1、1第七章第七章 无穷级数无穷级数2齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺诺(Zeno)用他的无穷、用他的无穷、连连续以及部分和的知识，续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟倍，也永远也追不上乌龟.
2、齐诺的齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时米，此时乌龟仍然前于他乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟米时，乌龟仍然前于他仍然前于他10米，米，如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的也追不上乌龟的.这个结论显然是这个结论显然是荒谬荒谬的，但奇怪的是，这种推的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何毛病理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？那么，问题究竟出在哪儿呢？3第一节第一节 无穷级数
3、的概念无穷级数的概念 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。计算的一种工具。计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即41 1、级数的定义：、级数的定义：nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数 niinnuuuuS121,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 通项通项级数的级数的前前 n 项部分和
4、数列项部分和数列nS52 2、级数的收敛与发散：、级数的收敛与发散：对对于于级级数数 1nnu,如如果果它它的的前前 n 项项部部分分和和数数列列nS收收敛敛 如如果果数数列列nS没没有有极极限限,则则称称该该无无穷穷级级数数发发散散.即即 SSnn lim,Sunn 1定义定义(设极限为设极限为S)，则称则称该该无穷级数无穷级数收敛收敛，且称且称 S 为该为该级数级数的的和和，并，并记为记为 6解解)1(1 nnun,111 nn)1(1321211 nnSn)111()3121()211(nn111 n,)(1 n例例1 1讨论无穷级数讨论无穷级数 )1(1321211nn的收敛性的收敛性
5、.所以级数收敛，且和为所以级数收敛，且和为 1。7讨讨论论级级数数 1)11ln(nn的的敛敛散散性性.解解例例2 2)11ln(nun )1ln(nnnSnln)1ln(2ln3ln1ln2ln n所以级数发散所以级数发散.,ln)1ln(nn 所以所以8解解，如如果果1 q12 nnaqaqaqaS，qqaan 1,1|时时当当 q0lim nnqqaSnn 1lim,1|时时当当 q nnqlim nnSlim收敛收敛发散发散例例3 3 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)1211nnnaqaqaqaaq)0(a的收敛性的收敛性.9，如如果果1|q,1时时当当 q,1时时当当 q
6、anSn 发散发散 aaaa级级数数变变为为,lim 不不存存在在nnS 发散发散综上所述，综上所述，qa 1 发散发散当当收敛收敛当当时时时时,1|,1|11qqaqnn 1211nnnaqaqaqaaq)0(a，为为偶偶数数为为奇奇数数 nnaSn ,0 ,10齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一一天他正在散步，忽然发现在他前面一千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！基里斯
7、，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！我也马上就可以超过你！”乌龟说：乌龟说：“就照你说的，咱们来试就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，
8、却永远也追不上我！越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：阿基里斯说：“哎呀，我明明知哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？呢？11AB 假定阿基里斯现在假定阿基里斯现在A处，乌龟现在处，乌龟现在B处处.为了赶上乌龟，阿为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达当他到达B点时，乌龟已前点时，乌龟已前进到进到B1点；当他到达点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到点时，乌龟又已前进到B2点，如此等点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前等。当阿基里斯到达乌龟前
