1、第二章第二章 场论初步场论初步 金属压力加工的力学理论是研究变形区域内各点金属压力加工的力学理论是研究变形区域内各点的应力、应变、位移、速度和温度的变化规律的科学。的应力、应变、位移、速度和温度的变化规律的科学。这些量一般都是点的坐标和时间的函数，所以实际上是这些量一般都是点的坐标和时间的函数，所以实际上是研究空间区域内的研究空间区域内的场的问题场的问题，如应力场、速度场等。，如应力场、速度场等。今后在本课程的学习中要广泛使用场的概念和运算今后在本课程的学习中要广泛使用场的概念和运算方法，因此首先熟悉一下有关场的理论是必要的。本章方法，因此首先熟悉一下有关场的理论是必要的。本章只涉及到后面要用
2、的一些理论，并力求结合金属压力加只涉及到后面要用的一些理论，并力求结合金属压力加工这个主题作介绍。本章的另一个目的在于把今后本课工这个主题作介绍。本章的另一个目的在于把今后本课程所用的符号和表示方法统一起来。程所用的符号和表示方法统一起来。Definition and classification of field设在空间某个区域内定义了某个或某些函设在空间某个区域内定义了某个或某些函 数，则称被定义的区域为场。数，则称被定义的区域为场。例如：金属压力加工力学理论中的物理量例如：金属压力加工力学理论中的物理量 应力应力、应变、应变、位移、位移、应变速率、应变速率、温度温度Td。也就是说这些物理
3、量是点的坐标和时间的函数，也就是说这些物理量是点的坐标和时间的函数，所以实际上是研究时空区域内的场的问题。所以实际上是研究时空区域内的场的问题。()()(ifg t ixyzx，或1，2，3）场的分类：场的分类：标量场：假如定义的函数是标量（即数量），则称为标量场：假如定义的函数是标量（即数量），则称为 标量场。标量场。例如：温度场、位势场、流函数场例如：温度场、位势场、流函数场 （0维场量）维场量）向量场：假如定义的函数为向量，则称为向量场。向量场：假如定义的函数为向量，则称为向量场。例如：位移场、速度场例如：位移场、速度场 （1维场量）维场量）张量场：假如定义的函数为张量，则称为张量场。张
4、量场：假如定义的函数为张量，则称为张量场。例如：应力场、应变场、应变速率场例如：应力场、应变场、应变速率场 （2维场量）维场量）v说明：对于同一区域，由于所考察的物理量不同，它说明：对于同一区域，由于所考察的物理量不同，它可能同时被看成是标量场、向量场和张量场。可能同时被看成是标量场、向量场和张量场。1）场内所表示的物理量的函数在每个点是一定的，）场内所表示的物理量的函数在每个点是一定的，而且是单值的。这个物理量一般是点的坐标和而且是单值的。这个物理量一般是点的坐标和时间的函数。时间的函数。2）在定义的区域内是连续可导的。）在定义的区域内是连续可导的。例如：应力、应变对坐标可二次求导例如：应力
5、、应变对坐标可二次求导 位移、速度对坐标可三次求导。位移、速度对坐标可三次求导。3）从标量从标量向量向量张量，反映了所描述对象张量，反映了所描述对象的复杂程度。的复杂程度。2222,yxxx场的稳定性场的稳定性 如果场内定义的物理量在每一点不随时间改变，则如果场内定义的物理量在每一点不随时间改变，则称这样的场为定常的或稳定的，否则称为非定常的或称这样的场为定常的或稳定的，否则称为非定常的或时变场。时变场。稳定场：轧制、挤压、拉拔塑性变形区稳定场：轧制、挤压、拉拔塑性变形区 （用解析方法研究起来比较容易）（用解析方法研究起来比较容易）时变场：镦粗、压入、锻造、剪切、穿孔变形区时变场：镦粗、压入、
6、锻造、剪切、穿孔变形区 （时变场用解析方法研究起来比较复杂，所（时变场用解析方法研究起来比较复杂，所 以有时把时变场在每一时间间隔以有时把时变场在每一时间间隔 t内看成内看成 定常场来研究，即把一个连续过程看成一系定常场来研究，即把一个连续过程看成一系 列定常过程的总和，这对于解决工程问题往列定常过程的总和，这对于解决工程问题往 往就足够准确了。）往就足够准确了。）本课程采用爱因斯坦求和约定，以便把很长的场本课程采用爱因斯坦求和约定，以便把很长的场论公式简单地表示出来，简化书写，便于记忆。论公式简单地表示出来，简化书写，便于记忆。1）只有一个下标的表达式，例如：）只有一个下标的表达式，例如：a
