1、第3篇代数系统2数学的本质就在于一切能证明的都要数学的本质就在于一切能证明的都要 证明。证明。G.Frege没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。界的和谐性。Carus Paul第3篇 代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象代数”。第3篇 代数系统内容集合的概念集合的概念1集合的表示方法集合的表示方法2环与域环与域3格与布尔代数格与布尔代数4代数系统与性质代数系统与性质1半群与群半群与群25（一个二元运算（一个二元运算 ）两个运
2、算有逆元两个运算有逆元两个运算有单位元两个运算有单位元代数系统代数系统结合律结合律 半群半群 单位元、逆元单位元、逆元 群群 循环群循环群 可换群可换群 变换群变换群 子群子群 循环半群循环半群 单元半群单元半群 可换半群可换半群 整环整环 域域 商环商环 理想理想 有补格有补格 有界格有界格 布尔代数布尔代数 正规子群、商群正规子群、商群特殊环特殊环特殊子环特殊子环两个运算的单位元、逆元两个运算的单位元、逆元 （两个二元运算：（两个二元运算：,)两个运算的结合律、交换律、吸收律两个运算的结合律、交换律、吸收律 格格 两个运算的分配律两个运算的分配律 分配格分配格 单位元，无零因子单位元，无零
3、因子（两个二元运算：（两个二元运算：,)可换群可换群,半群半群,对对 分配群分配群 环环 交换律交换律 可换环可换环 单位元单位元,逆元逆元交换律交换律单位元单位元生成元生成元交换律交换律生成元生成元子集上的群子集上的群特殊群特殊群特殊群特殊群第5章 代数系统集合的概念集合的概念1同态与同构同态与同构3代数系统与子代数代数系统与子代数1运算性质与特殊元运算性质与特殊元2第5章 代数系统7特殊群特殊群6半群与含幺半群半群与含幺半群4群及其性质群及其性质5陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理7环与域环与域8 本章学习要求重点掌握重点掌握一般掌握一般掌握了解了解 11 代数系统与子代数代数系统与子代
4、数2 二元运算律二元运算律3 特殊元特殊元4 同态与同构同态与同构5 半群、群、子群及性质半群、群、子群及性质6 元素的周期及计算元素的周期及计算7 生成元与循环群生成元与循环群8陪集与拉氏定理陪集与拉氏定理 3同态与同构的应用同态与同构的应用商群及性质商群及性质21同类型代数系统同类型代数系统2正规子群性质与同正规子群性质与同态核态核代数运算定义定义5.1.1 设设A是一个非空集合，是一个非空集合，f是从是从An(n N+)到到A的一个的一个函数，则称函数，则称f为为A上的一个上的一个n元代数运算元代数运算，简称为，简称为n元运算元运算。即对任意的即对任意的 An，都存在唯一的，都存在唯一的
5、x A，使得，使得f()=x。若若f是是A上的一个代数运算，也称上的一个代数运算，也称A在运算在运算f下是下是封闭封闭的。的。称自然数集合称自然数集合N上的加法上的加法“+”为运算，这是因为给定两个自为运算，这是因为给定两个自然数然数a,b,由加法由加法“+”，可以得到唯一的自然数，可以得到唯一的自然数c=a+b。加法加法“+”是映射吗？是映射吗？N上的加法运算上的加法运算“+”本质上是一个本质上是一个NNN的映射的映射 代数运算o例例5.1.1 设N+、Z、Q、R分别表示正整数集，整数集，有理数集和实数集，o(1)求一个数的相反数是Z、Q、R上的一元运算。o(2)普通加法和乘法都是N+上的二
6、元运算，而减法和除法不是。因为1,2N+，但1+2,12 N+。o(3)普通加法、减法和乘法都是R上的二元运算，而除法不是。因为0R，但0不能做除数。o(4)求平方根是R+上的一元运算，但不是R上的一元运算。因为-4R，但-4没有平方根。此外，9R，但9有两个平方根3。o(5)集合的并、交、相对补和对称差运算是A的幂集P(A)上的二元运算，而绝对补运算是P(A)上的一元运算。o(6)设Mn(R)表示n阶实矩阵集合(n2)，则矩阵的加法和乘法是Mn(R)上的二元运算。o(7)设对任意R3，有f()=x，则f为R上的三元运算。10代数运算o 通常用，*，+，等符号来表示n元运算，称为算符。o 如例
