1、等速圓周運動與簡諧運動等速圓周運動與簡諧運動(SHM Simple Harmonic Motion)sin()cos(&trytrxyxjir)cos()sin(trvtrvvvyxyxjiv2222)sin()cos(ytraxtraaayxyxjiaT為該運動的週期週期(period)。上述運動的週期為（繞一圈或角位移為2所需時間）T=2/。習慣上，我們常以頻率頻率(frequency)f來描述此週期性運動，f=1/T=/2，而稱之為該運動的角頻率角頻率(angular frequency)。頻率的單位為s-1或hertz(Hz)。正弦（或餘弦）函數中的變數值(t+)被稱為該運動的相位相位
2、(phase)，所以對圓周運動而言，速度與位移的相位差為90o或/2，而加速度與位移的相位差為180o或。以動力學的觀點來看，圓周運動投射於一維座標上所遵守的運動定律為kxxmtmrtmatFxx22)cos()()(所以簡諧運動的形成主要為物體受到一恢復力(restoring force)的影響，亦即受力的方向與偏離平衡點（受力為零之處）的位移方向相反，且此力的大小線性正比於其偏移量的大小。由此敘述我們知道，符合此狀況的最直接例子為彈簧系統。考慮彈性係數為k的彈簧系統中，一質量為m的物體連結於此彈簧上，當彈簧壓縮量為x時，物體所受的力為22dtxdmxmkxmaF xdtxdmkdefine
3、xmkdtxd222222這顯示此物體的位移滿足微分方程滿足此微分方程之解的一般形式為)/(tan,);sin(sincos122BABACtCxtBtAx其中或)/(tan,);sin(sincos122BABACtCxtBtAx其中或例題一：一質量為1300kg車子的避震器彈性係數為20,000N/m。當它乘載兩個人總質量為160kg時，路經一坑洞使得車子上下震動，問其振動頻率為何？mkTfkmT211;22此為前面所敘述的簡諧運動，而其週期與頻率為HzkgmNmkf18.1350/200002121A.10 Hz B.7 HzC.5 HzD.3HzE.1Hz713612122rRrRRU
4、drdUFrRrRUUoooorooo分子振動凡德瓦作用力模型考慮x為偏離平衡點之位移，亦即x=r-Ro。則其受力大小可表示為713713/11/111212oooooooooorRxRxRUxRRxRRRUF利用數學展開式關係 2!2)1(1)1(unnnuunxRURxRxRUFoooooor272)7(1(-13)112將力的形式展開後，我們可得一近似虎克定律的關係例題:給定氬分子間凡德瓦作用力大小為Uo=1.68*10-21J與Ro=3.82*10-10m。請估計該分子的振動頻率。HzkgmNmkf11261063.51063.6/829.021215.6105 B.5.6107 C.
5、5.6109 D.5.61011 E.5.61013 Hz單擺單擺(Simple Pendulum)與物理擺與物理擺(Physical Pendulum)當角度不大時，sin 。再將弧長s=L代入，單擺的運動方程可重新寫為Lgdtd2222sindtsdmmgFt由牛頓定律我們有此運動方程與由彈簧系統所得到的微分方程一樣，所以符合此運動方程的解為)cos()(maxttgLfTLgfLg21;212;角位移對時間為一簡諧運動，擺動週期與頻率為思考問題：若將繩子改為彈簧，彈簧掛上物體後的平衡長度為L，問此擺的週期會大於、小於或等於繩子擺？思考問題:由化石資料顯示，暴龍的腿骨長約為3.1公尺，而其
6、足跡間距約為4.0公尺。請估計暴龍行走之速度。假若擺的質量並非集中於擺長的另一端，而是須要考慮質量於空間的分佈（如圖所示），則我們稱此為物理擺(physical pendulum)。因重力對此系統所施的力矩而產生的運動為滿足：22sindtdIImgd考慮當擺動的角度不是很大時：222sinImgddtd此擺動對角度值而言為一簡諧運動。其週期為mgdIT22A uniform rod of mass M and length L is pivoted about one end and oscillates in a vertical plane.Find the period of the
7、oscillation if the amplitude of the motion is small.gLLMgMLT322221231思考問題:機械式傳統鐘錶通常皆依賴振動系統來計時，為何振動系統可為時間之標準。扭擺扭擺(Torsional Pendulum)繩索因此角度扭轉而施予此物體一力矩，其大小與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方向。由此我們可以寫出此系統的運動方程22222IdtddtdIIT2所以，扭擺亦為一簡諧運動。其頻率為The otolith organs are the primary means by which we sense linear accelerat
8、ion of the head and the orientation of the head with respect to Earths gravity.Each of these otolith organs contains a small sensory area known as a macula.Each macula contains several thousand vestibular hair cells.The cilia are embedded in a gelatinous matrix called the otolithic membrane.This mem