7、i(i=1,2,3)，即即ai表示三个量的的全体（表示三个量的的全体（a1,a2,a3)。故。故ai是某是某个量的分量记号，个量的分量记号，不表示求和，只表示序列。不表示求和，只表示序列。例如：坐标例如：坐标xi(i=1,2,3)表示表示 x1,x2,x3 x,y,z对应。对应。方向余弦（方向余弦（n1,n2,n3)可记为可记为ni(i=1,2,3)2）在）在1项中有两个相重的下标时，表示对此下标依次项中有两个相重的下标时，表示对此下标依次 取取1，2，3，然后求和。，然后求和。例如：例如：aii(i=1,2,3)=a11+a22+a33 aibi(i=1,2,3)=a1b1+a2b2+a3b
8、3 例如：标量场例如：标量场的梯度向量为：的梯度向量为：)3,2,1()()()()(332211iexexexexgradii 向量场的散度为：向量场的散度为：)3,2,1(332211ixxxxdivii 3）带有两个不同下标的量，例如）带有两个不同下标的量，例如aij表示表示9个元素组个元素组 成的矩阵成的矩阵)3,2,1,(333231232221131211jiaaaaaaaaaaiji表示矩阵的行号，表示矩阵的行号，j表示列号，表示列号，aij不表示求和不表示求和 当一个量中既有重复的下标，又有不重复的下当一个量中既有重复的下标，又有不重复的下标，通常称重复出现的为哑标，不重复出现
9、的为自标，通常称重复出现的为哑标，不重复出现的为自由标，规定只对哑标求和。由标，规定只对哑标求和。例如：例如：kiaij（i,j=1,2,3)展开：展开：kiaij（k1a11+k2a21+k3a31,k1a12+k2a22+k3a32,k1a13+k2a23+k3a33)展开为为应力平衡微分方程，)3,2,1,(0jixjij000333232131323222121313212111xxxxxxxxx练习：练习：(1)aii (i=1,2,3)(2)aiai (i=1,2,3)(3)ai2 (i=1,2,3)3,2,1,()4(22jixijij 如果某物理量在直角坐标系中可以用三个如果某
10、物理量在直角坐标系中可以用三个分量表示为分量表示为ai(i=1,2,3)，当坐标轴转动后，原来，当坐标轴转动后，原来的坐标轴与转动后的坐标轴之间形成的夹角余弦的坐标轴与转动后的坐标轴之间形成的夹角余弦构成方向余弦矩阵构成方向余弦矩阵ij(i,j=1,2,3),在新的坐标系中，该在新的坐标系中，该物理量为物理量为ai(i=1,2,3),如果如果ai 可由下式确定，可由下式确定，aiijaj321333231232221131211321aaaaaa即即 其中其中11表示坐标轴表示坐标轴1与与1 之间的夹角的余弦，之间的夹角的余弦，23表示坐标轴表示坐标轴2与与3之间的夹角的余弦，依次类推，之间的
11、夹角的余弦，依次类推，那么称那么称ai为一阶张量，（只有一个下标）。为一阶张量，（只有一个下标）。同理，如果某物理量在直角坐标系中可用同理，如果某物理量在直角坐标系中可用9个分量个分量aij（i,j=1,2,3)表示，当坐标轴转动后，原来的物理量可表示，当坐标轴转动后，原来的物理量可表示为：表示为：aij=ipkqpq (i,j,p,q,k=1,2,3)则称该物理量为二阶张量（有则称该物理量为二阶张量（有2个下标）。个下标）。注意：坐标变换过程中，物理量各分量的大小与注意：坐标变换过程中，物理量各分量的大小与 方向并未改变，只是因坐标变换改变其表达方向并未改变，只是因坐标变换改变其表达 式而已
12、。应力、应变及应变速率皆为二阶张量。式而已。应力、应变及应变速率皆为二阶张量。2.4.1 曲线坐标的建立曲线坐标的建立 对于金属压力加工的许多过程，更适合于用曲线坐标来描对于金属压力加工的许多过程，更适合于用曲线坐标来描述，但我们通常所用的是直角坐标，因此需要在两种坐标之间述，但我们通常所用的是直角坐标，因此需要在两种坐标之间进行转换，即：进行转换，即：笛卡尔直角坐标笛卡尔直角坐标 曲线坐标（更具一般性）曲线坐标（更具一般性）正交曲线坐标（交点处的切线相互垂直）正交曲线坐标（交点处的切线相互垂直）以空间一不动点为原点，建立直角坐标系以空间一不动点为原点，建立直角坐标系x1，x2，x3，其，其中
13、任意一点中任意一点 的位置可用向径的位置可用向径x表示，表示，如图示如图示,写作写作这里这里 是是x的直角坐标投影。的直角坐标投影。(1,2,3)i 123Mxxx）（，ixi iOMxx e 1 1223 3eeexxx 1,2,3()i 123(,)ix x x x我们也可以不用我们也可以不用 ，而用另外三个变量，而用另外三个变量 来表示来表示M点的位置，只要存在：点的位置，只要存在：（a）即即 这里这里 是关于是关于 的三个光滑的函数的三个光滑的函数此式也可以对此式也可以对 解出，即写成解出，即写成 的下列显式：的下列显式：()ikfi xfi123(,)kx x x x1,2,3fff