9、次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BB1B1B212 如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破个悖论就会不攻自破。101001000这这是是一一个个公公比比为为1101 q的的几几何何级级数数,易易求求得得它它的的和和为为，91111191000010111000 设阿基里斯的速度为乌龟速度设阿基里斯的速度为乌龟速度的的10倍倍，则则他跑完他跑完1000米米时，时，乌龟又爬了乌龟又爬了100米米；等；等阿基里斯跑完这段路阿基里斯跑完这段路
10、，乌龟又乌龟又向前爬了向前爬了10米米，依次类推依次类推，阿基里斯需要阿基里斯需要追赶的全部路程为追赶的全部路程为 13也就是说也就是说,如果赛程比这个距离短如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛则乌龟胜；如果赛程恰好等于这个距离程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则则双方平分秋色；否则,阿基里斯阿基里斯就要在距离起点就要在距离起点911111处追上并超过乌龟处追上并超过乌龟.，91111191000010111000 思考题：思考题：还有没有其他方法解此题？还有没有其他方法解此题？,100010tt ,91000 t.91000010 ts这里已经假定可以追上。这里已经假定可以追上。14研
11、究课题研究课题1：无限循环小数转化为分数：无限循环小数转化为分数1999.0 999.0 009.009.09.0 n109109109109321011109109lim1 nn.1 15把循环小数把循环小数232323.0表示成分数表示成分数 解解例例4 4232323.0 32100231002310023(公公比比为为1001的的等等比比级级数数,收收敛敛)1001110023 .9923 小课题小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。324.09904423 .990419 16循环小数转化为分数的方法：循环小数转化为分数的方法：第一型：
12、第一型：naaa21.0 nnnnaaaaaa221211010nnnaaa10111021 11021 nnaaa.99921个个nnaaa 个个nnnaaaaaa999.02121 17,9770.,9923320.9994577540.例如：例如：个个nnnaaaaaa999.02121 18第二型：第二型：nmaaabbb2121.0 nmnnmnmmaaaaaabbb2212121101010nnmnmmaaabbb101110102121 mnnmmaaabbb101110102121 个个个个mnnnmaaabbb000999)110(2121 .000999212121个个个个
13、mnmnmbbbaaabbb 19例如：例如：个个个个mnmnmnmbbbaaabbbaaabbb000999.02121212121 124.0,9904179904421 38756.0,9990056727999005656783 612045.0.999000451719990004545216 20第二节第二节 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质设级数设级数 1nnu、1nnv及及 1)(nnnvu的部分和分别为的部分和分别为nnnBA 及及,，如如果果级级数数 1nnu、1nnv都都收收敛敛,则则 1)(nnnvu.)(111 nnnnnnnvuvu也收敛也收敛，且有，且有性质性
14、质1证证且且,lim,limBBAAnnnn niiinvu1)(niiniivu11nn lim)(limnnnBA ,limlimBABAnnnn .)(111 nnnnnnnvuvu此此即即,nnBA 21说明：说明：(1)不不能能由由 1)(nnnvu收收敛敛推推出出 1nnu、1nnv收收敛敛；(2)若若 1nnu收敛收敛,而而 1nnv发散发散,则则 1)(nnnvu必发散必发散.证证假假设设 1)(nnnvu 收收敛敛,由由 nnnnuvuv )(,而已知而已知 1nnu收敛收敛,由由上上述述性性质质得得 1nnv收收敛敛,矛盾矛盾.所以所以 1)(nnnvu 发散发散.22设设
15、 k 是是非非零零常常数数,则则级级数数 1nnu与与级级数数 1nnuk具具有有相相同同的的敛敛散散性性，且且当当 1nnu收收敛敛时时，等等式式 11nnnnukuk成成立立 性质性质2证证设级数设级数 1nnu收敛收敛,且且Sunn 1,又设又设 1nnu与与 1nnuk的部分和分别为的部分和分别为nnS 及及，niinuk1 niiuk1,nSk nnnnSk limlim,limSkSknn 23 niinuk1 niiuk1,nSk nnnnSk limlim,limSkSknn 所以级数所以级数 1nnuk收敛，且收敛，且 11nnnnukuk 反之，若反之，若 1nnuk收敛（
