得：1001012111nncaaaW(4.12)即：12211ccnnWWapapapL(4.13)定理定理 4.1 采用状态反馈的极点配置采用状态反馈的极点配置 考虑(4.2)式的系统，假设只有一个输入信号，如果系统是能达的，则存在一个线性反馈，它给出具有特征多项式 的闭环系统。)(zP这个反馈由下式给出：Iapap
6、IppPnnnnnn11111)()(kLxku其中：)(100112211PWWWapapapLCccnn(4.14)和 分别为(4.2)式和（4.5）式所是系统的能达矩阵。cWCW证证 根据凯莱-哈密顿定理得：其中 是被转换系统(4.5)式的系统矩阵。引入行向量 ：ienkikeikeekikii1,0,1,于是由方程(4.7)有：有 ，1iiee1nnee)(PeLn PWWeTPeTTTPeTLLccnnn11根据 4.12 有：nCneWe1即：CnnWee注注 1：称方程(4.14)为阿克曼（Ackermann）公式。注注 2：极点配置问题：给定矩阵 和 ，寻找一个矩阵 以便矩阵
7、有规定的特征值。L注注 3：根据(4.11)式和(4.12)式，可得：121111nnnaaaT(4.15)例例 4.2 双重积分器双重积分器hpphppPhhPWLc231)(5.01)(102122121212)(pzpzzP原系统得：考虑例（4.1）的对象，假设希望的特征多项式为：hhhhWc23222和hhhhWc5.015.11221原系统的特征多项式为：122 zz因此：211212121021)(pphphppIppP由阿克曼公式得：例例 4.3 一个不能达的系统一个不能达的系统系统：03.05.01zlz)(01)(3.0015.0)1(kukxkx由于：0005.01detd
8、etcW所以系统不能达3.05.0)det(zzzI控制律 给出一个闭环特征方程为：2211xlxlu4.3.2 实际应用问题实际应用问题例例 4.4 选择设计参数选择设计参数 考虑双重积分器考虑双重积分器有：结论结论：一个较大的 给出一个较快速的系统但需要一个较大的控制信号。若采样周期短 ：0h 为了讨论控制信号的幅值，假定系统有一个初始位置 和一个初始速度 那么控制信号的初始值是：0 x0v连续特征方程 的二阶系统。离散时间系统的特征方程 。222ss212pzpzhhephep22211cos2 02010vlxlu 00220vxu采样周期的选择：6.01.0h(4.17)图 4.2
9、例 4.4 的闭环系统的响应。图 4.3 改变参数，例 4.4 的闭环系统的响应。图 4.4 改变初始条件、参数，例 4.4 的闭环系统的响应。4.3.3 有限拍控制有限拍控制如果期望的闭环极点全部选在坐标原点，则比环系统的特征多项式为：nzzP)(即：npp 1于是由凯莱-哈密顿定理，闭环系统矩阵 满足：Lc0nc如果矩阵 可逆，则得：有阿克曼公式当：就得到有限拍策略。ncWL1100(4.18)11100nnL(4.19)分析：分析：1.有限节拍控制策略中，只有一个设计函数即采样周期。2.建立时间最多是 。3.控制信号的幅值急剧的随采样周期的减少而增大。nh例例 4.5 一个双重积分器的有
10、限节拍控制一个双重积分器的有限节拍控制考虑一个双重积分对象。根据方程(4.19)可知，当：hlhl231221 就给出了有限拍控制策略。2211xlxlu如果该过程的初始状态为 ，则：00,1)0(vxcoxhvhxhuhvhxu2)(23)0(020020图 4.5 在例 4.5 中具有有限拍控制器的闭环系统的响应。4.3.4 更一般的扰动更一般的扰动假设系统描述为：其初始条件已知。其中 由下式描述：v常见情况：是一个常数，可以通过 来赢得。正弦扰动：v0wAvBuAxdtdxwCvwAdtdwww0000wA假设 是可测量的。w)(0)()(0)1()1(kukwkxkwkxwxw引入增广
