1、1矩矩 阵阵 理论理论2 矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。随着科学技术的迅速发展随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的社
2、会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。3问题一问题一 线性方程组的求解线性方程组的求解 给定一个m个方程n个变量的线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为BAX 4其中
3、nmmnmmnnxxxXbbbBaaaaaaaaaA2121212222111211,解的形式：（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为BAX1当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线性方程组的解又如何表示呢？特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。nm 广义逆矩阵问题广义逆矩阵问题5问题二问题二 矩阵的算术运算矩阵的算术运算nmijnmijbBaA)(,)(nmijijnmijijbaBAbaBA)(,)(矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算pjpjijiijnmijnpkjpmikbababaccABbBaA12211,)()(,)(6如何定义矩阵的除
4、法运算如何定义矩阵的除法运算 在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1 即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为 X=A-1 B 问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。7问题三问题三 矩阵的分析运算矩阵的分析运算 在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。8问题四问题四 矩阵的简单形式矩阵的简单形式 矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵
5、运算过程。这就要求讨论 矩阵的标准形和矩阵分解问题。常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。9课程教学内容 一 线性空间及线性映射（变换）内积空间 相似矩阵 二 范数理论 三 矩阵分析 四 矩阵分解 五 特征值的估计及对称矩阵的极性 六 广义逆矩阵 七 若干特殊矩阵类介绍(自学)10课程教学要求 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论
6、，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。11常用记号一 用R 表示实数域，用C表示复数域。R n 表示n维实向量集合；C n 表示n维 复向量集合；表示 实矩阵集合；表示 复矩阵集合；nmRnmCnmnm)(,;)(,rArankCACrArankRARnmnmrnmnmr12常用记号二 n阶单位矩阵 n阶矩阵的行列式 矩阵 A的范数 向量b的范数 n阶矩阵A的 逆矩阵A-1;矩阵A的广义逆矩阵A+,A-.),det();1,1,1(nnnCAAAdiagI;Anmb13复数基本知识 称下列形式的数为复数 z=a +
7、b i 其中a,b 都是实数，i 2=-1;称a 是复数z的实部，b i 是复数z的虚部；Z的共扼复数为biaz14代数基本定理代数基本定理 任意n次多项式必有n个复根。即).()(210111nnnnnnxxxaaxaxaxannnaannaan01)1(;2121其中15线性代数的有关知识线性代数的有关知识 16(1)212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA叫做叫做 m 行行 n 列列,简称简称 mn.这这 mn 个个数叫做矩阵的数叫做矩阵的,aij 叫做矩阵叫做矩阵 A 的的元素是实数的矩阵叫做元素是实数的矩阵叫做,元素是复数元素是复数的矩阵叫做的矩阵叫做,(1)式也简记
8、为式也简记为 A=(aij)mn 或或 A=(aij),mn 矩阵矩阵 A 也记作也记作 Amn.17 对对(1)式式,当当 m=n 时时,A 称为称为.当当 m=1 时时,A 称为称为.当当 n=1 时时,A 称为称为.18 两个矩阵的行数相等、列数也相等时两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称就称它们是它们是.如果如果 A=(aij)与与 B=(bij)是同型是同型矩阵矩阵,并且它们的对应元素相等并且它们的对应元素相等,即即 aij=bij(i=1,m;j=1,n),那么就称那么就称 A 与与 B,记作记作A=B.19 元素都是零的矩阵称为零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作记作 O.主
