1、2022-8-51数学建模与数学实验数学建模与数学实验后勤工程学院数学教研室回归分析回归分析实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件求解回归分析问题。、掌握用数学软件求解回归分析问题。1、直观了解回归分析基本内容。、直观了解回归分析基本内容。1 1、回归分析的基本理论回归分析的基本理论。3 3、实验作业。实验作业。2、用数学软件求解回归分析问题。用数学软件求解回归分析问题。2022-8-53一元线性回归一元线性回归多元线性回归多元线性回归回归分析回归分析数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计*检验、预测与控制检验、预测与控制可线性化的一元非线可线性化的一元非线性回归（
2、曲线回归性回归（曲线回归）数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计*多元线性回归中的多元线性回归中的检验与预测检验与预测逐步回归分析逐步回归分析2022-8-54一、数学模型一、数学模型例例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长8885889192939395969897969899100102以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.1401451501551601658486889092949698100102散点图xy10
3、解答2022-8-55 一般地，称由xy10确定的模型为一一元元线线性性回回归归模模型型，记为 210,0DExy固定的未知参数0、1称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.一元线性回归分析的主要任务主要任务是：1、用试验值（样本值）对0、1和作点估计；2、对回归系数0、1作假设检验；3、在 x=0 x处对 y 作预测，对 y 作区间估计.xY10，称为 y 对对 x的回归直线方程的回归直线方程.返回返回2022-8-56二、模型参数估计二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计、回归系数的最小二乘估计有 n 组独立观测值，（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）设 相互独立且，nii
4、iiDEnixy.,0,.,2,1,21210 记 niiiniixyQQ12101210),(最小二乘法最小二乘法就是选择0和1的估计0，1使得 ),(min),(10,1010QQ2022-8-5722110 xxyxxyxy解得 其中niiniiynyxnx111,1，niiiniiyxnxyxnx11221,1.（经经验验）回回归归方方程程为为:)(110 xxyxy 或 niiniiixxyyxx12112022-8-582、2的无偏估计的无偏估计记 niniiiiieyyxyQQ11221010)(),(称 Qe为残残差差平平方方和和或剩剩余余平平方方和和.2的的无无偏偏估估计计为
5、 )2(2nQee称2e为剩剩余余方方差差（残残差差的的方方差差），2e分别与0、1独立。e称为剩剩余余标标准准差差.返回返回2022-8-59三、检验、预测与控制三、检验、预测与控制1、回归方程的显著性检验、回归方程的显著性检验 对回归方程xY10的显著性检验，归结为对假设 0:;0:1110HH进行检验.假设0:10H被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.2022-8-510（）F检验法检验法 当0H成立时，)2/(nQUFeF（1，n-2）其中 niiyyU12
6、（回归平方和）回归平方和）故 F)2,1(1nF，拒绝0H，否则就接受0H.（）t检验法检验法niiniixxxnxxxL12212)(其中当0H成立时，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒绝0H，否则就接受0H.2022-8-511（）r检验法检验法当|r|r1-时，拒绝 H0；否则就接受 H0.记 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(其中2,121111nFnr2022-8-5122、回归系数的置信区间、回归系数的置信区间0和和1置信水平为置信水平为 1-的置信区间分别为的置信区间分别为 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和
7、 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(2112112的的置置信信水水平平为为 1-的的置置信信区区间间为为 )2(,)2(22221nQnQee2022-8-5133、预测与控制、预测与控制（1）预测）预测用 y0的回归值0100 xy作为 y0的的预预测测值值.0y的置信水平为1的预测区间预测区间为 )(),(0000 xyxy其中xxeLxxnntx2021011)2()(特 别，当 n 很 大 且 x0在x附 近 取 值 时,y 的 置 信 水 平 为1的预预 测测 区区 间间 近近 似似 为为 2121,uyuyee2022-8-514（2）控制）控制要求：xy10的值以1的概率
8、落在指定区间yy,只要控制 x 满足以下两个不等式 yxyyxy)(,)(要求)(2xyy.若yxyyxy)(,)(分别有解x和x，即yxyyxy )(,)(.则xx,就是所求的 x 的控制区间.返回返回2022-8-515四、可线性化的一元非线性回归四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）（曲线回归）例例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：使用次数增大容积使用次数增大容积234567896.428.209.589.509.7010.009.939.99101112131415
9、1610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76解答2022-8-51624681012141666.577.588.599.51010.511散点图此即非线性回归非线性回归或曲线回归曲线回归 问题（需要配曲线）配曲线的一般方法是：配曲线的一般方法是：先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得niyxii,.,2,1),(画出散点图，根据散点图确定须配曲线的类型.然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a 和 b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法.2022-8-517通常选择的六类曲线如下：（1）双曲线双曲线x
10、bay1（2）幂函数曲线幂函数曲线 y=abx,其中 x0,a0（3）指数曲线指数曲线 y=abxe其中参数 a0.（4）倒倒指指数数曲曲线线 y=axbe/其中 a0，（5）对对数数曲曲线线 y=a+blogx,x0（6）S 型型曲曲线线xbeay1返回返回解例2.由散点图我们选配倒指数曲线y=axbe/根据线性化方法，算得4587.2,1107.1Ab由此 6789.11Aea最后得 xey1107.16789.112022-8-518一、数学模型及定义一、数学模型及定义一般称 nICOVEXY2),(,0)(为高斯马尔柯夫线性模型(k k 元线性回归模型元线性回归模型)，并简记为),(2
11、nIXY nyyY.1，nknnkkxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211，k.10，n.21kkxxy.110称为回回归归平平面面方方程程.返回返回线性模型),(2nIXY考虑的主要问题是：（1）用试验值（样本值）对未知参数和2作点估计和假设检验，从而建立 y 与kxxx,.,21之间的数量关系；（2）在,.,0022011kkxxxxxx处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.2022-8-519二、模型参数估计二、模型参数估计1、对对i和和2作作估估计计用最小二乘法求k,.,0的估计量：作离差平方和 niikkiixxyQ12110.选择k,.,0使 Q 达到