7、5.1.1(1)中N+上的取相反数运算可表示x=-x，(2)中N+上的加法运算可记为(x,y)=x+y或者xy=x+y，(7)中R3上的运算f可记为(x,y,z)=x。o 一个二元运算就是一个特殊的映射，采取中缀方法表示为 a bc 运算表有限集上的一元或二元运算有时也用运算表来表示。设有限集上的一元或二元运算有时也用运算表来表示。设A=a1,a2,an，为为A上的一元运算，上的一元运算，为为 上的二元运算，则上的二元运算，则 和和 的运算表如下表所示。的运算表如下表所示。ai（ai）a1a2an(a1)(a2)(an)a1 a2 ana1a2ana1a1 a1a2 a1ana2a1 a2a2
8、 a2an ana1 ana2 anan2022-8-5定义5.1.2 设A是非空集合，f1,f2,fm分别是定义在A上k1,k2,km元封闭运算，ki是正整数，i=1,2,m。称集合A和f1,f2,fm所组成的系统称为代数系统，简称代数，记为。当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统，否则称为无限代数系统注意：注意：判断集合判断集合A和其上的代数运算是否是代数和其上的代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合系统，关键是判断两点：一是集合A非空，二是非空，二是这些运算关于这些运算关于A是否满足封闭性。是否满足封闭性。例子(1)R上的“+”、“”运算；解 构成一个代数系统R，+，；(
9、2)p（S）上的“”、“”、“”运算；解 构成代数系统,称集合代数；(3)含有n个命题变元的命题集合A与A上的“”、“”、“”运算；解 构成代数系统A，称之为命题代数。同类型代数系统定义5.1.3 设和是两个代数系统，若“oi”和“i”都是ki元运算，i=1,2,m，则称这两个代数同类型。如：代数系统Z，+,Z，,R，+,p（S），,p（S），都是同类型的代数系统。代数系统I，+，、R，+，、p（S），都是同类型的代数系统。子代数定义5.1.4 设是代数系统，如果：（1）BA并且B ；（2）1,2,m都是B上的封闭运算。则也是一个代数系统，称之为的子代数系统，简称子代数。又若B A，则称是的真
10、子代数。子代数子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的某些重要性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。注意：注意：在后面章节中，将会学习半群、群、格、布尔代数等典型的代在后面章节中，将会学习半群、群、格、布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到子半数系统。将子代数的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后面不再赘述某群、子群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后面不再赘述某些典型代数系统中子代数的定义。些典型代数系统中子代数的定义。例 在代数系统中，令Q
11、=5z|z Z，证明是的子代数。分析 根据定义，只需证明两点：（1）Q是非空子集；（2）“+”对集合Q封闭。显然，集合Q非空。对任意的5z1，5z2Q，有5z1+5z2=5(z1+z2)Q，因此“+”对集合Q封闭。证明 略。5.2 二元运算律例 设“+”是定义在自然数集合N上的普通加法运算，试回忆N上的加法运算“+”满足哪些运算性质？分析 对 a,b,cN，有(a+b)+c=a+(b+c)，即结合律成立；a+b=b+a，即交换律成立；x,yN，如果a+x=a+y，则x=y，即消去律成立；0N，0+0=0，即0是幂等元，但其他自然数不是幂等元，即不满足幂等律。结合律、交换律、幂等律定义5.2.1
12、 设是集合A上的二元运算，(1)如果对任意的x,yA，都有x y=y x，则称运算在A上是可交换的可交换的，或称运算在A上满足交换律交换律。(2)如果对任意的x,y,zA，都有(x y)z=x (y z)，则称运算在A上是可结合的可结合的，或称运算在A上满足结合律结合律。(3)如果对任意的xA，都有x x=x，则称运算在A上是等幂的等幂的，或称运算在A上满足幂等律幂等律。定义定义5.2.2 设 是集合A上的二元运算，若存在x A，使得 x x=x，则称 x为A 中关于运算 的等幂元等幂元。幂等律设“”是集合A上的二元运算，aA，则aaA，aaaA，,由此，可以归纳定义a的正整数幂方：a1=a，
