1、1在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行的直线与形如结论yxZZyxxYo2x+y=02x+y=12x+y=-32x+y=42x+y=7北师大版高中数学2线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。1255334xyxyx 目标函数（线性目标函数）线性约束条件象这样关象这样关于于x,yx,y一一次不等式次不等式组的约束组的约束条件称为条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+yZ=2x+y称为目标函数称为目标函数,(,(因因这里目标函数为关于这里目标函数为关于
2、x,yx,y的的一次式一次式,又称为线性目标函又称为线性目标函数数3线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)41255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,y
3、x,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解目标函数所表目标函数所表示的几何意义示的几何意义在在y轴上轴上的截距或其相的截距或其相反数。反数。555x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy.1255334.1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:.20 yxl作作直直线线Rttyxll ,2:.30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平越往右平移移,t,t随之增大随之增大.以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对
4、应的t t值值最大最大;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线所对应的的直线所对应的t t值最小值最小.3112,12252minmax ZZ 可以通过比较可行域边界顶可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。点的目标函数值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？的最大、最小值？6例题例题(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x7551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y
5、对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值8551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大
6、（小）值最大（小）值9551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值10551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像
7、3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值11551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值12551Oxyy-x=
8、0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值13551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负
9、值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值Zmax=2x+y=2x2+(-1)=314551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值15551Oxyy-x=0
10、 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)区域画出01y01-yx0y-x1、2、画出、画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3、根据、根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值16551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值
11、判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值17551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值18551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-
12、1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值19551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减
13、性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值20551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)x-y01.xy-10y 10 画出区域2.画出画出Z=2x+y对应的对应的 方程方程0=2x+y的图像的图像3.根据根据b的正负值判断向上向下的正负值判断向上向下平移时平移时Z的增减性，的增减性，4、根据根据0=2x+y平移到平移到区域的最后一个点时有区域的最后一个点时有最大（小）值最大（小）值Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-321线性规划例例1 解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：求
14、求z=2x+y的最大值和最小值，使式中的最大值和最小值，使式中x、y满足下满足下列条件：列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.也可以通过比较可行域边界也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。顶点的目标函数值大小得到。22线性规划例例2 解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：求求z=300 x+9
15、00y的最大值和最小的最大值和最小值，使式中值，使式中x、y满足下列条件：满足下列条件：探索结论x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx23例例3:某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产每生产一件甲种产品使用品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最
16、多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时计算小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?把例把例3的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:32利润利润(万元万元)821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产产品品消消 耗耗 量量资资 源源242841641200 xyxyxy
17、 0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,yx,y都是有意义的都是有意义的.解：设甲解：设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,yx,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：求利润问题：求利润2x+3y的最大值的最大值.线性约束条件线性约束条件25若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?,2 2z z2 2把把z z
18、=2 2x x+3 3y y变变形形为为y y=-x x+,这这是是斜斜率率为为-3 33 33 3z z在在y y轴轴上上的的截截距距为为的的直直线线,3 3当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,z z求求截截距距的的最最值值,即即可可得得z z的的最最值值.3 3262841641200 xyxyxy 0 xy4348233zyx M（4，2）142yx 问题：求利润问题：求利润z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z变式：若生产一件甲产品获利变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙万元，生产一件乙产品获利产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？万
19、元，采用哪种生产安排利润最大？272841641200 xyxyxy 0 xy4348133zyx N N（2 2，3 3）142yx 变式：求利润变式：求利润z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 28解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤：(2)设好变元并列出不等式组和目标函数设好变元并列出不等式组和目标函数(3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(4)在可行域内求目标函数的最优解在可行域内求目标函数的最优解(1)理清题意，列出表格：理清题意，列出表格：(5)还原成实际问题还原成实际问题(准确作图，准确计算准
20、确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法法2 2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。解落在一
21、条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。29例例4 4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并
22、画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？分析：设分析：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：皮数，于是满足以下条件：xyo4 4 x x y y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 030解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮，能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y，约束条件为下例不等式组，
23、可行域如图红色阴影部分：约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：把把Z Zx x0.5y0.5y变形为变形为y y2x2x2z2z，它表示斜，它表示斜率为率为2 2，在，在y y轴上的截轴上的截距为距为2z2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经由图可以看出，当直线经过可行域上的点过可行域上的点MM时，截时，截距距2z2z最大，即最大，即z z最大。最大。答：生产甲种、乙种肥料各答：生产甲种、乙种肥料各2 2车皮，能车皮，能够产生最大利润，最大利润为够产生最大利润，最大利润为3 3万元。万元。M容易求得容易求得MM点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），则），则Zm
24、axZmax3 34y1018x15y66x0y0 x线性约束条件线性约束条件31三、课堂练习三、课堂练习1.已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x32551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3max zmin3z 33练习练习2 已知已知求求z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy34551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmax ZZ35练习练习3：某工厂生产甲、乙两种产品，生产某工厂生产甲、乙两
25、种产品，生产1t甲种产品需甲种产品需要要A种原料种原料4t、B种原料种原料12t，产生的利润为，产生的利润为2万元；生万元；生产产1t乙种产品需要乙种产品需要A种原料种原料1t、B种原料种原料9t，产生的利，产生的利润为润为1万元。现有库存万元。现有库存A种原料种原料10t、B种原料种原料60t，如何，如何安排生产才能使利润最大？安排生产才能使利润最大？相关数据列表如下：相关数据列表如下：A种原料 B种原料利润甲种产品4 122 乙种产品1 9 1现有库存10 60 36设生产甲、乙两种产品的吨数设生产甲、乙两种产品的吨数分别为分别为x、y0060912104yxyxyxyxP 2利润利润何时达到最大？何时达到最大？37