11、状态向量：找到如下系统：采样该系统得到如下离散时间系统：一般状态线性反馈为：则闭环系统为：wxzuBwxACAwxdtdww00(4.20)()()(kwLkLxkuw(4.21)()1()()()()()1(kwkwkwLkxLkxwwxw(4.22)例例 4.6 常值输入扰动常值输入扰动对于常值扰动的情况，矩阵 成为单位阵。w有：系统描述为：选择 来消除扰动 对 的影响。ILwvxxw)()1()()()()()1(kwkwkwLIkxLkxw4.3.5 计算问题计算问题 如果系统是能达的，可以引入一个具有未知系数的一般状态反馈来确定特征多项式，并使它与期望的特征多项式相等。也能用阿克曼公
12、式（4.14）方程来计算状态反馈。应当尽量避免使用矩阵乘幂的任何一种方法。4.4 4.4 观测器观测器 4.4.1 状态变量的直接计算 4.4.2 采用动态系统的重构 4.4.3 观测器增益的计算 4.4.4 有限拍观测器 4.4.5 龙伯格里观测器4.4 4.4 观测器观测器假设系统采样模型描述为：问题：1.由输入和输出序列 来 计算。2.重构状态),1(),(,),1(),(kukukyky)(kx4.4.1 状态变量的直接计算状态变量的直接计算)()()()()1(kCxkykukxkx(4.23)假设只有一个输出。在采样时刻 得到的输出 给出一个可用来确定状态变量的线性方程。使用来自
13、个不同采样时刻 的信息给出如下各线性方程：k)()(kCxkyn1,1,nkkk)1()1()1()()1()1()2()1()1(21kuCnkuCnkxCkykuCnkxCnkynkCxnkynn(4.24)CCCCCCWCCCCWnnun32120000000,)1()2()1()()2()1(1kunkunkuUkynkynkyYkk引入向量 和 ：1kUkY可以把方程（4.24）写作：10)1(kukUWnkxWY其中矩阵 和 由下式给出：0WuW若系统可观，那么能解出 并得到：)1(nkx11010)1(kukUWWYWnkx因此，状态可以用未来的输出和量测得出。反复利用方程(4.
14、23)得：)1()1()1()(21kunkunkxkxnn进而求得：其中：kuyyUBYAkx)(4.25)unnnunyWWBWA10121101(4.26)(kx于是状态向量 是 和 的一个线性组合。)1(,),1(),(nkykyky)1(,),2(),1(nkukuku例例 4.7 双重积分器双重积分器对双重积分器有：)1(2)()()1()1(2)1()1()()()(222211kuhkhukxhkykuhkhxkxkykxky0121012Chhh从而：解此方程：)1(2)1()()()()(21kuhhkykykxkykx)1()1()1()()(2121kukxkxkxkx
15、4.4.2 采用动态系统的重构采用动态系统的重构考虑系统（4.23）式)()()1(kukxkx(4.27)的状态 近似的。如果模型是完备的，初始条件相同，和 相等，如果初始条件不同，只有当系统(4.27)式渐近稳定，才会收敛于 。x x x xx重构：重构：应用先前输入的函数，或使用实测输出，引入实测输出和估计输入之差 作为反馈。xCy从而有观测器方程（一步估计方程 ）1|)()(1|1kkxCkyKkukkxkkx(4.28)其中 是增益矩阵。K引入重构误差：xxx(4.29)()()()()1(kCxkykukxkxx假定状态 是由模型：由（4.23）式减去（4.28）式得：1|1|)(
16、1|1kkxKCkkxCkyKkkxkkx(4.30)TTnTTTTCCCW10 因此如果选择 是系统(4.30)式渐近稳定，那么重构误差必定收敛于零。K问题：问题：寻找 ，使 有规定的特征值。或找一个 ，使 有规定的特征值。KTKKCTTTCK解决：解决：只要矩阵：满秩就可以了。定理定理 4.2 观测器动力学特性观测器动力学特性 考虑由方程（4.23）式给定的离散系统。令 是一个 次多项式，其中 是系统的阶数。假定系统是完全能观测的，那么就存在一个矩阵 使得观测器（4.28）式的矩阵 具有特征多项式 。)(zPnnKKC)(zP4.4.3 观测器增益的计算观测器增益的计算问题一致性：问题一致