9、brane contains small piles of calcium carbonate crystals(CaCO3),called otoliths,a word which literally means ear stones.阻尼諧振子阻尼諧振子(Damped Oscillators)考慮一系統的阻力(retarding force)為R=-bv，恢復力(restoring force)為-kx，則由牛頓運動定律可得22dtxdmdtdxbkxmabvkxF此運動方程與所熟悉的簡諧運動微分方程差異於多出一次微分項。在此微分方程中，對函數x而言為齊次方程，故在解此類型的微分方程時，
10、我們可以複數形式當成微分方程一般解的形式。tAex0222222xdtdxdtxdmbmkoo令再將此一般解形式代入方程中可得特徵方程02022222ooxxx首先將微分方程整理成此特徵方程的兩個解為ttoeAeAx2121222,1過阻尼情況(overdamped oscillator)22o臨界阻尼情況(critical damped oscillator)22o阻尼不足情況(underdamped oscillator)22o此時特徵方程的兩個解相等 21tetAAx)(21運動通解為一般解的實數部分tititeCeCex21Re臨界阻尼情況(critical damped oscill
11、ator)22o阻尼不足情況(underdamped oscillator)22o受迫諧振子受迫諧振子(Forced Oscillator)阻尼振盪子受到一週期函數形式的外力驅動，譬如 F=Fo cost,其中為外力週期之角頻率，而Fo為常數。所以受迫諧振子的運動方程為tFdtdxbkxdtxdmmaFocos22為計算方便起見，我們將之改寫為tmFxdtdxdtxdmbmkooocos22,2222mFiAAexemFxdtdxdtxdoot it ioo)2(222222特殊解形式為方便求得特解，我們先求此方程的複數形式mFiAAexemFxdtdxdtxdootitioo)2(22222
12、2特殊解形式由此我們解得22122222222tan4/2/otiootioowhereemFeimFx 22122222222tan4/2/ot ioot ioowhereemFeimFx取其實數部分即為此方程的特殊解，加上齊次方程的通解後，可得一般解形式為)cos()cos(taetcxt222222222/4/mbmFmFcoooo222222242/ooomFc(二）當 時，響應振幅c隨的增加而遞增。2220o222222242/ooomFckFmFcooo2/（一）當=0時，。此時外力為常數，故最終結果為位移對平衡位置產生一靜偏移。(三)當時 ，響應振幅c隨的增加而遞減，並在頻率趨近
13、於無窮大時，振幅變為零。222o(四)當時 ，響應振幅 達到最大。我們稱此頻率為共振頻率(resonance frequency)，而此時系統處於共振(resonance)狀態。222o222/oomFc共振頻率與響應振幅的大小與阻尼有關。阻尼越小時，共振頻率越接近自然頻率o，而響應振幅將越大。相對的，當阻尼變大時，共振頻率與響應振幅皆隨之減小，而當 02rco時共振吸收及共振吸收及Q值值 對於一受迫諧振子而言，能觀察或測量到的物理量，常常不是振幅，而是維持穩定振動所需的能量。考慮系統外力對系統所作之功率為222222222dtdxmdtdxxdtxddtdxmdtdxxdtdxdtxdmdt
14、dxFFvPoo222221221dtdEdtdxmkxxmdtd222222222dtdxmdtdxxdtxddtdxmdtdxxdtdxdtxdmdtdxFFvPoo第一項為振子之力學能變化，當振動進入穩定態之後，其週期平均值應為零，0TdtdE)(sin222222tmcxmP所以在振動進入穩定態之後週期平均消耗功率為2222222224oomFmcP利用數學結果)(sin222222tmcxmP=1/2這結果表示，系統對能量的吸收與頻率有關。習慣上，我們稱之為色散型(dispersive)的。由其函數形式可知，當時 ，平均吸收功率到達最大。omFPo42max當 時，平均吸收功率到達最
15、大的一半。若阻尼不大 ，則與o非常接近，所以可得222o o)(222oooooPmax21為了表示一振動系統的吸收特性，或所含的阻尼程度，一般常用品質因素品質因素(quality factor)Q來描述，它定義為振子平均能量與於一個週期內所耗散的能量之比乘上242/2222222221221ooxmxmxmPTEQ在鄰近於共振時，約等於o，所以ooQ2故欲增加系統吸收的選擇性時，則需減少阻尼，亦即提升Q值。然而由其通解的形式得知，阻尼小時瞬間變化項衰減越慢，使振子對驅迫力之響應得於較長時間之後方為主導，故常常得於選擇性與反應外力變化之忠實性之間取得協調。舉幾個例子：一般揚聲器的Q值約在10到100左右，水晶振盪約為104，光譜線約為109，而雷射共振可達1014！ooQ2