13、a2=aa，a3=a2a，an=an1a，对任意的正整数n，m，有以下等式：an am=an+m，（an）m=anm。实例例例5.2.1 (1)实数集R上的普通加法和乘法都满足交换律和结合律，但不满足幂等律；而这三个运算律对减法都不成立。(2)P(A)上的集合的并、交和对称差满足交换律、结合律和幂等律。(3)Mn(R)上的矩阵加法满足交换律和结合律，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。例例5.2.2 设是R上的二元运算，对任意的x,yR，有x y=x+y-xy，问运算是否满足交换律和结合律？22分配律与吸收律定义定义5.2.3 设和*是集合A上的两个二元运算，(1)若对任意的x,y,zA，都有
14、x（yz）=（x y）（x z），(左分配律)（yz）x=（y x）（z x），(右分配律)则称运算对*在A上是可分配的可分配的，也称运算对*在A上满足分配律分配律。(2)若和*都满足交换律，且对任意的x,yA，都有x*(x y)=x和x(x*y)=x成立，则称运算和*是可可吸收的吸收的，或称运算和*满足吸收律吸收律。23实例例例5.2.3(1)实数集R上的乘法对加法、乘法对减法都满足分配律；(2)幂集P(A)上的集合的并对交、交对并都满足分配律，且并和交满足吸收律；(3)n阶 实矩阵集合Mn(R)上的矩阵乘法对矩阵加法可分配。例例5.2.4 设和*是 Z上的两个二元运算，对任意的x，yZ，有
15、xy=max(x,y)，x*y=min(x,y)，问运算 和*是否满足吸收律？24消去律定义 设是二元代数系统，元素aA，（1）对任意x,yA，都有 如果a x=a y，那么x=y，则称a在A中关于“”是左可消去元；（2）对任意x,yA，都有 如果x a=y a，那么x=y，则称a在A中关于“”是右可消去元；2022-8-5消去律（续）（3）如果a既是A左可消去元又是右可消去元，则称a是A的可消去元；（4）若A中所有元素都是可消去元，则称“”在A上可消去，或称“”满足消去律。集合上关于二元运算的特殊元在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫特殊元。例如在代数系统，其中N是自然数，“”是普通加法，0
16、 N，并且对任意的自然数x N，有 x0 x0 x 幺元（单位元）定义 设是二元代数系统，（1）若存在eA，对任意aA，都有 a e=e a=a，则称e是A中关于运算“”的一个幺元（单位元）（2）若存在elA，使得对任意aA，都有 el a=a，则称el是A中关于运算“”的一个左幺元（左单位元）（3）若存在erA，使得对任意aA，都有 a er=a，称er是A中关于运算“”的一个右幺元（右单位元）实例下列代数系统是否存在幺元(左幺元或右幺元)，如果存在计算之。（1），R是实数集，“+”是加法运算；（2），R+是正实数集，“+”是加法运算；（3），其中P(AA)表示集合A上的所有二元关系集合，运
17、算“”表示关系的复合；（4），其中A=a,b,c，二元运算“”,“”,“”如表12.3.2、表12.3.3和表12.3.4分别所示。实例（续）分析分析 可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺元存在，然后计算之，最后验证所计算的元是否是元存在，然后计算之，最后验证所计算的元是否是幺元。幺元。实例（续）（1）设x是的幺元，则由定义，对任意的aR，有 x+a=a，让a=1，有x+1=1，则x=0，xR。这说明，如果的幺元存在，那么幺元必是0。对任意的aR，0+a=a+0=a，即验证可得，0是的幺元。实例（续）（2）设x是的幺元，对任意的aR+，有 x+a=a，让
18、a=1，有x+1=1，则x=0，但0 R+。这说明不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在。实例（续）（3）设X是的幺元，对任意的YP(AA)，有XY=Y，让Y=IA，则XIA=IA，又XIA=X，因此X=IA。这说明，如果的幺元存在，则幺元必是IA。对任意的YP(AA)，IAY=Y IA=Y，即验证可得IA是的幺元。实例（续）（4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直接观察可得。解（1）中的幺元是0；（2）中无幺元；（3）中的幺元是恒等关系IA；（4）中关于运算“”有左幺元a和b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“”无左幺元，但有右幺元b和c，因此无幺元；关于运算“”有幺元a。结论（1）计算幺