17、性：TWPK10010观测器的矩阵 与极点配置中的反馈阵 是对偶问题。KL这个问题可用定理 4.1 的阿克曼公式解决。利用下述关系：TTcTWWKL0由方程（4.13）可以得出：TTTPWK10100或：于是 的特征多项式是 。)(zPKC(4.31)4.4.4 有限拍观测器有限拍观测器(Deadbeat Observer)观测器增益 的选择使得矩阵 全部特征值为零。KKC特征：特征：在有限时间内，实际上至多 步，（为系统阶数）观察器误差就会达到零。nn例例 4.8 双重积分器的全阶观测器双重积分器的全阶观测器考虑一个双重积分器对象，矩阵 为：KC110110121210khkkkhKC于是特
18、征方程为：01222112hkkzkz令希望的特征方程是：0212pzpz那么就得到下面的方程组：2211112phkkpk这些线性方程给出：hkykykxkykykx)1()()1()1()(2)1(21hppkpk2121112通过设定 得到有限拍观测器，这给出：021 pphkk1221且观测器为：)()(1)()1()()(2)()()1(1221211kxkyhkxhkxkxkykxhkxkx直接计算给出：4.4.5 龙伯格观测器龙伯格观测器(Luenberger Observers)由方程（4.28）给出观测器有许多变形。因为 只依赖直到 时刻的测量，所以观测器有时延。为了避免这个
19、时延可以用下述观测器。1|1kkx1k)()1()1|1()1()1|1()()1()1|1()|(kKykukkxKCIkukkxCkyKkukkxkkx（4.32）采用这种观测器时的重构误差为；)1|1()|()()|(kkxKCkkxkxkkx进而有：1|1)|()|()(kkxCCKIkkxCkkxCky4.5 4.5 输出反馈输出反馈 4.5.1 闭环系统分析 4.5.2 推广 4.5.3 更实际的扰动模型 4.5.4 积分作用4.5 4.5 输出反馈输出反馈(Output Feedback)观测：系统输入状态系统描述为：)()()()()1(kCxkykukxkx(4.33)状态反
20、馈：)()(kLxkU将给出希望的极点，当状态不能测量时，使用反馈率：)1|()(kkxLku(4.34)其中 是由如下观测器得到的：x)1|()()()1|()|1(kkxCkyKkukkxkkx(4.35)图 4.6 表示了该系统的框图过程观测器Lx uy图 4.6 把状态反馈与一个观测器组合起来所得到的控制器框图4.5.1 闭环系统分析闭环系统分析引入：由方程（4.33）和（4.34）可知，描述这个闭环系统可用方程组：闭环系统的特征值：控制器的脉冲传递函数：xxx)1|()()|1()1|()()()1(kkxKCkkxkkxLkxLkx(4.36)KKCLzILzHc1)(调节器观测器
21、LKC(4.37)例例 4.10 双重积分器的输出反馈双重积分器的输出反馈 图 4.7（a）表示当把估计状态用于控制规律中时的真实状态和估计状态。图 4.7（b）用实线表示当用例(4.9)中的降价观测器时的状态用点线表示 第二个状态的估计。图 4.74.5.2 推广推广采用控制率：)()1()1|1()()|()|()(kKykukkxKCIkkxKkxLkU(4.38)4.5.3 更实际的扰动模型更实际的扰动模型(More Realistic Disturbance Models)系统描述为：其中 是作用在过程上的一个扰动。对在低频有很大能量这种扰动可模拟为：vv增广系统可描述为：CxyvB
22、uAxdtdxwCvwAdtdwwwwxz引入增广状态向量：wxCyuBwxACAwxdtdww000(4.39)和：其中 和 是得出自观测器：x w 扰动状态 从控制信号是不能达的，但只要系统(4.33)式是能观测的，则全部状态从输出都是能观测的。控制律师所有状态变量的线性反馈，即w对照(4.20)。对这个系统采样得到下列离散时间系统：)()(0)(0)()(0)1()1(kwkxCykukwkxkwkxwxw)()()(kwLkxLkuw(4.40)()(0)()(0)1()1(kKKkukwkxkwkxwwxw(4.41)()()(kxCkyk(4.42)分析：分析：1.矩阵 保证状态