9、对角线上的元素都是主对角线上的元素都是 1,其它元素都是其它元素都是 0 的的 n 阶方阵阶方阵,叫做叫做 n 阶单位方阵阶单位方阵,简记作简记作 E 或或 I.20 5)主对角线以下主对角线以下(上上)元素全为零的方阵称元素全为零的方阵称为为.6)除了主对角线以外除了主对角线以外,其它元素全为零的其它元素全为零的方阵称为方阵称为.21 设设 A=(aij)sn,B=(bij)tm 为两个矩阵为两个矩阵,当当 s=t,n=m 时时,它们为同型矩阵它们为同型矩阵,其加法运算定义为其加法运算定义为 A+B=(aij+bij)A+B 称为称为 A 与与 B 的的.22 当当 n=t 时可以作乘法时可
10、以作乘法:AB=(cij)sm,其中其中nkkjikijbac1(i=1,2,s;j=1,2,m),AB 称为称为.设设 k 为实数为实数,定义定义 kA=(kaij)则称则称 kA 为为.23矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算 111 112 2111 1122133221 122 2221 1222233331 132 2xb tb tya xa xa xxb tb tya xa xa xxb tb t111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322()()()()ya
11、 ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt1111211121311221222122232233132,xbbaaaytxABbbaaaytxbb YXT,YAX XBTYABT二个线性变换为二个线性变换为则它们的复合为则它们的复合为24 :A+B=B+A,:(A+B)+C=A+(B+C).:(AB)C=A(BC).25 A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA.:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;k(lA)=(kl)A;k(AB)=(kA)B=A(kB).26 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵,定义定义 A1=A,A2=AA
12、,Ak+1=Ak A,其中其中 k 为正整数为正整数.由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式,叫做叫做,记作记作|A|或或 detA.27 1)设设 A 为为 mn 阶矩阵阶矩阵,把它的行换成同序把它的行换成同序号的列得到的新矩阵号的列得到的新矩阵,叫做叫做 A 的的,记作记作 A 或或 AT 矩阵的转置也是一种运算矩阵的转置也是一种运算,若运算可行若运算可行,则有则有 (AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.28 当当 A=(aij)为复矩阵时为复矩阵时,用用ija表示表示 aij 的共轭的共轭复数复数,记记.aAijHT
13、)(HA称为称为 A 的的29;)(1)HHHBABA;)(2)HHAA共轭转置矩阵有以下运算规律共轭转置矩阵有以下运算规律(设设 A,B 为复矩阵为复矩阵,为复数为复数,且运算都是可行的且运算都是可行的):;)()3(HHHABABAAHH)()4(30()n nijAaC CHAAAHAA An nAR RTAAATAA A3)设设，如果，如果，则称，则称是是Hermite矩阵矩阵，如果，如果，则称，则称是是反反Hermite矩阵矩阵。，如果，如果，则称，则称是（实）是（实）对称矩阵对称矩阵，如果，如果，则称，则称是（实）是（实）反对称矩阵反对称矩阵。设设31设设 A 为为 n 阶方阵阶方
14、阵,若满足若满足 A2=A,则称则称 A 为为.若满足若满足 A2=E,则称则称 A 为为.若满足若满足 AAT=ATA=E,则称则称 A为为.32 5)行列式行列式|A|的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 Aij 所所构成的方阵构成的方阵,AAAAAAAAAAnnnnnn*212221212111叫做方阵叫做方阵 A 的的.伴随矩阵具有伴随矩阵具有:AA*=A*A=|A|E.33 不是不是.(1)只有当只有当 A,B 为同型矩阵时为同型矩阵时,才能才能进行加进行加(减减)运算运算.(2)只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵 A 的列数与的列数与第二个矩阵第二个矩阵 B 的行数相同时的行数相
15、同时,A 与与 B 才能相乘才能相乘,这这时时 AB 才存在才存在.34 AB 不一定等于不一定等于 BA.若要若要 AB=BA,首首先要使先要使 AB 和和 BA 都存在都存在,此时此时A、应为同阶方应为同阶方阵阵.其次矩阵的乘法不满足交换律其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况在一般情况下下,AB BA.但对同阶方阵但对同阶方阵 A、B,|AB|=|BA|是一定成立的是一定成立的.因为对于数的运算因为对于数的运算,交换律交换律是成立的是成立的,即即|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.35 ,C,B,A000010000001则则 AB=AC,但但 B C.不能不能.因为矩阵的乘法不