19、元可根据定义直接进行，即首先假设幺元存在，并根据定义计算，然后进行验证。（2）可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元或右幺元。具体方法是：如果元素x所在的行上的元素与行表头完全相同，则x是一个左幺元；如果元素x所在的列上的元素与列表头完全相同，则x是一个右幺元；同时满足和。零元定义设是一个二元代数系统，（1）若存在A，使得对任意aA，都有a =a=，则称是A中关于运算“”的一个零元；（2）若存在lA，使得对任意aA，都有l a=l，则称l是A中关于运算“”的一个左零元；（3）若存在rA，使得对任意aA，都有a r=r，则称r是A中关于运算“”的一个右零元。逆元定义 设是二元代数系统，e是幺元，
20、aA，若存在一个元素bA，（1）使得：a b=b a=e，则称a可逆，并称b是a的一个逆元，记为a1；（2）使得：ba=e，则称a左可逆，并称b是a的一个左逆元，记为al1；（3）使得：a b=e，则称a右可逆，并称b是a的一个右逆元，记为ar1。定理设是一个代数系统，“”满足结合律，aA，a可逆，则a是可消去元。证明 记幺元为e，a的逆元为a1，设x、y是A中的任意元素，假设a x=a y。由a x=a y，有a1 (a x)=a1 (a y)，又结合律成立，所以有(a1 a)x=(a1 a)y，即e x=e y，可得x=y定理设是二元代数系统，（1）如果存在幺元，则幺元唯一；（2）如果存在
21、幺元，则该幺元一定是左、右幺元；（3）如果存在左、右幺元，则该左、右幺元相等，且是幺元。定理（续）证明（1）（反证法）设S,*存在两个以上的幺元，不妨假设e1，e2是S,*的两个幺元，则对xS，x*e1=e1*x=x，此时，取x=e2，有e2*e1=e1*e2=e2 则对xS，有x*e2=e2*x=x，此时，取x=e1，有e1*e2=e2*e1=e1 由、可知e1=e2，即S,*的幺元是唯一的。定理（续）（2）显然成立（3）若el、er是S,*的左、右幺元，则对xS,有el*x=x，此时，取x=er，有el*er=er则对xS,有x*er=x，此时，取x=el，有el*er=el由、可知el=
22、er，即左、右幺元相等；显然可得 e=el。2022-8-5定理设是二元代数系统，（1）如果存在零元，则零元唯一；（2）如果存在零元，则该零元一定是左、右零元；（3）如果存在左、右零元，则该左、右零元相等，且是零元。分析 该定理的证明方法与定理证明相似。证明 略。定理设是二元代数系统，“”满足结合律且设e是幺元，则对任意的aA，（1）如果a存在逆元，则逆元唯一；（2）如果a存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；（3）如果a存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，且是逆元。分析 该定理的证明方法与定理证明相似 2022-8-5定理（续）证明（1）（反证法）设aA存在逆元，且不唯一，不妨设a1，a2都是
23、a的逆元，则有a a1=a1 a=e，a a2=a2 a=e，由于“”满足结合律，所以有a1=a1 e=a1 (a a2)=(a1 a)a2=e a2=a2，即a1=a2即a的逆元唯一；定理（续）（2）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；（3）设aA的左、右逆元分别是al1和ar1，则有al1 a=e，aar1=e，“”满足结合律，所以有 ar1 =e ar1 =(al1 a)ar1 =al1 (a ar1)=al1 e=al1，所以a1=ar1=al12022-8-5推论设是二元代数系统，“”满足结合律，a,bA，（1）如果a,b分别有逆元a1,b1，则(ab)1=b1a1；（2）如果a是
24、左（获右）可逆的元素，则a是左（右）可消去的元素；（3）如果a是可逆的元素，则a是可消去的元素。2022-8-5推论（续）分析 (1)根据逆元的定义，只需证明(a b)(b1 a1)=(b1 a1)(a b)=e；同理，(2)和(3)可以直接根据消去元的定义证明。2022-8-5推论（续）证明 (1)由于“”满足结合律，所以有(a b)(b1 a1)=a (b b1)a1 =a e a1=a a1=e，(b1 a1)(a b)=b1(a1 a)b =b1 e b=b1 b=e，即 (ab)1=b1a1。2022-8-5推论（续）（2）若a是左可逆的元素，设左逆元为al1，则对任意的x,yA,如