23、在扰动作用之后以希望的速度达到零。2.适当的选择增益 就能减少扰动对系统的影响。如使矩阵 等于零。前馈控制作用就更有效。3.观测器增益 和 影响估计误差趋近于零的速率。wKLxwLwxwLK则闭环系统描述为：注意：注意：观测器的状态由过程和扰动的状态估计组成，而控制信号包含来自扰动状态估计 的反馈。w)()()1()()()1()()1()()()1(kxCKkwkwkwkxKCkxkwkwwLkxLwLkxLkxwwxwwwwxw(4.43)系统的框图示于图 4.8 中：过程观测器LwL图 4.8 采用扰动估计状态作为状态反馈的控制器的框图4.5.4 积分作用积分作用(Integral Ac
24、tion)考虑一个单输入并在过程输入处有一个恒值扰动的系统。即：)()()()()()1()()()()()1()()()()()(kxCkykkKkvkvkKkukvkxkxkvkxLkvLkxLkuwwxwwvw1于是从方程(4.43)中得到 时能完全抵消负载扰动。1wL设没有测量误差，由方程（4.40）到(4.42)描述的控制器变成：(4.44)注意：注意：由 可知扰动估计可以通过状态估计的误差的积分直接获得。)()()1(kKkvkvwKKCIzIzHx1)(扰动观测器状态观测器过程L1x v uvy图 4.9 一个具有状态反馈的控制器和一个具有积分作用的观测器的框图。把具有积分作用控
25、制器方程(4.44)改写为：)()()()1()()()()1()()()(kxCkyKkvkvkxCkyKkxLkxkvkxLkuw对照方程(4.28)现引入：(4.45)则 是系统 的控制器传递函数。)(zLHx)()(kxLkU由(4.44)式有：)()(11)()(zYzCHIKzzLHzUxwx(4.46)例例 4.11 双重积分器的具有积分作用的输出反馈双重积分器的具有积分作用的输出反馈图 4.10表示系统的特性，可明显的看出，现在控制器有几分作用并能消除输入的恒值负载扰动。4.6 4.6 伺服问题伺服问题 4.6.1 一个自然方法 4.6.2 积分作用 4.6.3 二自由度控制器
26、 4.6.4 控制器结构 4.6.5 前馈信号的生成 4.6.6 组合4.6 4.6 伺服问题伺服问题(The Servo Problem)(The Servo Problem)4.6.1 一个自然方法一个自然方法得到对指令信号的希望响应的一种简单方式是用：)()()(kuLkxLkucc(4.47)代替常规的状态反馈：)()(kxLku考虑闭环系统：)()()()()1(kCxkykukxkx（4.48）)()()()()()()()1(kuLkxLkukxCkyKkukxkxcc过程观测器Lx uycLcu图 4.11 本框图表示在一个具有状态反馈和一个观测器的控制器中引入指令信号的简单方
27、法。消去 并引入估计误差 ，则：uxxx)()()()1()()()()1(kCxkykxKLkxkuLkxLkxLkxcc(4.49)注意：注意：该观测器误差由 是不能达的。cu从指令信号到过程输出的脉冲传递函数为：)()()(1zAzBLLLzICzHmcccl(4.50)相比较过程的脉冲传递函数：)()()(1zAzBzICzH(4.51)二者具备一样的零点。L其极点为矩阵 的特征值4.6.2 积分作用积分作用作过程输入处引入一个扰动 ，也是控制器成为：还可以把这些方程写成：与方程(4.44)比较表明，通过上述系统的一个非常简单的修正就可得到指令信号的跟踪。)()()()1()()()(
28、)()()1()()()()(kxCkyKkvkvkxCkyKkukvkxkxkuLkvkxLkuwcc(4.52)()()()1()()()()()1()()()()(kxCkyKkvkvkxCkyKkuLkxLkxkuLkvkxLkuwcccc(4.53)4.6.3 二自由度控制器二自由度控制器(Two-Degree-of Freedom Controller)满足：伺服特性调解特性性能规范4.6.4 控制器结构控制器结构4.6.5 前馈信号的生成前馈信号的生成4.6.6 组合组合4.7 4.7 设计举例设计举例 性能规范 采样间隔的选择 状态反馈设计 观测器设计 小结4.8 4.8 结论结论 这一章指明了怎样使用极点配置法和观测器来解决调节器和伺服器的设计问题。其解有三个主要成分：反馈矩阵 观测器 响应模型