16、收敛（0 k），），则则 111nnnnuukk也收敛也收敛 24性质性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性响它的敛散性.这是因为，这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项去掉、添加或改变级数中的有限项后所后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。一个常数，所以具有相同的敛散性。注意：注意：原原级数级数若若收敛收敛，则，则改变级数中的有限项改变级数中的有限项后，一后，一般要改变它的和般要改变它的和.25性质性质4 收敛收敛级数级数任意加括号后仍收敛，任意加
17、括号后仍收敛，且其和不变且其和不变.证证记记级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列为为 nkknuS1,加加括括号号后后的的级级数数的的部部分分和和数数列列记记为为 nA,)()()(987654321uuuuuuuuu,21SA ,52SA ,93SA 例如，例如，,26证证则则nA实实际际上上是是nS的的一一个个子子数数列列,故故由由nS的的收收敛敛性性可可知知nA的的收收敛敛性性,且且其其极极限限不不变变.记记级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列为为 nkknuS1,加加括括号号后后的的级级数数的的部部分分和和数数列列记记为为 nA,性质性质4 收敛收敛级数级数任意加括号后仍收
18、敛，任意加括号后仍收敛，且其和不变且其和不变.注注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(推论推论 发散级数去括号仍发散级数去括号仍发散。发散。例如例如27性质性质5(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若若级级数数 1nnu收收敛敛,则则必必有有0lim nnu.证证,1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSuSS .0 1limlim nnnnSS设设 1nnu的的部部分分和和数数列列为为nS，且且SSnn lim，此此定定理理说说明明，0lim nnu是是级级数数 1nnu收收敛敛的的必必要要条条件件.28说明说明：1 1、如
19、果级数的一般项不趋于零，则级数发散；、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；1)1(4332211nnn例例如如 级数级数发散；发散；,0nu所以所以,1|nu n2cos8cos4cos2cos ，再再如如,012coslim n 级数级数发散。发散。若若级级数数 1nnu收收敛敛,则则必必有有0lim nnu.?1)1(1 nnn292 2、必要条件不充分：、必要条件不充分：若若0lim nnu,级数却不一定收敛级数却不一定收敛.再举一个重要例子：再举一个重要例子：11312111nnn ,01lim nn,但但级级数数是是否否收收敛敛?如如 1)11ln(nn：,)(0)11ln(nn
20、但级数发散。但级数发散。调和级数调和级数 调和级数增加的速度非常缓慢，例如调和级数增加的速度非常缓慢，例如 ,301101010110 nnS,300110010010110 nnS那么调和级数到底的收敛还是发散？那么调和级数到底的收敛还是发散？调和级数调和级数 11312111nnn31证明：证明：调和级数发散。调和级数发散。nnSS 2nn2）（nnnSS 2limSS 0 于是于是矛盾，矛盾，调和级数调和级数 ,21 假设调和级数收敛，其和为假设调和级数收敛，其和为 S，所以级数发散。所以级数发散。nnn212111 11312111nnn,21 证证因为因为 进一步的研究可以发现，虽然
21、调和级数发散到正无进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔坚韧不拔”的的级数，另一方面它又提醒我们：人不可级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相貌相”，级，级数的敛散性不可凭数的敛散性不可凭“想象想象”，需要严格的证明。，需要严格的证明。调和级数调和级数 113121
22、11nnn331.0)4531(nnn 649.例例1 1 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：因为因为,310 nn 041nn都收敛，都收敛，故原级数收敛，故原级数收敛，解解且和为且和为 0)4531(nnn 0041531nnnn41153111 342.11005110321nn 3.n21614121 1121nn收敛；收敛；发散。发散。例例1 1 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：35第三节第三节 正项级数正项级数1 1、定义：、定义：，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数。2 2、正项级数收敛的充要条件：、