25、有ax=ay，则al1 (a x)=al1 (a y)，即 (al1 a)x=(al1 a)y，e x=e y，所以x=y则a是左可消去元。同样可证，如果a是右可逆的，则a是右可消去元。（3）由(2)和定理直接可证。2022-8-5实例设G=fa,b(x)=ax+b|a0,a,bR，其中R是实数，“”是G上关于函数的复合运算。（1）验证是代数系统；（2）如有幺元计算之；（3）如有零元计算之；（4）如有幂等元，计算出这些幂等元；（5）说明G中的那些元有逆元，并计算这些元的逆元。2022-8-5实例（续）：封闭性分析 （1）要说明是代数系统，只需要说明“”对G封闭，即说明对任意fa,b，fc,dG
26、，fa,bfc,dG，又 (fa,bfc,d)(x)=fc,d(fa,b(x)=fc,d(ax+b)=c(ax+b)+d =cax+bc+d=fca,bc+d(x)，即 fa,bfc,d=fca,bc+d，显然ca 0，故fca,bc+dG，所以“”对G是封闭的，即G,是代数系统。2022-8-5实例（续）：幺元（2）不妨假设幺元是fc,dG，则对fa,bG，有fa,bfc,d=fa,b，又fa,bfc,d=fca,bc+d，则fa,b=fca,bc+d，因此，xR，有fa,b(x)=ax+b=fca,bc+d(x)=cax+bc+d，特别取x=0,x=1，可得bc+d=b,ca=a。由于fa
27、,b是G中的任意元，取a=1，b=2,可得 c=1,d=0。2022-8-5实例（续）：幺元上面的分析说明，如果有幺元，则此幺元必是f1,0，所以需进一步验证f1,0就是幺元。即对任意的fa,bG，验证等式fa,bf1,0=f1,0fa,b=fa,b显然此等式成立，所以f1,0是幺元。2022-8-5实例（续）：零元（3）按同样的思路，不妨假设零元是fc,dG，由零元的定义，fa,bG，有fa,bfc,d=fc,d，fa,bfc,d(x)=cax+bc+d=fc,d(x)=cx+d，取x=0，有 bc=0,又fa,b是任意的，取b=1，可得c=0，又fc,dG，则c 0,矛盾，故fc,d是零元
28、不成立，故代数系统没有零元。2022-8-5实例（续）：幂等元（4）不妨假设幂等元是fc,dG，有fc,d fc,d=fc,d，fc,d fc,d(x)=c2x+cd+d=fc,d(x)=cx+d，取x=0，有cd=0，又c 0，则d=0，取x=1，有c2+cd+d=c+d，又d=0,c 0，则c=1。因此，fc,d=f1,0，又f1,0 f1,0=f1,0，所以f1,0是唯一幂等元。例（续）：逆元（5）对fa,bG，不妨假设它的逆元为fc,d，当然fc,dG，有fa,bfc,d=f1,0，fa,bfc,d(x)=cax+bc+d=f1,0(x)=x，特别取x=0,x=1，可得bc+d=0,c
29、a=1，因为a0，显然c=1/a,d=b/a，故fc,d=f1/a,b/a，2022-8-5例（续）：逆元同理，上面分析说明，如果fa,b有逆元，则此逆元是f1/a,b/a,因此还需验证f1/a,b/a是fa,b逆元，即验证等式fa,bf1/a,b/a=f1/a,b/afa,b=f1,0，显然此等式成立，所以f1/a,b/a是fa,b的逆元。由fa,b的任意性，可得G中的任何一个元都有逆元。2022-8-5结论（1）是代数系统；（2）幺元是f1,0；（3）中没有零元；（4）中唯一幂等元是f1,0；（5）中任意元fa,b的逆元是f1/a,b/a。计算幺元、零元、幂等元、逆元等特殊元时，计算幺元、
30、零元、幂等元、逆元等特殊元时，首先首先可以假设这些元存在，可以假设这些元存在，然后然后根据定义直接得到方程，解这个方程就可以计算出这些元，如果方根据定义直接得到方程，解这个方程就可以计算出这些元，如果方程无解，则特殊元不存在，如果方程存在解，则根据特殊元的定义还需程无解，则特殊元不存在，如果方程存在解，则根据特殊元的定义还需要要进一步进一步验证所求解是否是对应的特殊元。验证所求解是否是对应的特殊元。2022-8-55.3 半群与独异点（含幺半群）定义5.3.1 在二元代数中，若二元运算“”满足结合律，则称为半群；特别地，若半群中的二元运算“”满足交换律，则称为可交换半群。定义5.3.2 设为半
31、群，若S中存在关于运算“”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为；若独异点中运算“”满足交换律，则称为可交换独异点（可交换含幺半群）。2022-8-5例5.3.1 设A是非空集合，AA表示所有A到A的函数集合，运算“”表示映射的复合运算，证明是半群。分析 只需证明运算“”满足封闭性和结合律。证明 对f,gAA，显然有fgAA，故封闭性成立。又函数复合运算“”满足结合律，所以是半群。2022-8-5例5.3.2 设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代数系统 与都是可交换的含幺半群。分析 运算“”和“”显然满足交换律，因此只需说明 与是半群，并计算它们的幺元即可。2022-
