1、第一节第一节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法第九章第九章 二重积分二重积分(一一)利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分(二二)利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分-利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分3/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 预备知识预备知识:X型型,Y型区域型区域2.2.公式推导公式推导三、
2、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明（一）直角坐标系下计算（一）直角坐标系下计算【X型区域的特点型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.4/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D2.2.公式推导公式推导三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积
3、分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明5/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域(D(D1 1也是也是Y型域型域)则必须分割则必须分割.321 DDDD由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得3D2D1D2.2.公式推导公式推导三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y
4、,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明6/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法2.2.公式推导公式推导表示表示曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.Ddyxf),(a.回顾二重积分几何意义回顾二重积分几何意义D),(yxfz oyxz)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xyab0 xDD三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算b.回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积已知平行截面面积已知,立体体积求法立体体积求法:()baVA x dx DX是是 型型域域1.X1.X型型,Y,Y
5、型区域型区域3.3.几点说明几点说明2211()()()()(,)(,)(,).bxbxaxaxDf x y df x y dy dxdxf x y dy 2010()00()()(,)xxA xf xy dy ),()()()(21 xxdyyxfxA 化二重化二重为二次为二次7/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法公式公式(1)计计算算方方法法实实现现了了二二重重积积分分的的一一种种通通过过体体积积作作为为过过渡渡,.)(来求解来求解单积分单积分通过计算两次定积分通过计算两次定积分投投影影穿穿线线法法定定限限：二二重重积积分分的的计计算算关关键键是是 ).()(,:21xyx
6、bxaDX aboxyDx)(1xy )(2xy abdx)(1x)(2x dy Ddyxf),(),(yxf2.2.公式推导公式推导三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明2211()()()()(,)(,)(,).bxbxaxaxDf x y df x y dy dxdxf x y dy 公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xy8/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法).()(,21yxydyc xyoD yx
7、1 yx2 cd:).2(型型域域若若积积分分域域为为 Y Ddxdyyxf),(.的的二二次次积积分分后后对对即即化化二二重重积积分分为为先先对对yx)()(21),(yydxyxf dcdy公式公式22.2.公式推导公式推导三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明公式公式9/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法(1)【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据
8、积分域特征及被积函数，确定积分次序根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.根据上述结果，根据上述结果，化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分并计算。并计算。3.几点说明几点说明2.2.公式推导公式推导三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1.X1.X型型,Y,Y型区域型区域3.3.几点说明几点说明(2)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域，公式公式2必须是必须是若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,则为计算方便则为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序。Y型域型域.若积分域复
9、杂若积分域复杂,可分成若干可分成若干X型型Y型区域型区域10/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【类似例【类似例1】.2,1,所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxyDxydD 【解【解】看作看作X型域型域 xyxDX121:22112xyxdx 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1Dx三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域211xDxyddxxydy 211xxydy dx 11/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的
10、计算法【解【解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY22212yxydy 811)22(213 dyyy12oxyx=yx=2Dy12三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算221yDxyddyxydx 221yxydx dy 12/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【例【例2】所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算2,2 xyxyDxydD【分析】【分析】D本身本身是是Y型域型域先求交点先求交点(4,2)(1,-1)2 2或或由由 xyxy三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交
11、换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算法法1 221:2yxyyDY 2212yyDxydxdyxyd 855 13/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法法法2视为视为X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 则必须分割则必须分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 计算较繁计算较繁三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算【例【例2】所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算2,2 xyxyDxydD 14/2
12、99.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【补例【补例1 1】.1,1,:,122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算 yxxyDdyxyD【解【解】D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1112211xdxyxy dy 上上式式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算112222111(1)2xdxxy dxy 312212112(1)23xxydx 1311 212 3xdx 4111 13 4xx 111(1)(1
13、)344 先对先对x积分更繁积分更繁15/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法法法2 yxyDY111:ydxyxydy122111原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算16/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【解【解】Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).
