1、用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题实际问题实际问题数学问题数学问题数学模型（一元二次方程）数学模型（一元二次方程）检验检验类型思路（1）传播问题（2）单双循环问题（3）增长率问题；（4）面积（体积）问题；（5）商品销售问题（6）运动问题；（7）银行问题（8）数学问题（9）图标信息类问题（10）工程行程问题（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答步骤类型一：传播问题解：设每轮传染中平均一个人传染了解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人个人 可传染人数可传染人数 共传染人数共传染人数第第0轮轮 1（传染源）（传染源）1第第1轮轮 x x+1第第2轮轮 x(x+1)1+x+x(x+
2、1)列方程列方程 1+x+x(x+1)=121 解方程，得解方程，得 X1=10，X2=-12 X2=-12不符合题意，所以原方程的解是不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。个人。有一人患了流感，经过两轮传染后共有有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例1类型二：单双循环问题解：解：设有设有x队参加比赛队参加比赛 x（x-1）=90，（x-10）（）（x+9）=0，解得解得x=10，x=-9（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：共有
3、答：共有10支球队参加比赛支球队参加比赛 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？场，共有多少个队参加比赛？例2 参加一次足球联赛的每两队之间都参加一次足球联赛的每两队之间都只进行一只进行一次次比赛，共比赛比赛，共比赛90场，共有多少个队参加比赛？场，共有多少个队参加比赛？变式1 一个正八边形，它有多少条对角线？一个正八边形，它有多少条对角线？变式2类型三：增长率问题解：解：设每年经营总收入的年增长率为设每年经营总收入的年增长率为a.60040%(1+a)2=2160解方程，解方程，a1=0.2 a2
4、=-2.2，(不符合题意，舍去不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为每年经营总收入的年增长率为0.2 则则 2001年预计经营总收入为：年预计经营总收入为：60040%(1+0.2)=60040%1.2=1800答：答：2001年预计经营总收入为年预计经营总收入为1800万元万元.某电脑公司某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为件的收入为600万元，占全年经营总收入的万元，占全年经营总收入的40%，该公司，该公司预计预计2002年经营总收入要达到年经营总收入要达到2160万元，且计划从万元，且计划从2000年到年到2002年，每年经营总收
5、入的年增长率相同，问年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？年预计经营总收入为多少万元？例3类型三：增长率问题解：解：设每年经营总收入的年增长率为设每年经营总收入的年增长率为a.60040%(1+a)2=2160解方程，解方程，a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为每年经营总收入的年增长率为0.2 则则 2001年预计经营总收入为：年预计经营总收入为：60040%(1+0.2)=60040%1.2=1800答：答：2001年预计经营总收入为年预计经营总收入为1800万元万元.某电脑公司某电脑公司2000年的各
6、项经营收入中，经营电脑配年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为件的收入为600万元，占全年经营总收入的万元，占全年经营总收入的40%，该公司，该公司预计预计2002年经营总收入要达到年经营总收入要达到2160万元，且计划从万元，且计划从2000年到年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？年预计经营总收入为多少万元？变式52020)20(xxx),2030(30,10030040212应舍去不合题意解方程，得整理，得xxxx变式类型三：增长率问题点评点评检验是列方程解应用题不可缺少的步检验是列方程解应用题不可缺少的
7、步骤骤,既要检验是否为所列方程的根既要检验是否为所列方程的根,又又要检验数学问题的解是否符合题意要检验数学问题的解是否符合题意.如本题中所求的如本题中所求的x2是方程的解，但不是方程的解，但不合题意，同时也合题意，同时也不能认为增长率就是不能认为增长率就是正数正数.点评：基数点评：基数a a、降价后总量、降价后总量b b、降价、降价的百分数的百分数x x之间的关系之间的关系 b=a(1-x)类型四：面积问题 用用7m长的铝合金做成透光面积（矩形长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积）为的面积）为2 m2的的“日日”型窗框型窗框(ABBC)，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）求窗框的宽度
8、？（铝合金的宽度忽略不计）例4ADCBEF分析：本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度，再根据面积为2m2，列出方程.解：设窗框的宽度BC=xm，则高度AB=237x根据题意得：2237xx解得：1,3421xx检验：.21(233421mBCxmBCx时，高度当不合题意，舍去）；时，高度当答：窗框的宽度为窗框的宽度为1m.点评：（1）解题步骤；（2）不可忽略题中的限制条件.ACBD要求：只需要列出方程要求：只需要列出方程.变式变式1 1：用用7m长的铝合金改做长的铝合金改做做成透光面积为做成透光面积为2 m2的如左图的如左图所示形状的窗框，若窗框的宽所示形状的窗框，若窗框的宽（BC）的长
9、为）的长为xm,求求x的值的值.（铝合金的宽度忽略不计，（铝合金的宽度忽略不计，3）点拨：半圆的弧长点拨：半圆的弧长=x1.5xAB=(7-3.5x)2225.37832xxx40m30mACBD变式变式2 2：在长为在长为40m，宽为，宽为30m的矩形绿地内铺设三条的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道，使其中两宽度相等的甬道，使其中两条与条与AB平行，一条与平行，一条与BC边平边平行，使得绿化面积为行，使得绿化面积为750m2，求这条人行道的宽度？求这条人行道的宽度？点拨：设甬道的宽度为xm。方法1：40 x+230 x-2x2=4030-750方法2：（40-2x）（30-x)=750解得：
10、x1=5,x2=45(不合题意，舍去）答：这条人行道的宽度为这条人行道的宽度为5m.类型五：经济问题 某商场销售一批衬衫，每件成本为某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按元，如果按每件每件60元出售，可销售元出售，可销售800件；如果每件提价件；如果每件提价5元出售，元出售，其销售量就减少其销售量就减少100件件.如果商场销售这批衬衫要获利如果商场销售这批衬衫要获利润润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种 衬衬衫售价应定为多少元？衫售价应定为多少元？例5分析单件利润（元）数量（件）总利润（元）提价前提价后设这种衬衫售价应定为x元.单位化每件提