16、满足消去律因为矩阵的乘法不满足消去律.例如例如36 ,OBO,A10000010但但.AB0000又如又如O,A0010但但.AAA00002 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如例如37 A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件成立的充要条件是是AB=BA.事实上，由于事实上，由于 (A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故故 A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当当且仅当 BA-AB=0，即即 AB=BA.38 1)设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,如果存在矩阵如果存在矩阵 B,使使AB=BA=E,则称矩阵则称矩阵 A 是是的的(或或），且矩阵）
17、，且矩阵 B 称为称为 A 的的.若有逆矩阵若有逆矩阵,则则 A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,记作记作 A-1.(i)方阵方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是:|A|0.(ii)若矩阵若矩阵 A 可逆可逆,则则 A-1=A*/|A|.39 (iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/A-1(0);(AT)-1=(A-1)T.(iv)若同阶方阵若同阶方阵 A 与与 B 都可逆都可逆,那么那么 AB 也也可逆可逆,且且(AB)-1=B-1A-1.矩阵的分块矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论主要目的在于简化运算及便于论证证,其运算法则同普通矩阵类似其运算法则同普通矩阵类似
18、.40对于对于 m n 矩阵矩阵 A 可以进行如下分块：可以进行如下分块：mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.TT2T1m41对于对于 m n 矩阵矩阵 A 可以进行如下分块：可以进行如下分块：).,(21naaamnmmnnaaaaaaaaaA11222211121142对于矩阵对于矩阵 A=(aij)m s 与矩阵与矩阵 B=(bij)s n的的乘积矩阵乘积矩阵 AB=C=(cij)m n，若把，若把 A 按行分成按行分成 m 块，把块，把 B 按列分成按列分成 n 块，便有块，便有),(21TT2T1nmABnmmmnnT2T1TT22T21T2T12T11T1=(
19、cij)m n，.1Tskkjikjiijbac43以对角矩阵以对角矩阵 m 左乘矩阵左乘矩阵 Am n 时，把时，把 A 按行按行分块，有分块，有TT2T121mmnmmA,TT22T11mm以对角矩阵以对角矩阵 m 左乘左乘 A 的结果是的结果是 A 的每一行乘以的每一行乘以 中与该行对应的对角元中与该行对应的对角元.44以对角矩阵以对角矩阵 n 左乘矩阵左乘矩阵 Am n 时，把时，把 A 按列按列分块，有分块，有mnnaaaA2121),(,),(2211nn以对角矩阵以对角矩阵 n 右乘右乘 A 的结果是的结果是 A 的每一列乘以的每一列乘以 中与该列对应的对角元中与该列对应的对角元
20、.45（1）表示什么？表示什么？思考思考设设ie是标准单位坐标向量，则是标准单位坐标向量，则jAe（2）表示什么？表示什么？AeTi（3）表示什么？表示什么？jTiAee46对于线性方程组对于线性方程组)1(,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa记记mmnmmnnmnijbaaabaaabaaaBbbbbxxxxaA212222211112112121,)(47其中其中 A 称为系数矩阵，称为系数矩阵，x 称为未知向量，称为未知向量，b 称为常称为常数项向量，数项向量，B 称为增广矩阵称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，按分块矩阵的
21、记法，可记可记B=(A b),或或 B=(A,b)=(a1,a2,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（方程（2）以向量）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组为未知元，它的解称为方程组（1）的）的.48如果把系数矩阵如果把系数矩阵 A 按行分成按行分成 m 块，则线性方块，则线性方程组程组 Ax=b 可记作可记作,21TT2T1mmbbbx或或)3(,T2T21T1mmbxbxbx这就相当于把每个方程这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+ainxn=bi记作记作.),2,1(Tmibxii49如果把系数矩阵如果把系数矩阵 A 按列
22、分成按列分成 n 块，则与块，则与 A 相相乘的乘的 x 应对应地按行分成应对应地按行分成 n 块，从而记作块，从而记作,),(2121bxxxaaann即即 x1a1+x2a2+xnan=b.（4）（2）、（）、（3）、（）、（4）是线性方程组（）是线性方程组（1）的）的各种变形各种变形.今后，它们与（今后，它们与（1）将混同使用而不加）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程区分，并都称为线性方程组或线性方程.50)1(,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaAx=b.(2),21TT2T1mmbbbx或或)3(,T