12、最小。解得估计值 YXXXTT1 得到的i代入回归平面方程得：kkxxy.110称为经验回归平面方程经验回归平面方程.i称为经验回归系数经验回归系数.注注意意：服从 p+1 维正态分 布，且为的无偏估 计，协方差阵为C2.C=L-1=(cij),L=XX2022-8-5202、多多项项式式回回归归设变量 x、Y 的回归模型为 ppxxxY.2210其中 p 是已知的，),2,1(pii是未知参数，服从正态分布),0(2N.令iixx，i=1，2，k 多项式回归模型变为多元线性回归模型.返回返回 kkxxxY.2210称为回回归归多多项项式式.上面的回归模型称为多多项项式式回回归归.2022-8
13、-521三、多元线性回归中的检验与预测三、多元线性回归中的检验与预测1、线线性性模模型型和和回回归归系系数数的的检检验验假设 0.:100kH（）F检验法检验法（）r检验法检验法定义eyyQUULUR为 y 与 x1,x2,.,xk的多多元元相相关关系系数数或复复相相关关系系数数。由于2211RRkknF，故用 F 和用 R检验是等效的。当 H0成 立 时，)1,()1/(/knkFknQkUFe如 果 F F1-（k，n-k-1），则 拒 绝 H0，认 为 y 与 x1,xk之 间 显 著地 有 线 性 关 系；否 则 就 接 受 H0，认 为 y 与 x1,xk之 间 线 性 关 系 不显
14、 著.其中 niiyyU12（回回归归平平方方和和）niiieyyQ12)(残差平方和）残差平方和）2022-8-5222、预测、预测（1）点预测）点预测求出回归方程kkxxy.110，对于给定自变量的值kxx,.,*1，用*110*.kkxxy来预测*110.kkxxy.称*y为*y的点预测.（2）区间预测）区间预测y 的1的预测区间（置信）区间为),(21yy,其中)1(1)1(12/10022/1001kntxxcyykntxxcyykikjjiijekikjjiijeC=L-1=(cij),L=XX1knQee返回返回2022-8-523四、逐步回归分析四、逐步回归分析（4）“有进有出
15、”的逐步回归分析。（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法：“最优最优”的回归方程的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量,而不包含对Y影响不显著的变量回归方程。以第四种方法，即逐步回归分析法逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.2022-8-524 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。逐步回归分析法逐步回归分析法的思想：从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。当
16、引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。返回返回2022-8-525统计工具箱中的回归分析命令统计工具箱中的回归分析命令1、多元线性回归、多元线性回归2、多项式回归、多项式回归3、非线性回归、非线性回归4、逐步回归、逐步回归返回返回2022-8-526多元线性回归多元线性回归 b=regress(Y,X)npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、确定回归系数的点估计
17、值：确定回归系数的点估计值：ppxxy.110对一元线性回归，取 p=1 即可2022-8-5273、画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p置信区间 显著性水平（缺省时为0.05）相关系数 r2越接近 1，说明回归方程越显著；F F1-（k，n-k-1）时拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著
18、；与 F 对应的概率 p时拒绝 H0，回归模型成立.2022-8-528例例1 解：解：1、输入数据：输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回归分析及检验：回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,stats得结果：b=bint=-16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047
19、0.8340 stats=0.9282 180.9531 0.0000即7194.0,073.1610；0的置信区间为-33.7017，1.5612,1的置信区间为0.6047,0.834;r2=0.9282,F=180.9531,p=0.0000p0.05,可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.To MATLAB(liti11)题目2022-8-5293、残差分析，作残差图：、残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符
20、合原始数据，而第二个数据可视为异常点.4、预测及作图：、预测及作图：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)246810121416-5-4-3-2-101234Residual Case Order PlotResidualsCase Number返回返回To MATLAB(liti12)2022-8-530多多 项项 式式 回回 归归（一）一元多项式回归（一）一元多项式回归（1）确定多项式系数的命令：p，S=polyfit（x，y，m）其中 x=（x1，x2，xn），y=（y1，y2，yn）；p=（a1，a2，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+amx+
21、am+1的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1、回归：、回归：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预 测值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5.2022-8-531 例例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s关
22、于 t 的回归方程2ctbtas.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48法一法一 直接作二次多项式回归：直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54
23、146.48;p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）1329.98896.652946.4892tts得回归模型为：2022-8-532法二法二化为多元线性回归：化为多元线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1)t(t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)22946.48988
24、96.651329.9tts得回归模型为：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r)预测及作图预测及作图To MATLAB(liti23)2022-8-533（二）多元二项式回归（二）多元二项式回归命令：rstool（x，y，model,alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）：linear（线性）：mmxxy 110 purequadratic（纯二次）：njjjjmmxxxy12110 interaction（交叉）：mkjkjjkmmxxxxy1110 quadratic（完
25、全二次）：mkjkjjkmmxxxxy,1110 2022-8-534 例例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300价格5766875439选择纯二次模型，即 2222211122110 xxxxy法一法一 直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100
26、75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic)2022-8-535 在画面左下方的下拉式菜单中选”all”,则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.2022-8-536在Matlab工作区中输入命令：beta,rmse得结果：beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0