23、正项级数收敛的充要条件：定理定理(一一)正项级数的收敛问题正项级数的收敛问题正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列nS有有上上界界.这是因为这是因为0 nu,所以所以nS单调不减单调不减,因此它有极限当因此它有极限当且仅当它有上界且仅当它有上界.36(二二)比较判别法比较判别法且且),2,1(nvunn,证明证明,1 nkknuS设设,nnvu .1也收敛也收敛从而从而 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu则则 (1)若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；(2)若若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.定理
24、定理,1 nkknvT,nnTS (1),2,1(n因因为为 1nnv收收敛敛，所所以以nT有有上上界界 M，,MTSnn 所所以以nS也也有有上上界界 M，37(一一)比较判别法比较判别法证明证明则则 (1)若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；(2)若若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.(2)是是(1)的等价命题。的等价命题。从某项起从某项起,恒有恒有nnvku ,)0(k.注注：定理的条件可放宽为：定理的条件可放宽为：均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu且且),2,1(nvunn,定理定理38判断级数判断级数 121sinnn的收敛性的收敛性.因因
25、为为 nn2121sin0 ,而而 121nn收敛收敛,解解例例1 1所以原级数收敛所以原级数收敛.,|sin|xx Rx 39讨论讨论 p-级数级数 11npn 的收敛性的收敛性(0 p).).oyx)1(1 pxyp1234当当1 p时时,而而调调和和级级数数 11nn发发散散,当当1 p时时,用用积积分分判判别别法法：当当nxn 1时时,ppxn11,nnppnxn1d1 nnpxx1d 解解例例2 2，nnp11 故原级数发散；故原级数发散；于是有于是有 40故故当当1 p时时,11npn收敛收敛.nnppnxn1d1 nnpxx1d 所以所以 nkkkpnkpxxk212d11xxn
26、pd11 )11(111 pnp,11 p于是于是,11111 pkSnkpn即即nS有有上上界界，41总结总结:发散发散收敛收敛 10 1 11ppnnp 重要参考级数：重要参考级数：几何级数，几何级数，p-级数，调和级数。级数，调和级数。比较：比较：发散发散收敛收敛，10 1 d11ppxxp42因因为为nn111 ,而而 21nn发发散散,（但但 211nn如如何何？）因因为为22111nn ,而而 121nn收收敛敛,（但但 2211nn如如何何？）解解例例3 3 211nn例例4 4 1211nn解解所以原级数发散。所以原级数发散。所以原级数收敛。所以原级数收敛。43设设N，当当Nn
27、 时时，恒恒有有0 nu、0 nv，则则 (1)若若 0lim lvunnn，则则正正项项级级数数 1nnu与与 1nnv同同敛敛散散；(2)若若0lim nnnvu，则当，则当 1nnv收敛时，收敛时，1nnu也收敛；也收敛；(3)若若 nnnvulim，则当，则当 1nnv发散时，发散时，1nnu也发散也发散.比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：44证明证明,0lim )1(lvunnn由由,02 l 取取,N,时时当当Nn ，有有2|llvunn ,22 llvullnn )(232 Nnvluvlnnn 即即45)(232 Nnvluvlnnn 即即可知两级数有相同的敛散性。可
28、知两级数有相同的敛散性。)(23 Nnvlunn 由由)(2 Nnuvlnn 由由则则由由 1nnv收收敛敛，可可推推出出 1nnu也也收收敛敛；则由则由 1nnu收敛，可推出收敛，可推出 1nnv也收敛；也收敛；46由由极极限限定定义义,取取1 ,存存在在自自然然数数N,当当Nn 时时,恒恒有有1 nnvu,即即 nnvu ,当当 1nnv收敛时收敛时,1nnu也收敛。也收敛。证明证明,0lim )2(nnnvu若若由比较由比较判别判别法可知，法可知，(注意：注意：单向单向),lim )3(nnnvu若若,0lim nnnuv则则由由(2)即得结论即得结论。47而而 21nn发散发散,例例5
29、 5 111nn，1111lim nnn例例6 6 2211nn，1111lim22 nnn所以原级数发散。所以原级数发散。而而 121nn收收敛敛,所以原级数收敛。所以原级数收敛。解解解解48例例7 7 1211nnn，1111lim2 nnnn例例8 8 12)11ln(nn，11)11ln(lim22 nnn发散发散解解而而 21nn发散发散,所以原级数发散。所以原级数发散。解解而而 121nn收收敛敛,所以原级数收敛。所以原级数收敛。?)11ln(1 nn49常用等价无穷小：常用等价无穷小：,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx,tanxx)0(1)1(xx,1exx,21cos1