23、2T21T1mmbxbxbxx1a1+x2a2+xnan=b.（4）51 7、初等变换、初等变换 结论结论:每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵也称为进而化为行最简阶梯形矩阵也称为Hermite标准形标准形。求逆；解方程组；解矩阵方程求逆；解方程组；解矩阵方程;判断向量组的秩和判断向量组的秩和矩阵的秩等等矩阵的秩等等.52例例 1 设设46333340122112126000A试用初等行变换将试用初等行变换将A化为行阶梯形，进而化为行最简化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。53 46333
24、34012260002112121rrA 23690122302600021121141332rrrr解解54 2369026000122302112132rr 13000260001223021121243rrBrr 000002600012230211213421继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：5531613121 1 20 3 2 210 0 0 10 0 0 0 0rB 0000010000230012131313723132rrrr 000001000010012131913237312r 00000100001000131913291931221rr561231231
25、23328172533752xxxxxxxxx解解328 1725331752B13rr17522533328 17212rr175201913102323 23313rr1752019 13101113123r例例2 用初等行变换解方程组用初等行变换解方程组571752019 131011117520111019 13123rr1 0250 1110 06 18127rr3219rr10250 1110013316r1 0 010 1 020 0 1323rr132rr123123xxx 58rEOAOO为矩阵A的相抵标准型相抵标准型。结论：结论：对于任何mn型型非零矩阵A，可经过有限次初等
26、变换化成相抵标准型，即存在m阶初等矩阵12,kP PP和n阶初等矩阵12,sQ QQ使得2 112rksEOPPPAQQQOO定义定义 称矩阵称矩阵59 12()Tn a,a,a .60 当当 =(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,则则 +(a1+b1,a2+b2,an+bn)T;(a1,a2,an)T,其中其中 R.61 :+=+;(+)+=+(+);+0=;+(-)=0;1 =;()=();(+)=+;(+)=+,其中其中 ,为为 n 维向量维向量,R.62 设有设有 n 维向量组维向量组 A:1,2,m,B:1,2,s,对于向量对于向量 ,如果有一组数如果有一组数 1,2,
27、m,使使 ,则称向量则称向量 是向量组是向量组 A 的的,或称或称 可由可由 A.63 如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 k1,k2,km,使使 ,则称向量组则称向量组 A,否则称否则称 A.如果向量组如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组B 中的向量线性表示中的向量线性表示,则称则称.如果如果 A 能由能由 B 线性表示线性表示,且且 B 也能也能由由 A 线性表示线性表示,则称则称 A 与与 B.向量组之间的等价关系具有向量组之间的等价关系具有.64 向量组向量组 1,2,m(m 2)线性线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量组相关的充要
28、条件是该向量组中至少有一个向量组可由其余可由其余 m-1 个向量线性表示个向量线性表示.设设 1,2,m 线性无关线性无关,而而 1,2,m,线性相关线性相关,则则 能由能由 1,2,m 线性表示线性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.65 若若 1,2,r 线性相关线性相关,则则 1,2,r,r+1,m 也线性相关也线性相关.r 维向量组的每个向量添上维向量组的每个向量添上 n-r 个个分量分量,成为成为 n 维向量组维向量组,若若 r 维向量组线性无关维向量组线性无关,则则 n 维向量组也线性无关维向量组也线性无关.反言之反言之,若若 n 维向量组维向量组线性相关线性相关,则则 r 维
29、向量组亦线性相关维向量组亦线性相关.66 m 个个 n 维向量组成的向量组维向量组成的向量组,当维当维数数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时一定线性相关时一定线性相关.67 设有向量组设有向量组 T,如果如果 (i)在在 T 中有中有 r 个向量个向量 1,2,r 线性无关线性无关;(ii)T 中任意中任意 r+1 个向量个向量(如果如果 T 中有中有 r+1 个个向量的话向量的话)都线性相关都线性相关,那么称那么称 1,2,r 是向是向量组量组 T 的一个的一个,简称简称;数数 r 称为向量组称为向量组 T 的的.并规定并规定:只含零向只含零向量的向量组的秩为量的向量组的秩为 0.68