32、8-5例5.3.2证明 显然运算“”和“”均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。易证和S分别是 和的幺元。因此，与是可交换的含幺半群。2022-8-5例5.3.3 设Nn0,1,2,n1,定义Nn上的运算n 如下：x,yNn,xnyxy(mod n)(即xy除以n的余数)。证明是含么半群。证明 封闭性 任意x,y Zn,令kxy(mod n),则0kn1,即k Nn,所以封闭性成立；2022-8-5例5.3.3 证明（续）结合律 任意x,y,z Nn,有(xn y)n zxy+z(mod n)xn(yn z)所以结合律成立。幺元任意x Nn,显然有 0nxxn0=x所以0是幺元。故是含
33、么半群。2022-8-5子半群和子含幺半群将子代数应用于半群，可得下面的定义：定义5.3.3 如果是半群，T是S的非空子集，且运算“”对T封闭，则称是半群的子半群；如果是含幺半群，T是S的非空子集，eT。且运算“”对T封闭，则称是含幺半群的子含幺半群。2022-8-5例5.3.4 设是含幺半群，M=a|aS，xS 有ax=xa，则 是的子含幺半群。分析 需证明两点：幺元存在，运算“”封闭。证明 (1)设e是半群的幺元，则xS，显然有e x=x e，因此，eM。进而M是S的非空子集。2022-8-5例5.3.4证明（续）（2）对任意a,bM，由M的定义知，xS，有a x=x a，b x=x b，
34、又运算“*”满足结合律，则(a b)x=a (b x)=a (x b)=(a x)b =(x a)b=x(a b)，即 xS,(a b)x=x(a b)，因此，(ab)M。由(1)、(2)可知：是的一个子含幺半群。2022-8-5元素的幂设S,*是一个半群,对x S,可定义：x=x,x=x x,x=x x=x x=x x x,xn=xn-1 x=x xn-=x x x x。如果S,*有单位元e,可以定义：x0=e由于结合律的满足,同样有 如下的公式：am an=am+n (am)n=amn2022-8-5例5.3.5（1）设是半群，aS，M=an|nZ+，则是的子半群；（2）设是含幺半群，aS
35、，M=an|nN，则是的子含幺半群；分析 （1）M是非空子集，运算“”封闭。（2）还需说明幺元e在M中。2022-8-5例5.3.5证明（1）a=a1M，所以M是非空集合。对nZ+，anS，因此M是S的非空子集。对an，amM，n，mZ+，则anam=an+m，n+mZ+，anamM。故运算“”封闭。是的子半群。（2）幺元e=a0M，即幺元在M中。类似（1），同理可证是的子含幺半群。2022-8-5循环半群定义5.3.4 （1）在半群中，若存在一个元素aS，使得对任意xS，都有x=an，其中nZ+，则称为循环半群，并称a为该循环半群的一个生成元，M=a|(aS)且a是S的生成元称为该循环半群的
36、生成集；（2）在含幺半群中，若存在一个元素aS，使得对任意xS，都有x=an，其中nN，则称此循环含幺半群为循环含幺半群（或循环独异点），并称a为该循环含幺半群的一个生成元，M=a|(aS)且a是S的生成元称为该循含幺半群的生成集。例5.3.6 判断含幺半群是否是一个循环含幺半群？分析 根据定义，判别含幺半群（或半群）是循环含幺半群（循环半群）的关键是计算生成元。如何计算生成元呢？首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。例5.3.6分析（续）如在本例中，不妨假设aN是的生成元，则根据生成元的定义，对nN，mN，使得n=am=ma让n=1，有1=ma，因此a=1。这
37、说明，如果有生成元，则生成元必须为1。下面还需验证1是生成元。例5.3.6解由于存在元素1N，使得对任意nN，都有：n=(n1)+1=1+（n1）=1+1+1+1=1n，特别对幺元0N，有0=10。所以，“1”是生成元。因此，该半群一定是循环含幺半群。定理5.3.1定理5.3.1 循环半群都是可交换半群。分析 由于循环半群中的每个元素都可以表示为生成元的方幂形式，可以使用这种表示形式来证明。证明 设aS是循环半群的生成元。则对x,yS，存在m,nZ+，使得x=am，y=an，所以x y=am an=am+n=an+m=an am=y x，故运算“”是可交换的，即是可交换半群。推论5.3.1 循
