1、重庆市万州武陵中学重庆市万州武陵中学邓静邓静3.3.2-1简单线性规划问题简单线性规划问题(一一)2一一.复习回顾复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平平行行的的直直线线与与形形如如结结论论 yxttyxxYo2022-8-5355x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1,4.4)A:(5,2)B:(1,1)Oxy问题问题1 1：x x 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题2 2：y y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题3 3：2x+y 2x
2、+y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？1255334xyxyx2.作出下列不作出下列不等式组的所表等式组的所表示的平面区域示的平面区域2022-8-54二二.提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:1255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.2022-8-5555x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy.1255334.1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:.20 yxl作作直直线线Rttyx
3、ll ,2:.30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平越往右平移移,t,t随之增大随之增大.以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对应的t t值值最大最大;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线所对应的的直线所对应的t t值最小值最小.3112,12252minmax ZZ 可以通过比较可行域边界顶可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。点的目标函数值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？的最大、最小值？2022-8-56线性线性规划规划问题：设z=2x+y，式中变
4、量满足下列条件：求z的最大值与最小值。1255334xyxyx 目标函数（线性目标函数）线性约束条件象这样关象这样关于于x,yx,y一一次不等式次不等式组的约束组的约束条件称为条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+yZ=2x+y称为目标函数称为目标函数,(,(因因这里目标函数为关于这里目标函数为关于x,yx,y的的一次式一次式,又称为线性目标函又称为线性目标函数数2022-8-57线性规划线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得
5、最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)2022-8-581255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解目标函数所表目标函数所表示的几何意义示的几何意义在在y轴上轴上的截距或其相的截距或其相反数。反数。2022-8-59线性规划线性规划例例1 解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：求求z=2x+y的最
6、大值和最小值，使式中的最大值和最小值，使式中x、y满足下满足下列条件：列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.也可以通过比较可行域边界也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。顶点的目标函数值大小得到。2022-8-510线性规划线性规划 例例2 解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：求求z=300
7、 x+900y的最大值和最小的最大值和最小值，使式中值，使式中x、y满足下列条件：满足下列条件：探索结论x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx2022-8-511课前练习课前练习(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x2022-8-512551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3max zmin3z 2022
8、-8-513例例1:某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产每生产一件甲种产品使用品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时计算小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙种产品获利件乙种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?把例把
9、例1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额 乙产品 (1件)甲产品 (1件)产产品品消消 耗耗 量量资资 源源2022-8-5142841641200 xyxyxy 0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,yx,y都是有意义的都是有意义的.解：设甲解：设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,yx,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：求利润问题：求利润2x+3y
10、的最大值的最大值.线性约束条件线性约束条件2022-8-5152841641200 xyxyxy 0 xy434823yx M（4，2）142yx 问题：求利润问题：求利润z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z变式：若生产一件甲产品获利变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙万元，生产一件乙产品获利产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？万元，采用哪种生产安排利润最大？2022-8-5162841641200 xyxyxy 0 xy434813yx N N（2 2，3 3）142yx 变式：求利润变式：求利润z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 2022-8
11、-517解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题还原成实际问题(准确作图，准确计算准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，
12、利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法法2 2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。2022-8-518例例2 2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料
13、是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？分析：设分析：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车分别为计划生产甲、乙
14、两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：皮数，于是满足以下条件：xyo4 4 x x y y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 02022-8-519解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮，能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y，约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：xyo答：生产甲种、乙种肥料各答：生产甲种、乙种肥料各2 2车皮，能车皮，能够产生最大利润，最大利润为够产
15、生最大利润，最大利润为3 3万元。万元。M容易求得容易求得MM点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），则），则ZmaxZmax3 34y1018x15y66x0y0 x线性约束条件线性约束条件2022-8-520例例3 3、要将两种大小不同规格的钢板截成、要将两种大小不同规格的钢板截成A A、B B、C C三种规格，每张钢板可同时截得三种三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示规格的小钢板的块数如下表所示 ：规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B
16、,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需三块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，可得张，可得2022-8-521x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距且和原点距离最近的直线是离最近的直线是x+y=12，它们是最优解
17、，它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z=x+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移,2022-8-5222x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线直线x+y=12x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是最优解，它们是最优
18、解.作出一组平行直线作出一组平行直线z=x+yz=x+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*x0y2022-8-5231.1.线性规划的讨论范围：教材中讨论了线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可两个变量的线性
19、规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；量的线性规划问题不能用图解法来解；2.2.求线性规划问题的最优整数解时，常求线性规划问题的最优整数解时，常 用打网格线和调整优值的方法，这要求作用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确率与其他直线的斜率关系要把握准确2022-8-524在在x,yx,y的的值值都都是是不不小小于于0 0的的整整数数 点点（x,y)x,y)中中，满满足足x+yx+y4 4的的 点点的的个个数数为
20、为_Ex.Ex._15152022-8-525321 041 1,0,0 xyxyxyZxy。yxS的最大值的最大值求求45 ,x y设变量满足条件练习练习:2022-8-526书面作业书面作业课堂练习课堂练习 P.31 练习练习1.4 P.33 习题习题2.1 A组组1.2.3.52022-8-5273.3.2简单的线性规划问题（简单的线性规划问题（2）xyo2022-8-528一、线性规划在实际中的应用：一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用用:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，一是在人力、物力、资金等资源
21、一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：2022-8-529例例5.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供提供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳
22、水化合物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂脂肪，花费肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和和食物食物B多少多少kg？食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白质蛋白质/kg脂肪脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格二、例题二、例题2022-8-530解：设每天食
23、用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么那么00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域2022-8-531把目标函数z28x21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。28zM 如图可
24、见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行域经过可行域上的点上的点M时，截距最小，时，截距最小，即即z最小。最小。43yx 2022-8-532M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。2022-8-533例例6.某人准备投资某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对万元兴办一所完全中学。
25、对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段班级学生配备教师初中45226班2人高中40354班2人万元硬件建设万元教师年薪2022-8-534把上面四个不等式合在一起，把上面四
26、个不等式合在一起，得到得到0y0 x042yx30yx20yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0，y0。而由于资金限制，而由于资金限制，26x54y22x23y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x个，高中班个，高中班y个。因办学规模以个。因办学规模以2030个班为宜，所以，个班为宜，所以，20 xy302022-8-535yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线Z7.2x10.8y经过经过可行域上的点可行域上的点M时，截时，截距最大，即距最大，即Z最大。最大。设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标
27、函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），则），则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收取的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元。万元。2022-8-536例例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐、硝酸盐18t
28、；生产；生产1车车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐、硝酸盐15t。现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t、硝酸盐、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo0y0 x66
29、15y18x10y4x2022-8-537解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3
30、万元。万元。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin32022-8-538三、练习题 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为入分别为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台两种设备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工件甲所需工时分别为时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数两种设备每月有效使用台数分别为分别为400h和和500h。如何安排生产可使收入最大？。如何安排生产可使收入最大？设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数
31、为Z3x2y，满足的条件是0050024002yxyxyx2022-8-539 Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。223zxy23XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。M解方程组解方程组50024002yxyx可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入件，收入最大，为最大，为80万元。万元。0050024002yxyxyx2022-8-540四.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。）3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。2022-8-541书面作业书面作业课堂练习课堂练习 P.31 练习练习1.4 P.33 习题习题2.1 A组组1.2.3.5