30、向量组线性无关的充要条件是它所向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩含向量个数等于它的秩.设矩阵设矩阵 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D 是是 A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式,则则 D 所在的所在的 r 个行向量即是矩个行向量即是矩阵阵A的行向量组的一个最大无关组的行向量组的一个最大无关组;D 所在的所在的 r 个个列向量组即是矩阵列向量组即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关的列向量组的一个最大无关组组.R(A)=A 的行秩的行秩=A 的列秩的列秩.69 设向量组设向量组 A:1,2,r 是向量是向量组组 T 的一个最大无关组的一个最大无关组,则向量组则向量组 A 与
31、向量组与向量组 T 等价等价.设有两个向量组设有两个向量组:A:1,2,r,B:1,2,s,如果如果 A 组能由组能由 B 组线性表示组线性表示,且且 A 组线性无关组线性无关,则则A 组所含向量个数组所含向量个数 r 不大于不大于 B 组所含向量个数组所含向量个数 s,即即 r s.70 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r1,向量组向量组 B 的秩的秩为为 r2,若若 A 组能由组能由 B 组线性表示组线性表示,则则 r1 r2.等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.71定义定义 矩阵矩阵A A 的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为A A 的列秩的列秩 矩阵矩阵A A 的行向量组
32、的秩称为的行向量组的秩称为A A 的行秩的行秩例例2314113332411021A的列秩为的列秩为2 2，同理，同理，A A 的行秩也为的行秩也为2 210210112000000001010、矩阵的秩、矩阵的秩72211163124201A（1）子式判别法(定义)。（2）用初等变换法求矩阵的秩。依据依据:矩阵初等变换不改变矩阵的秩。作法作法A 行变换阶梯形矩阵B，则 秩(A)=B的阶梯数。例例2 2000021104201，21102110420121312rrrr=秩（A）=2思考思考:矩阵秩的求法矩阵秩的求法73关于矩阵的秩的一些重要结论：关于矩阵的秩的一些重要结论：性质性质1 1设A
33、是nm矩阵，).()()(ABRnBRARB是tn矩阵，性质性质2 2 如果 A B=0 则.)()(nBRAR性质性质3 3 如果 R(A)=n,且 A B=0 则 B=0。性质性质4 4性质性质5 5 设A,B均为 nm矩阵，则).()()(BRARBAR).(),(min()(BRARABR74重要结论重要结论设A是nm矩阵，R(A)=r，则AnmrE000为矩阵A的等价等价(相抵相抵)标准形矩阵标准形矩阵。设A，B是nm矩阵，(3)存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使1、与矩阵等价。称nmrE0002、则以下三个条件等价（1）A与B等价；)()()2(BRARPAQB 75 求向量
34、组求向量组 1=(1,0,2,-1),2=(3,0,6,-3),3=(-2,1,-4,4),4=(2,2,5,0),5=(-1,-1,7,-19)的一个最大无关组的一个最大无关组,并用它表示其余向量并用它表示其余向量.190431754621210012231A 构造矩阵构造矩阵 A=(1T,2T,3T,4T,5T),76190431754621210012231A0000091000190100570031所以一个最大无关组为所以一个最大无关组为 1,3,4,且且 2=3 1,5=-57 1-19 3+9 4.77 设设 V 为为 n 维向量的集合维向量的集合,如果集合如果集合 V 非空非空
35、 且集合且集合 V 对于加法入乘数两种运算封闭对于加法入乘数两种运算封闭,那么就称那么就称集合集合 V 为为.所谓所谓,是指对是指对 V,V 及及 k R,则则 +V,k V.78 由向量组由向量组 1,2,m 所生成的向量空所生成的向量空间为间为:12()span(,)|,mnnR AyyAx x C CC Cm nAC Cn,213)3)设设的列向量为的列向量为，则称，则称AA为为的的列空间列空间或或的的值域值域。79()|0nm nN AxAxC C0Ax构成了向量子空间，称为齐次方程组A的解空间解空间或矩阵的零空间零空间或核空间核空间。0 xAnm 解的全体4)齐次方程组 设有向量空间
36、设有向量空间 V1 及及 V2,若若 V1 V2,就称就称V1 是是 V2 的的子空间子空间.80 设设 V 为向量空间为向量空间,如果如果 r 个向量个向量 1,2,r V,且满足且满足 (1)1,2,r 线性无关线性无关;(2)V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1,2,r 线性线性表表示示,那么那么,向量组向量组 1,2,r 就称为向量空就称为向量空间间V的一个的一个,r 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数,并称并称 V 为为 r 维维.81下列命题等价：下列命题等价：（1 1）Ax Ax=0=0 有非零解；有非零解；（2 2）A A 的列向量组线性相关；的列向量组线性相关；（