38、环含幺半群都是可交换含幺半群。例5.3.7 判断含幺半群是否是循环含幺半群？若是，请求出其所有的生成元。分析 N6=0,1,2,3,4,5，共有6个元素，则可以判别每一个元素是否是生成元。解 由于N6=0,1,2,3,4,5，0是幺元，则0肯定不是生成元，对其他元，有：、1=0,1=1,1=2,1=3,14=4,15=5，所以“1”是的生成元；例5.3.7解（续）、2=0,2=2,2=0,2=2,，所以“2”不是的生成元；、3=0,3=3,3=0,3=3,，所以“3”不是的生成元；、4=0,4=4,4=2,4=0,，所以“4”不是的生成元；、5=0,5=5,5=4,5=3,54=2,55=1，
39、所以“5”是的生成元。因此，含幺半群有两个生成元“1”、“5”，则是循环含幺半群。计算生成元方法：计算生成元方法：首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。个方程来计算生成元。推广（1）是循环含幺半群；（2）对a Nn,若(a,n)=1，则a是的生成元；（3）当n是素数时，Nn中除幺元“0”以外，其他一切元素都是生成元。2022-8-5定理与推论定理5.3.2 在每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在。推论5.3.2 设为一个有限半群，则中至少存在一个幂等元。5.4 群与子群定义5.4.1 设为二元代数系统，满足如
40、下性质：（1）“”在G中满足结合律，即a,b,cG，有(ab)c=a(bc)；（2）G中存在关于“”的幺元e，即eG，使得aG，ea=ae=a；（3）G中每个元素a都有逆元a1，即aG，都a1G，aa1=a1a=e。则称二元代数系统为群。n概括：群是满足概括：群是满足结合律、有幺元，每个元有逆结合律、有幺元，每个元有逆元元的二元的二元代数系统代数系统为群为群2022-8-5群的类型定义5.4.2在群中，（1）若运算“”满足交换律，即a,bG，都有ab=ba，则称为可交换群或阿贝尔(Abel)群；（2）集合G的基数称为群G的阶(Order)，记为|G|。若群的阶有限，则称之为有限群，否则称为无限
41、群。2022-8-5例5.4.1 证明 是群，其中n是正整数。分析 需要证明4点：封闭性；结合律；幺元存在；逆元存在。证明 （1）封闭性：x,y Nn，令k=x+y(mod n)，则0kn 1，即k Nn，所以封闭性成立。2022-8-5例5.4.1证明（续）（2）结合律：x,y,z Nn，有(x+n y)+n z=x+y+z(mod n)=x+n(y+n z),所以结合律成立。（3）幺元：x Nn，显然有 0+n x=x+n 0，因此，0是幺元。2022-8-5例5.4.1证明（续）（4）逆元存在：x Nn，如果x=0，显然01=0，如果x0，则有n x Nn，显然x+n(nx)=(nx)+
42、n x=0，所以x1=(nx)，因此，x Nn，x有逆元。综上，是群。例5.4.2 设X是任意集合，S=f：XX|f是双射函数，运算“”是函数的复合运算，证明是群。证明 （1）封闭性：f,gS,f,g是双射，则fg也是双射，即fgS。故封闭性成立。（2）结合律：由于函数的复合运算“”满足结合律，因此，在集合S也满足结合律。2022-8-5例5.4.2证明（续）（3）幺元存在：恒等函数IXS，且fS，有IX f=f IX=f，因此，恒等函数IX是幺元。（4）逆元存在：fS,f是双射，则f1S，且有f1 f=f f1=IX，因此，f1就是f关于“”的逆元。由（1）、（2）、（3）和（4）可知，是群
43、。2022-8-5说明说明 被称为变换群，如果X是有限集合，设|X|=n，此时称为n阶置换群。变换群在几何学中有十分广泛的应用。2022-8-5定理5.4.1在群中，有：（1）群G中每个元素都是可消去的，即运算满足消去律；（2）群G中除幺元e外无其他幂等元；（3）阶大于1的群G不可能有零元；（4）a,bG，都有(ab)1=b1a1；（5）群 的的运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素。2022-8-5定理5.4.1分析由于可逆元就是可消去元，因此（1）显然可证。（2）和（3）分别是证明唯一性和存在性问题，通常采用反证法证明。（4）显然。（5）采用反证法证明。2022-8-5定理5.4.1证