30、2xx,arcsinxx,arctanxx50判断级数判断级数 121sinnn的收敛性的收敛性.因因为为 121/21sinlim nnn,而而 121nn收敛收敛,解解例例1 1所以原级数收敛所以原级数收敛.51例例9 9解解设设常常数数0 p,试试判判别别级级数数 11lnnppnn的的敛敛散散性性。11)11ln(lim ppnnn原级数与原级数与 11npn同敛散，同敛散，0,)1ln(xxx所以原级数当所以原级数当1 p时收敛，当时收敛，当10 p时发散。时发散。52例例1010 1)cos1(nn 21)cos1(limnnn 221)(21limnnn ,22 收敛，收敛，解解
31、0,21cos12 xxx 121nn所以原级数收敛。所以原级数收敛。53而而 131nn收敛收敛,例例1111 131nnn，13131lim nnnnnnnn3131lim nnnn 33limnnn311lim nnn3lim xxx3lim 3ln31limxx .0.1 所以原级数收敛。所以原级数收敛。54讨讨论论 21nnan的的敛敛散散性性)0(a.(1 1)当当1 a时时,而而 21nna收收敛敛,(2)(2)当当10 a时时,例例1212解解，111lim nnnaan,111lim nannn所以原级数收敛。所以原级数收敛。所以原级数发散。所以原级数发散。55试试证证：均均
32、收收敛敛与与设设正正项项级级数数,11 nnnnvu证证 11均均收收敛敛，与与 nnnnvu,)1(212nununn ,)(21nnnnvuvu 。收收敛敛 1 nnnu例例1313，收敛收敛 1 12 nn由基本不等式由基本不等式，收敛收敛且已知且已知 1 nnu.1收敛收敛 nnnvu,)(1收收敛敛 nnnvu也也收收敛敛。收收敛敛，11 nnnnnnuvu56(三三)比值判别法比值判别法(达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法)设设 1nnu是是正正项项级级数数,若若 nnnuu1lim,则则 （1）当）当1 时，级数收敛；时，级数收敛；（2）当）当1 时，级数发散；时，级数发散；（
33、3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性.,11发发散散级级数数 nn,112收收敛敛级级数数 nn1 证略证略57nnnuu1lim 因为因为11lim nn0 例例14 14 判别级数下列级数的敛散性判别级数下列级数的敛散性 1!1 )1(nn 12 )2(nnnnnnuu1lim 因为因为nnn1lim21 所以级数收敛。所以级数收敛。解解解解,1 21,1 所以级数收敛。所以级数收敛。!1!)1(1limnnn nnnnn221lim1 58nnnnnnnnnnnnuu!3)1(!)1(3limlim 111 因为因为nnnnn)1(3lim e3 1!3 )3(
34、nnnnn解解nnn)11(3lim nnnnnnnnnnnnuu!2)1(!)1(2limlim 111 因为因为nnnnn)1(2lim e2 1!2 )4(nnnnn解解nnn)11(2lim ,1 所以级数发散所以级数发散.,1 所以级数收敛所以级数收敛.?!e1 nnnnn nnnnn!3lim0!2lim nnnnn59解解练习：练习：11!)1(nnnn12!)1()1(!)2(lim nnnnnnnnnnuu1lim e1 所以级数收敛。所以级数收敛。,1 1)11(12lim nnnnn)11()11(nnn 60实际上实际上,且和为且和为21 S.1)12)(12(1 )5
35、(nnn解解)32)(12()12)(12(limlim1 nnnnaannnn所以用比值法无法判断所以用比值法无法判断.用比较法，用比较法，411)12)(12(1lim2 nnnn,1 而级数而级数 121nn收敛，收敛，所以原级数收敛。所以原级数收敛。61假假设设0 ,讨讨论论 11npnn 的的收收敛敛性性.（1）若若1 ,则则级级数数收收敛敛；（2）若若1 ,则则级级数数发发散散；（3）若若1 ,原原级级数数为为 111npn,所所以以1 p时时收收敛敛,1 p时时发发散散.例例1515解解nppnnnnnnnuu 11)1(limlim11 1)1(1lim ppnnn，,1111
36、lim ppnnn62(四四)根值判别法根值判别法(柯西根值判别法柯西根值判别法)设设 1nnu是正项级数是正项级数,如如果果 nnnulim,则则 （1）当）当1 时，级数收敛；时，级数收敛；（2）当）当1 时，级数发散；时，级数发散；（3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性.证略证略63例例1616解解12limlim nnunnnn21 1)12(nnnn，1 所以级数收敛所以级数收敛.例例1717 112)13(nnnn解解nnnnnnnnu12)13(limlim 91，1 所以级数收敛所以级数收敛.64解解例例1818)0()1(1 annann所所以以当当