37、3 3）r r(A A)n.n.定理定理2 2 下列命题等价：下列命题等价：（1 1）Ax Ax=0=0 只有零解；只有零解；（2 2）A A 的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；（3 3）r r(A A)=)=n.n.齐次方程组齐次方程组Ax Ax=0=0 解的存在性解的存在性定理定理1 11212、线性方程组的求解、线性方程组的求解82（1）当 时，Ax=b无解；利用系数矩阵与增广矩阵的秩，得到nm型非齐次方程组Ax=b解的情况如下：)(,ArbAr（2）当 时，Ax=b有唯一解；nArbAr)(,（3）当 时，Ax=b有无穷多解。nArbAr)(,83例例063354321xxxxx
38、求方程组通解和一个基础解系。025354321xxxxx03586254321xxxxx解解对方程组的系数矩阵作初等行变换163313586221531A13rr 122rr 17200172002153184同解方程组为:00000172002153123rr 212rr 0000017200013131 为自由未知量。432,xxx4321133xxxx43572xxx则方程的一般解为：1123313xkkk 32572kkx12kx 23kx 34kx Rkkk321,85方程组的通解通解为54321xxxxx000131k210102k 7100133kRkkk321,方程组的一个基础
39、解系基础解系为000131k210102k7100133k=1=2386 结论是否定的结论是否定的.因为按定义因为按定义,向量组向量组 1,2,r线性相关是指线性相关是指不全为零的数不全为零的数k1,k2,kr使得使得87例如，取例如，取 1=(1,0,0),2=(2,0,0),则则 2 1-2=0,则，则，1,2 线性相关线性相关.若取若取 k1=1,k2=2,那么那么 k1 1+k2 2=1+2 2=(5,0,0)(0,0,0),这说明并非对任意不全为零的这说明并非对任意不全为零的 k1,k2,都能使都能使 k1 1+k2 2=0.88 结论是肯定的结论是肯定的.因为若存在不全为零的数因为
40、若存在不全为零的数k1,k2,kr,有有则按线性相关的定义则按线性相关的定义,1,2,r 线性相关线性相关.89 ,xxx,nn0)(2121即即 Ax=0 按向量组线性相关的定义按向量组线性相关的定义,可知列向量组可知列向量组 1,2,n 线性相关的充要条件是齐次线性方线性相关的充要条件是齐次线性方程组程组 x1 1+x2 2+xn n=0有非零解有非零解,也就是齐次线性方程组也就是齐次线性方程组90有非零解有非零解,其中其中 A=(1,2,n),x=(x1,x2,xn)T 列向量列向量 b 能由列向量组能由列向量组 1,2,n 线性表线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组示的充分必要条件
41、是非齐次线性方程组 x1 1+x2 2+xn n=b,即即 Ax=b有解有解(但不一定是唯一解但不一定是唯一解).91 其方法是其方法是:把向量组中的每一个向量作把向量组中的每一个向量作为一列构成矩阵为一列构成矩阵,对该矩阵实施初等行变换对该矩阵实施初等行变换,使之使之成为行最简形矩阵成为行最简形矩阵.则在该行最简形矩阵中则在该行最简形矩阵中,每个每个阶梯上的第一个非零元阶梯上的第一个非零元(这个非零元为这个非零元为1)所在的列所在的列向量构成该向量组的一个最大无关组向量构成该向量组的一个最大无关组.而其它列而其它列上的位于阶梯线上方的元素即为用这个最大无关上的位于阶梯线上方的元素即为用这个最
42、大无关组表示该列向量时相应的系数组表示该列向量时相应的系数.例如例如92 求向量组求向量组 1=(1,0,2,-1),2=(3,0,6,-3),3=(-2,1,-4,4),4=(2,2,5,0),5=(-1,-1,7,-19)的一个最大无关组的一个最大无关组,并用它表示其余向量并用它表示其余向量.190431754621210012231A 构造矩阵构造矩阵 A=(1T,2T,3T,4T,5T),93190431754621210012231A0000091000190100570031所以一个最大无关组为所以一个最大无关组为 1,3,4,且且 2=3 1,5=-57 1-19 3+9 4.9
43、4 一般而言一般而言,一个向量空间中有无穷多个元一个向量空间中有无穷多个元素素,如何掌握和表达它们呢如何掌握和表达它们呢?亦即它们之间的关系亦即它们之间的关系如何如何?通过向量空间的线性运算引入了基、维数通过向量空间的线性运算引入了基、维数的概念的概念,使得对向量的表达和运算简单化了使得对向量的表达和运算简单化了.95 向量空间的一组基向量空间的一组基,可以说是它的一个最大可以说是它的一个最大无关组无关组,掌握了一个向量组的一个最大无关组掌握了一个向量组的一个最大无关组,就就等于掌握了整个向量组等于掌握了整个向量组.掌握了向量空间的一组掌握了向量空间的一组基基,就等于掌握了整个向量空间就等于掌握了整个向量空间.96 设方程组设方程组 Ax=0 是有是有 n 个未知数个未知数 m 个方个方程的方程组程的方程组,且且 R(A)=r,则该方程组的解空间是则该方程组的解空间是 n-r 维向量空间维向量空间,它的基础解系由它的基础解系由 n-r 个向量构个向量构成成.谢谢