44、明（1）由于可逆元就是可消去元，而群G中每个元素都是可逆元，则G中的任何元素都是可消去的，即运算满足消去律。（2）对幺元e，由于ee=e，所以e是幂等元。现假设a是群G中的幂等元，即aa=a，则aa=ae，使用消去律，则有a=e。因此，幺元e是G的唯一幂等元。2022-8-5定理5.4.1 证明（续）（3）假设群G的阶大于1且有零元，则=，即是幂等元，因此由（2）有=e，由于|G|1，则xG，x，由是零元，有x=，又=e是幺元，则有x=x=x，则，=x，这与x矛盾。因此，G中无零元。注意：如果|G|=1，则有G=e，此时e既是幺元又是零元。2022-8-5定理5.4.1证明（续）（4）由于群G
45、中的运算满足结合律，且每个元素都有逆元，有推论5.4.1知，结论成立。（5）假设群G的运算表中某一行(列)有两个相同的元素，设为a，并设它们所在的行表头元素为b，列表头元素分别为c1,c2，这时显然有c1c2。而a=bc1=bc2，由消去律可得c1=c2，矛盾。2022-8-5群中元素的周期设G，*是一个群，对aG，可定义：a=e，a=a，a=a a,an=an-a=a an-=a a a；a-=a-，a-=(a-),a-n=(a-)n=a-a-a-。由幂方的定义知：am an=am+n=an+m=an am；(am)n=amn。2022-8-5元素的周期（续）对群中的元a，由幂方可得到如下的
46、一个序列：,an，,a2，a1，a0，a1，a2，,an，这个序列有周期吗？如果有周期，其最小正周期为多少？分析 在上述序列中，如果存在整数p和q，其中pq，使得ap=aq，则由消去律有aqp=e，2022-8-5元素的周期（续）此时pq就是序列的一个周期，因为对任意的整数m，有am+(pq)=ame=am，即，对任意的正整数n，如果an=e，则n是序列的周期。2022-8-5元素的周期（续）反之，如果n是序列的周期，肯定有an=e。为什么呢？因为由周期的定义可知，如果n是周期，则对任意的整数m，由am+n=am，即aman=am，由消去律，可得an=e。2022-8-5定义5.4.3 设e是
47、群的幺元，aG，（1）使得an=e成立的最小正整数n称为a的周期或为元素a的阶，记为|a|；（2）若不存在这样的正整数n，使得an=e，则称a的周期无限，即对nZ+，都有an e。显然，群中幺元e的周期为1 2022-8-5定理5.4.2设a是群中的元素，则：（1）如果a的周期为n，则对任意的整数i，有ai a1,a2,an，且对任意的p,q1,2,.,n,p q，有apaq；（2）如果a的周期无限，则对任意的整数p,q,p q，有apaq；（3）a和它的逆元a1的周期相同。2022-8-5例5.4.3 计算实数加群中元素的周期。分析 在中幺元为“0”，所以有0=0，而对aR，且a0，及nZ+
48、有an=an+a=a+an=a+a+a=na0，因此，此时仅有“0”有周期“1”，而其余元素的周期无限。结论 在实数加群中，0的周期为1，而其余实数的周期无限。2022-8-5定理5.3.3设是一个群，aG，若a的周期为m，则an=e当且仅当m|n。分析 a的周期为m，则根据以前的分析，序列,an,a2,a1,a0,a1,a2,an,的最小正周期为m，因此，当m|n时，就有an=e。反之，由于在一个周期 a1,a2，am中只有am=e，因此，如果an=e那么一定有m|n。2022-8-5定理5.3.3证明“”（反证法）：设an=e，若m不整除n，则qZ，使得n=mq+r（1rm1），由a的周期
49、为m，且an=e，有：an=amq+r=amqar=(am)qar=eqar=ar=e，由于1rm1，这就与a的周期为m矛盾，所以有m|n。2022-8-5定理5.3.3证明（续）“”设m|n。则kZ，使得n=mk，于是有：an=amk=(am)k=ek=e，总结总结 如果证明形如如果证明形如m|n这样的结论，可以采用反这样的结论，可以采用反证法，即假设证法，即假设m不能整除不能整除n，则，则 qZ，使得，使得n=mq+r（1rm 1）。）。2022-8-5例5.4.4设是一个群，对a，bG，若a的周期为3，b的周期为5，且有：ab=ba，则ab的周期为15。证明 设ab的周期为n，由于ab=
50、ba，且运算“”满足结合律，所以有：(ab)15=a15b15=ee=e，由定理5.4.3可知：n|15，即n可能是1,3,5,15。2022-8-5例5.4.4（续）当n=1,3,5，有：(ab)1=abe(若ab=e，则a=b1，故b1的周期为3，则b的周期也为3，矛盾)，(ab)3=a3b3=eb3=b3e（因b的周期为5），(ab)5=a5b5=a5e=a3a2=a2e(因a的周期为3)，n=15时，才有(ab)n=e。故ab的周期为15。2022-8-5例5.4.4（续）另证 设ab的周期为n，由ab=ba有(ab)n=anbn=e，所以有(ab)n)3=a3nb3n=e3=e，又a