37、10 a时时级级数数收收敛敛,当当1 a时时级级数数发发散散；当当1 a时时，nnnnnnu)1(limlim 级数发散。级数发散。e)11(lim nnnnnnu lim1lim nnan,a,0e1 nnn)11(1lim 65第四节第四节 任意项级数，绝对收敛任意项级数，绝对收敛定义：定义：正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数。nnnu 11)1(定理定理(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法)0(nu其中其中（1）1 nnuu,即即nu单单调调减减少少；（2）0lim nnu,则则交交错错级级数数 11)1(nnnu收收敛敛,且其和且其和1uS ，级数的级数的 称称莱布
38、尼茨莱布尼茨型级数型级数 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件nnnu 11)1(余余项项nR的的绝绝对对值值1|nnuR 4321uuuu(一一)交错级数交错级数 即即2mS有有上上界界,故故2mS收收敛敛,记记 SSmm 2lim,显然有显然有1uS .而而 12212 mmmuSS,所所以以 SSnn lim,且其和且其和1uS .,)()()(21243212mmmuuuuuuS 证证所以所以2mS单调单调不不减减；另一方面，另一方面，mmmmuuuuuuuuS21222543212)()()(,1u 由条件由条件(2)可知，可知，,lim12SSmm 即原级数收敛，即原级数收敛
39、，而余项而余项nR仍是一个莱布尼茨型级数，所以有仍是一个莱布尼茨型级数，所以有1|nnuR 由条件由条件(1)可知，可知，,212kkuu 67 注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件充分条件，而非必要条件。nnnu 11)1()0(nu定理定理(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法)（1 1）1 nnuu,即即nu单调减少；单调减少；（2 2）0lim nnu,则则交交错错级级数数 11)1(nnnu收收敛敛,且其和且其和1uS ，级数的级数的 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件nnnu 11)1(余余项项nR的
40、的绝绝对对值值1|nnuR 4321uuuu68 n1单单调调减减少少,且且 01lim nn,111)1(npnn 例例1919解解这是交错级数，这是交错级数，由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p-级数级数.当当0 p时时，,01lim1 pnpnn单单调调减减少少且且所以级数收敛。所以级数收敛。111)1(nnn证明级数证明级数 收敛。收敛。69判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性。解解,1)(xxxf设设)2(x,1)(单单调调减减少少故故函函数数 xxxf1limlim nnunnn又又,0 由莱布尼茨定理知级数收
41、敛。由莱布尼茨定理知级数收敛。所所以以数数列列 1nn单单调调减减少少,练习练习2)1(2)1()(xxxxf则则,0 70(二二)任意项级数的任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数。定义定义 若若 1|nnu收敛收敛,则称则称 1nnu绝对收敛绝对收敛；若若 1nnu绝对收敛绝对收敛,则则 1nnu本身也收敛本身也收敛.定理：定理：绝对收敛必收敛。绝对收敛必收敛。71若若 1nnu绝对收敛绝对收敛,则则 1nnu本身也收敛本身也收敛.证明证明定理：定理：,|2|0nnnuuu 如如果果级级数数 1nnu绝绝
42、对对收收敛敛，即即 1|nnu收收敛敛，则则 1|2nnu也也收收敛敛，由由比比较较判判别别法法得得正正项项级级数数 1)|(nnnuu收收敛敛,|)|(nnnnuuuu 而而由级数性质知，级数由级数性质知，级数 1nnu收敛收敛 72例例如如,1211)1(nnn绝绝对对收收敛敛,而而 111)1(nnn条件收敛条件收敛.定定义义 若若 1|nnu发发散散,但但 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu条条件件收收敛敛.说明：说明：(1)定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；如如 111)1(nnn收收敛敛,但但 11nn发散发散.73(2)若若 1|nnu发发
43、散散,不不能能推推出出 1nnu发发散散.但但如如果果是是用用比比值值判判别别法法或或根根值值判判别别法法判判定定 1|nnu发发散散,则立刻可以断定则立刻可以断定 1nnu发散，发散，从从而而 nu也也不不趋趋向向于于零零.一一般般项项|nu不不趋趋向向于于零零,这是因为它们的依据是这是因为它们的依据是 说明：说明：但但 111)1(nnn收收敛敛。11nn发发散散,74因为因为221sinnnn ,而而 121nn收敛收敛,例例20 20 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散.12sin )1(nnn 解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.12)11