27、.0001 1.8475 rmse=4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110 xxxxy剩余标准差为 4.5362,说明此回归模型的显著性较好.To MATLAB(liti31)2022-8-537X=ones(10,1)x1 x2(x1.2)(x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats结果为:b=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats=0.9702 40.6656 0.0005法二法二To MATLAB(liti32)返回返回
28、2222211122110 xxxxy将 化为多元线性回归：2022-8-538非线性回非线性回 归归（1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model,beta0，alpha）1、回归：、回归：残差Jacobian矩阵回归系数的初值是事先用m-文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据x、y分别为 矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。mn2、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：Y，DELTA=nlpredci（model,x，beta，r，J）求nlinfit 或nli
29、ntool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA.2022-8-539例例 4 对第一节例2，求解如下：1、对将要拟合的非线性模型 y=axbe/，建立 m-文件 volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;3、求回归系数：beta,r,J=nlinfi
30、t(x,y,volum,beta0)；beta得结果：beta=11.6036 -1.0641即得回归模型为：xey10641.16036.11To MATLAB(liti41)题目2022-8-5404、预测及作图：YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42)2022-8-541例例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。解解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口
31、、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解。2022-8-5421 对回归模型建立对回归模型建立M文件文件model.m如下如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+
32、d*x4+e*x5+f*x6;2022-8-5432.主程序主程序liti6.m如下如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 .2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00.271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00.564.00 638.00 658.00 691.00 65
33、5.00 692.00 657.00 723.00 922.00.890.00 826.00 810.0;beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;betafit=nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6）2022-8-544 betafit=0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y=0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6结果为结果为:返返 回回2022-8-545逐逐 步步 回回 归归逐步回归的命令是：s
34、tepwise（x，y，inmodel，alpha）运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）显著性水平（缺省时为0.5）自变量数据,阶矩阵mn因变量数据，阶矩阵1n2022-8-546例例6 水
35、泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模 型.序号12345678910111213x17111117113122111110 x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.41、数据输入：、数据输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31
36、 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;2022-8-5472、逐步回归：、逐步回归：（1）先在初始模型中取全部自变量：）先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table图图Stepwise
37、 Plot中四条直线都是虚中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好线，说明模型的显著性不好从表从表Stepwise Table中看出变中看出变量量x3和和x4的显著性最差的显著性最差.2022-8-548（2）在图）在图Stepwise Plot中点击直线中点击直线3和直线和直线4，移去变量，移去变量x3和和x4移去变量移去变量x3和和x4后模型具有显著性后模型具有显著性.虽然剩余标准差（虽然剩余标准差（RMSE）没）没有太大的变化，但是统计量有太大的变化，但是统计量F的的值明显增大，因此新的回归模型值明显增大，因此新的回归模型更好更好.To MATLAB(liti51）2022-8-549（
38、3）对变量）对变量y和和x1、x2作线性回归：作线性回归：X=ones(13,1)x1 x2;b=regress(y,X)得结果：b=52.5773 1.4683 0.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2To MATLAB(liti52）返回返回2022-8-5501、考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：温度（）20253035404550556065产量（kg）13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42时产量的估值及预测区间（置信度95%）.2
39、、某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下：xi02468101214161820yi0.62.04.47.511.817.123.331.239.649.761.7求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程.2022-8-5513、在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物含量的数学模型，形式为 34231253211xxxxxy其中51,是未知参数，321,xxx是三种反应物（氢，n 戊烷，异构戊烷）的含量，y 是反应速度.今测得一组数据如表 4，试由此确定参数51,，并给出置信
40、区间.51,的参考值为（1，0.05,0.02,0.1,2）.序号反应速度 y氢 x1n 戊烷 x2异构戊烷 x318.554703001023.79285801034.8247030012040.024708012052.754708010614.391001901072.54100806584.3547019065913.0010030054108.50100300120110.05100801201211.3228530010133.132851901202022-8-5524、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：养护时间 x234579121417212856抗压强度 y354247535965687376828699试求xbayln型回归方程.