14、kxkx1123212331231,2,3,()()()fx x xfx x xfx x x()kkixg(b)这个逆关系存在的条件是方程组（这个逆关系存在的条件是方程组（a）的行列式（或者叫做的行列式（或者叫做雅克比式）不能为零，即：雅克比式）不能为零，即：展开得展开得 330ikx1111232221233331230 xxxxxxxxx2.4.2 弧元素在曲线坐标中的表达式弧元素在曲线坐标中的表达式 在直角坐标系中，弧微分可以写作在直角坐标系中，弧微分可以写作 在曲线坐标中，同一个弧元素在曲线坐标中，同一个弧元素 应借助于曲线坐标变应借助于曲线坐标变量的微分量的微分 表达才好。假设过表达
15、才好。假设过M点有一条任意曲线点有一条任意曲线S，此，此曲线用向径函数曲线用向径函数X表示就是表示就是 222123()()()dsdxdxdx i ixxe (1,2,3)i 1 1223 3eeexxxx 11,2,3121,2,32()()eexx dsid31,2,33()ex ixdi(1,2,3)i 显然所求的弧微分就是显然所求的弧微分就是 ，它是沿，它是沿S的切向分量。对于光滑曲的切向分量。对于光滑曲线线S，可以写出下列全微分：，可以写出下列全微分：我们先来计算上式中的第一个偏导数我们先来计算上式中的第一个偏导数dx123123xxxdxddd 1x 1231231111xxxe
16、eex 说明：沿说明：沿 1 曲线求偏导，而曲线求偏导，而 2、3 均未获得增量且视为常数，均未获得增量且视为常数，所以上式为一向量，其方向与所以上式为一向量，其方向与 1 相切，即沿相切，即沿 方向。方向。因此，因此，的模为：的模为：同理求得同理求得一般地，有一般地，有注：正数注：正数 称为拉梅系数。称为拉梅系数。1b1x 1232221111()()()xxxH11()()iixx23HH，()()iikkkHxx 1,23H HH，故故可见弧微分在可见弧微分在 方向的三个投影分别是：方向的三个投影分别是：()()iidsdxdx22211223322()()()()iiH dHdH dH
17、d111dsH d222dsH d333dsH d222123()()()dxdxdxib体积微分相应地可表示为：体积微分相应地可表示为：侧面积微分相应地表示为：侧面积微分相应地表示为：232323xdAdydzdx dxH H dd131313ydAdxdzdx dxH H dd121212zdAdxdydx dxH H dd123dvdx dx dx123123H H H ddd2.4.2 柱坐标柱坐标 柱坐标的三个坐标变量分别是柱坐标的三个坐标变量分别是 ，如图所示如图所示。空间。空间一点一点M是下列三个坐标面的交点：是下列三个坐标面的交点：r为常数的圆柱面，为常数的圆柱面，为常数为常数
18、的半平面，的半平面，z=r3=常数的水平面。常数的水平面。圆柱坐标系是最简单的曲线坐标特例。曲线坐标圆柱坐标系是最简单的曲线坐标特例。曲线坐标 i（1，2，3）与圆柱坐标之间的对应关系为：与圆柱坐标之间的对应关系为：r 1,2,z 3 则由图可得则由图可得：,rz1132233333(,)sin(,)(,)cosfrfrxxfrxrxrxxx圆柱坐标的建立圆柱坐标的建立坐标的微分是坐标的微分是：代入得代入得1232221111()()()dxdxdxHddd22(sin)(cos)011232222()()()dxdxdxHddd222(sincos)rr 弧微分：弧微分：体积微分：体积微分：
19、2.4.3 球坐标球坐标 跟柱坐标相似，跟柱坐标相似，球坐标球坐标及坐标关系及坐标关系 径坐标径坐标 经坐标经坐标 纬坐标纬坐标 1232223333()()()dxdxdxHdxdxdx11dsdr2dsrd3dsdzzdvrdrd d123球坐标的建立球坐标的建立 得：得：坐标的微分坐标的微分故有：故有：弧微分：弧微分：11(,)sincosf rxr 22(,)sinsinfrxr 1sincossincoscos cosdrrdrddx 2sinsincos sinsincosdrrdrddx 3cossindrrddx 11rHH2HHr3sinHHr33(,)cosfrxr 1dsdr2dsrd3sindsd体积微分：体积微分：（圆环坐标系）（圆环坐标系）此外，梯度、旋度、散度、应力平衡方程等在正此外，梯度、旋度、散度、应力平衡方程等在正交曲线坐标系中的表达式主要靠自学交曲线坐标系中的表达式主要靠自学。2sindvrdrd d