44、(31)1()2(nnnnn解解nnna|lim 3e，1 故级数绝对收敛故级数绝对收敛.nnn)11(31lim 75 12)11(21)1()3(nnnnn解解nnnnnna)11(21lim|lim 2e，1 故级数故级数发散发散.解解所以所以原级数绝对收敛原级数绝对收敛。所所以以 110nnn收收敛敛,nnnnn10101lim1 1310)5(cos )4(nnnn,1101 因因为为 nnnnn1010)5(cos3 ,?101 nnn76例例2121若若1 ,则原级数发散；则原级数发散；若若1 ,原原级级数数为为 1)1(npnn,因因此此当当1 p时时绝绝对对收收敛敛；当当10
45、 p时时条条件件收收敛敛.设设0,0 p,讨讨论论 1)(npnn 的的收收敛敛性性.若若1 ,则原级数绝对收敛；则原级数绝对收敛；解解nnnaa1lim ppnnnnn)1(lim1 ,77？条件收敛还是绝对收敛条件收敛还是绝对收敛敛？如果收敛，是敛？如果收敛，是是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例2222解解,11发发散散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;xxnnxnlnlimlnlim,01lim xxnnnn1ln1lim nnnln11lim ,1 78,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnnnnnln
46、1lim,)0(ln)(xxxxf令令,)1(011)(xxxf则则nnnnln11lim ,0,),1()(上单增上单增在在xf,1ln1时时单单减减当当故故数数列列 nnn由莱布尼茨定理，由莱布尼茨定理，此交错级数收敛，此交错级数收敛，故原级数条件收敛故原级数条件收敛79判断判断 1)12()1(nnnn的敛散性；若收的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。例例2323解解原原级级数数改改写写为为 112)1(nnnn，1121nnn与与 11nn同敛散，即发散，同敛散，即发散，而原级数为莱布尼兹级数，故收敛而原级数为莱布尼兹级数，故收敛，即，即条件收
47、敛。条件收敛。,211/121lim nnnn80讨讨论论级级数数)1(111 xxnn的的收收敛敛范范围围.若若1|x,则则 0111lim nnx,若若1|x,则则 1111limlim nnnnnnxxuu 最最后后,若若1 x,则则 21 nu,发发散散.所所以以级级数数的的收收敛敛范范围围为为1|x.例例2424解解|1x，1 所以级数发散；所以级数发散；故级数绝对收敛；故级数绝对收敛；81小结：小结：判定数项级数敛散性的思路：判定数项级数敛散性的思路：正项？正项？Y比较判别法比较判别法比值判别法比值判别法N绝对收敛？绝对收敛？YENDN若用比值若用比值法，发散法，发散若用比较法，若
48、用比较法，莱布尼茨定理莱布尼茨定理?0lim nnuN发散发散Y82第五节第五节 幂级数幂级数(一一)幂级数及其收敛半径和收敛域幂级数及其收敛半径和收敛域1 1、幂级数的定义、幂级数的定义其中其中na称为称为幂级数系数幂级数系数.nnnxxa)(00 nnxxaxxaa)()(0010 010nnnnnxaxaxaa级数级数称为关于称为关于0 xx 的的幂级数幂级数；特特别别，取取00 x，称为关于称为关于 x 的幂级数。的幂级数。832 2、幂级数的收敛半径和收敛域、幂级数的收敛半径和收敛域,120 xxxnn例如级数例如级数;,1|收收敛敛时时当当 x;,1|发发散散时时当当 x.)1,1
49、(收敛域为收敛域为显显然然，任任何何幂幂级级数数 0nnnxa在在0 x处处收收敛敛；下下面面证证明明，在在不不考考虑虑端端点点的的情情况况下下，0nnnxa的的收收敛敛域域关关于于原原点点对对称称。84(1)如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(11 xxx处处收收敛敛,(2)如果级数如果级数 0nnnxa在在)0(22 xxx处发散处发散,则它在满足不等式则它在满足不等式|2xx 的一切的一切 x 处发散处发散.证证,0lim 1 nnnxa,)1(01收敛收敛 nnnxaO定理定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)则则它它在在满满足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 处处绝绝对对收
50、收敛敛；1x85),2,1,0(|1 nMxann使使得得,0 M|nnxannnxxxa|11 nxxM|1|,|1xx ,|01收收敛敛等等比比级级数数 nnxxM,|0收收敛敛 nnnxa;)(0收收敛敛绝绝对对因因此此级级数数 nnnxa由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知,证证,0lim 1 nnnxa,)1(01收敛收敛 nnnxa|11nnnnxxxa 86,)2(2时时级级数数发发散散设设当当xx 假假如如有有一一点点0 x适适合合|20 xx 使使级级数数收收敛敛,则则级级数数当当2xx 时时应应收收敛敛,由由(1)结论结论,x R R几何说明：几何说明：收敛区域