14、21(61e 三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域把把D当作当作Y型域，先型域，先x x后后y y积分积分练习练习17/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【小结【小结】以上例子说明，在化二重积分为二次积分时，以上例子说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域既要考虑积分区域D的形状，的形状，又要考虑被积函数的特性又要考虑被积函数的特性(先对先对x x易积就后积易积就后积y,y,当当y y型区域型区
15、域)三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算18/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【练习【练习1 1】2,2的面积的面积所围区域所围区域应用二重积分求由曲线应用二重积分求由曲线Dxyxy 【解【解】据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）Ddxdy 交点交点 22xyxy)4,2()1,1(，221:2xyxxDX 212221)2(2dxxxdydxxx 29 三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计
16、算19/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【练习【练习2 2】计算计算 Ddxdyyysin其其中中 D 是由直线是由直线 y=x 及抛物线及抛物线 y2=x 所围成所围成oxy12xy xy 1【解【解】yydxyydyI2sin10 102)(sindyyyyy 1010sinsinydyyydy.1sin1)1sin1(cos1cos1 三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算先先y积不出，故先积不出，故先x后后y，即，即Y型域型域20/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【补例
17、补例2 2】.10,10:,|2 yxDdxyID为为其中其中计算积分计算积分【解【解】当被积函数中有绝对值时，要考当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。:212DDDxy和和分为两部分分为两部分将将 oxy112xy 1D2D I 1)(2Ddxy 2)(2Ddyx 101154 分析分析三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算1130 21/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【类似例【类似例5】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的
18、直交的直交【解【解】xyzRRo 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为 DyxxRVdd82222220dRxRxy xxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxX08dRx 222Ryx222RzxD圆柱面所围成的立体的体积圆柱面所围成的立体的体积V.三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算22/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法类似例类似例4交
19、换二次积分交换二次积分 的积分次序的积分次序.102),(xxdyyxfdx解：解：题设积分限题设积分限:,102xyxx 可改写为可改写为:,10yxyy 所以所以 yyxxdxyxfdydyyxfdx.),(),(10102三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算交换积分次序：交换积分次序：Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,目的为方便计算，或题目要求。目的为方便计算，或题目
20、要求。23/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法补例补例3交换二次积分交换二次积分 21201020),(),(2xxxdyyxfdxdyyxfdx的积分次序的积分次序.解：解：积分限积分限:xyxxxyx20,2120,102可改写为可改写为yxyy 211,102所以所以原式原式.),(102112dxyxfdyyy 三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算24/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法【练习练习3 3】交换下列积分顺序交换下列积分顺序 22802222020d),(dd
21、),(dxxyyxfxyyxfxI【解解】积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,020:2211 xyxDX822 yx2D22yxo21D212yx 2 2280222:xyxDX21DDD 将将 :D视为视为Y型区域型区域,则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf 20dy三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直角坐标系下计算25/299.29.2 二重积分的计算法二重积分的计算法三、利用对称性奇偶性三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算一、直
22、角坐标系下计算xyo设设D 位于位于x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 1(1)(,)(,),f xyf x y若若(2)(,)(,),f xyf x y 若若 Ddyxf),(0),(Ddyxf 1),(2Ddyxf 1、积分区域、积分区域D关于关于x轴对称轴对称,则则则则1DD2、积分区域、积分区域D关于关于y轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为为偶函数偶函数函数关于函数关于y为为奇函数，奇函数，设设D 位于位于y 轴右方的部分为轴右方的部分为D2 2(1)(,)(,),fx yf x y若若(2)(,)(,),fx yf x y 若若 Ddyxf),(0),(Ddyxf 22(,
23、)Df x y d 则则则则函数关于函数关于x为为偶函数偶函数函数关于函数关于x为为奇函数奇函数补例补例4计算计算 DdxdyyxxfyI,)(122其中积其中积分区域分区域 由曲线由曲线 与与 所围成所围成.D2xy 1 y解解令令),(),(22yxxyfyxg 因为因为 关于关于 轴轴Dy且且),(),(yxgyxg 故故 Ddxdyyxxyf0)(22 DxydydxydxdyI1112.54)1(21114 dxx对称对称,练习练习4求求,22dxdyyxID 其中其中.1|:|yxD解解 因为因为 关于关于 轴和轴和 轴对称轴对称,Dxy且且,),(22yxyxf 于于 为偶函数为
24、偶函数ydxdyyxID 1224 1010224xdyyxdx.451)1(341032 dxxx注注:则要繁琐很多则要繁琐很多.D若直接在若直接在 上求二重积分上求二重积分,x关于关于 或关或关Oxy1 1 11D1二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）【小结小结】.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型【思考题【思考题】【解答【解答】,)()(010 xdyyfdxxfxyo xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 221 AI
