1、第第1章章 微积分微积分 计算机数学基础计算机数学基础 微积分学对变量的研究为我们提供了与以往不同的思微积分学对变量的研究为我们提供了与以往不同的思维方式维方式.它的数学思想被广泛地应用于自然科学的各个领它的数学思想被广泛地应用于自然科学的各个领域，已经成为学习计算机科学和理工类专业课程不可缺少域，已经成为学习计算机科学和理工类专业课程不可缺少的理论基础的理论基础.计算机数学基础计算机数学基础 微积分学研究的对象是函数,研究的方法是极限，也就是说用极限的方法来研究函数.现将微积分中涉及的函数基本知识做个回顾和总结.1.1.1 1.1.1 函函 数数 我们在中学已经学过的基本初等函数有六种，包括
2、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.1.1.1 1.1.1 函函 数数 计算机数学基础计算机数学基础1.1.2 1.1.2 函数的极限函数的极限1.1.2 1.1.2 函数的极限函数的极限1.1.2 1.1.2 函数的极限函数的极限计算机数学基础计算机数学基础 1.1.2 1.1.2 函数的极限函数的极限计算机数学基础计算机数学基础1.1.3 1.1.3 极限运算极限运算计算机数学基础计算机数学基础1.1.3 1.1.3 极限运算极限运算1.1.3 1.1.3 极限运算极限运算计算机数学基础计算机数学基础1.1.3 1.1.3 极限运算极限运算计算机数学基础计算机数学基
3、础1.1.4 1.1.4 两个重要极限两个重要极限计算机数学基础计算机数学基础1.1.4 1.1.4 两个重要极限两个重要极限两个重要极限在极限计算中有十分重要的作用,它们的基本形式为：应用两个重要极限,要理解它的本质：假设 为无穷小,它可以是自变量,也可以是自变量的函数,则两个重要极限可表述为第二个重要极限也可以写成如下形式1.1.4 1.1.4 两个重要极限两个重要极限计算机数学基础计算机数学基础1.2 导数与微分 1.2.1 1.2.1 导数的概念导数的概念1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算1.1.求导公式与法则求导公式与法则 基本初等函数的导数公式计算机数学基础计算机数学基础
4、1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础基本初等函数的导数法则设 ，都可导，则()uu x()vv x1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础即即1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础即即1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础即2.2.复合函数求导法则复合函数求导法则1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础3.3.隐函数求导法则隐函数求导法则下面通过例题来说明隐函数的求导方法1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础
5、计算机数学基础从而1.2.2 1.2.2 导数的运算导数的运算计算机数学基础计算机数学基础故4.4.高阶导数高阶导数1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用计算机数学基础计算机数学基础1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用1.1.微分的概念微分的概念1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用计算机数学基础计算机数学基础图1-2给出了微分的几何意义：曲线 在处切线纵坐标对应 的增量.()yf xMx2.2.微分运算微分运算由导数公式与运算法则可得知如下微分公式和运算法则.1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用计算机数学基础计算机数
6、学基础解1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用计算机数学基础计算机数学基础解解解解3.3.洛必达（洛必达（LHospitalLHospital）法则）法则则1.2.3 1.2.3 微分及导数的应用微分及导数的应用计算机数学基础计算机数学基础解解解解解解1.3 不定积分计算机数学基础计算机数学基础 图1-3给出了不定积分的几何含义：一组平行曲线上相同纵坐标对应点处的切线互相平行.1.3.1 1.3.1 不定积分的概念不定积分的概念1.3 不定积分计算机数学基础计算机数学基础基本积分公式1.3 不定积分计算机数学基础计算机数学基础解解 遇到分项积分时,不需要对每个积分都加任意常数
7、,只需各项积分都计算完后,加一个任意常数即可.解解解解1.3 不定积分解解解解解解计算机数学基础计算机数学基础1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法1.1.第一换元法第一换元法解解解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础解解解解解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础解解 如果被积函数中含有三角函数,通常要对三角函数进行恒等变形,然后利用积分公式求之.解解同理解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础因为所以同理
8、利用凑微分法,还可以求一些简单的三角函数有理式的积分.解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础解解解解2.2.第二换元法第二换元法1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础解解解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础于是解解1.3.2 1.3.2 换元积分法换元积分法计算机数学基础计算机数学基础解解1.3.3 1.3.3 分部积分法分部积分法计算机数学基础计算机数学基础 有几个积分结果以后往常遇到,可当作公式使用,作为基本公式的补充列在下面:1.3.3 1.3.3 分部积分法分部积分法解解1.
9、3.3 1.3.3 分部积分法分部积分法计算机数学基础计算机数学基础解解解解1.3.3 1.3.3 分部积分法分部积分法计算机数学基础计算机数学基础解解解解1.3.3 1.3.3 分部积分法分部积分法计算机数学基础计算机数学基础解解1.4 1.4 定积分定积分计算机数学基础计算机数学基础1.4.1 1.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.定积分的概念定积分的概念1.4.2 1.4.2 定积分的计算定积分的计算计算机数学基础计算机数学基础4.4.定积分的性质定积分的性质1.4.2 1.4.2 定积分的计算定积分的计算1 1 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 1.4.2 1.4.2
10、 定积分的计算定积分的计算计算机数学基础计算机数学基础解解解解2 2 定积分的换元法定积分的换元法1.4.2 1.4.2 定积分的计算定积分的计算计算机数学基础计算机数学基础解解解解1.4.2 1.4.2 定积分的计算定积分的计算计算机数学基础计算机数学基础3 3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法解解4 4 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础解解1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用1 1 元素法元素法 以本书求曲边梯形面积为例,说明元素法解题的思想过程.1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础2 2 平面图形的面积平面图形的面积 解解1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础解解3 3 旋转体的体积旋转体的体积 1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础证明证明4 4 变力作功变力作功 1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础解解5 5 液体压力液体压力 1.4.3 1.4.3 定积分的应用定积分的应用计算机数学基础计算机数学基础解解