11、价1元，其销售量就减少20件10 x-50120008000800800-20(x-60)解：设这种衬衫的售价为x元.根据题意，得（x-50)800-20(x-60)=12000 (x-70)(x-80)=0 x1=70,x2=80经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所以x2=80不符合题意，应舍去.答：这种衬衫的定价应定为70元.点评：1.解决此类问题的关键是将相关条件单位化；2.要理解问题中隐含条件，对所求问题的解进行适当的取舍.变式变式：某商场将进价为某商场将进价为2000元的冰箱以元的冰箱以2400元售出，平元售出，平均每天能售出均每天能售出8台，为了配合
12、国家台，为了配合国家“家电下乡家电下乡”政策的实政策的实施，商场决定采取适当的降价措施施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱调查表明：这种冰箱的售价每降低的售价每降低50元，平均每天就能多售出元，平均每天就能多售出4台商场要想台商场要想在这种冰箱销售中每天盈利在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？到实惠，每台冰箱应降价多少元？变式练习3点拨每台利润（元）数量（台）总利润（元）降价前降价后设每台冰箱应降价x元.400400-x480032008x50484800)5048)(400(xxx1=200，x2=100(不合题
13、意，舍去）类型六：运动问题 如图，如图，A、B、C、D为矩形的为矩形的4个顶点，个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点，动点P、Q分别从点分别从点A、C同时出发，点同时出发，点P以以3cm/s的速度向点的速度向点B移动，一直移动，一直到达点到达点B为止；点为止；点Q以以2cm/s的速度向点的速度向点D移动移动.经经过多长时间过多长时间P、Q之间的距离是之间的距离是10cm？例6ABCPDQBCAPDQEEPE=16-3x-2xPE=3x+2x-16解：经过xs后，P、Q两点之间的距离是10cm.根据题意，得：(16-2x-3x)2+62=102解得x1=1.6,x2=4.8.经检验x1=1
14、.6,x2=4.8都是方程的根且符合题意.答：经过1.6s或4.8s后，P、Q两点之间距离为10cm.点评：（1）较为复杂的一元二次方程在几何图形上的应用，往往要借助一些几何知识，如面积公式、勾股定理、相似三角形等相关知识；（2）观察图形，根据等量关系，列出方程是这类问题的关键.类型七：银行问题解：解：设第一次存款时的年利率为解：解：设第一次存款时的年利率为x，100（1x）50（10.5x）63 整理，得整理，得50 x2125x130 解得解得x10.1，x213/5 x20不合题意，不合题意，x0.110答：第一次存款时的年利率为答：第一次存款时的年利率为10 王明同学将王明同学将100
15、元第一次按一年定期储蓄存入元第一次按一年定期储蓄存入“少少儿银行儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元元捐给捐给“希望工程希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率元，求第一次存款时的年利率 例7类型八：图表信息问题 某开发区为改善居民的住房条件某开发区为改善居民的住房条件,每年都新建一批住每年都新建一批住房房,人均住房面积逐年增加人均住房面积
16、逐年增加(人均住房面积人均住房面积，单位：平方米，单位：平方米/人人)该开发区该开发区1997年至年至1999年，每年年年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图，请根据底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：两图中所提供的信息解答下面的问题：例7该区人口总数该区住房总面积（1）该区）该区1998年和年和1999年两年中，哪一年比上一年年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米增加的住房面积多？多增加多少万平方米?_年比年比上一年增加的住房面积多，多增加上一年增加的住房面积多，多增加_万平方米万平方米（2）由于经济的发展，
17、预计到）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口年底，该区人口总数将比总数将比1999年年底增加年年底增加2万，为使到万，为使到2001年年底该年年底该区人均住房面积达到区人均住房面积达到11平方米平方米/人，试求人，试求2000年和年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？分之几？(1)1999，74(2)10 类型九：工程行程问题 A、B两地相距两地相距82km，甲骑车由，甲骑车由A向向B驶去，驶去，9分钟分钟后，乙骑自行车由后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快出发以每小时比甲快2km的速度向的速度向A驶去，两人在相距驶去，
18、两人在相距B点点40km处相遇。问甲、乙的速度各处相遇。问甲、乙的速度各是多少是多少?例9 某公司需在一个月（某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完天完成（成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数（数（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用元；如果请乙队施
19、工，公司每日需付费用1400元在规元在规定时间内：定时间内：A请甲队单独完成此项工程出请甲队单独完成此项工程出B请乙队单请乙队单独完成此项工程；独完成此项工程；C请甲、乙两队合作完成此项工请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？程以上三种方案哪一种花钱最少？变式类型十：数学问题解：解：设原来两位数个位上的数字为设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的，则十位上的数字为数字为(5x)10（5x）x10 x(5x)736整理，得整理，得x25x60，解得解得x12，x23当当x2时，时，5x523；当当x3时，时，5x532答：原来的两位数是答：原来的两位数是32或或23 一个两位数，十位上数字与个位上数字之和一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得原数得736，求原来两位数，求原来两位数 例10.,0)()(2)(,.12是等腰三角形则有两个相等的实数根的一元二次方程若关于的三条边的长是已知ABCbaxabbcxABCcbax.0)1(,.22的完全平方式是关于二次三项式为何值时xkxkkx
