1、第三章第三章 常用概率分布常用概率分布本章在介绍概率论中最基本的两个概念本章在介绍概率论中最基本的两个概念事件、概率事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布变量的概率分布二项分布、正态分布以及样本平均二项分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布数的抽样分布、t t分布、分布、分布和分布和F F分布。分布。2X第三章第三章 常用概率分布常用概率分布第一节第一节 事件与概率事件与概率第二节第二节 概率分布概率分布第三节第三节 二项分布二项分布第四节第四节 正态分布正态分布第五节第五节 样本平均数抽样分布与标准误样本平均数抽样
2、分布与标准误第六节第六节 t t分布、分布、分布与分布与F F分布分布第一节第一节 事件与概率事件与概率一、事件一、事件(一一)必然现象与随机现象必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定的，必然发生况下，重复进行观察，其结果总是确定的，必然发生(或必然不发生或必然不发生)。这类现象称为。这类现象称为必然现象必然现
3、象或确定性现或确定性现象。例如：标准大气压下，水加热到象。例如：标准大气压下，水加热到100100必然沸腾。必然沸腾。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未必相同。这不变的情况下，重复进行观察，其结果未必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为称为随机现象随机现象或不确定性现象。例如：或不确定性现象。例如：100100粒玉米种子粒玉米种子发芽试验，可能有发芽试验，可能有0 0粒发芽，也可能粒发芽，也可能 第一节第一节 事件与概率事件与概率 随机现象或
4、不确定性现象，有如下特点：随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行但在相同条件下进行大量重复大量重复试验时，其试验结试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性果却呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性，频率的稳定性，通常称之为通常称之为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性。例如：投硬币。例如：投硬币第一节
5、第一节 事件与概率事件与概率(二二)随机试验与随机事件随机试验与随机事件 1 1、随机试验：通常我们把根据某一研究目的、随机试验：通常我们把根据某一研究目的,在在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验。验。一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验，简称试验：随机试验，简称试验：第一节第一节 事件与概率事件与概率(1)(1)试验可以在相同条件下多次重复进行；试验可以在相同条件下多次重复进行；(2)(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有
6、哪些可能的结果；哪些可能的结果；(3)(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。果。第一节第一节 事件与概率事件与概率2、随机事件、随机事件 随机试验的每一种可能结果，称为随机试验的每一种可能结果，称为随机事件随机事件，简称，简称事件，通常用事件，通常用 A、B、C 等来表示。随机事件在一定条等来表示。随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生。件下可能发生，也可能不发生。(1)基本事件基本事件 我们把不能再分的事件称为基本事件。我们把不能再分的事
7、件称为基本事件。第一节第一节 事件与概率事件与概率 例如，在例如，在1、2、3、20这这20个数字中随机抽个数字中随机抽取取1个数字，有个数字，有20种不同的可能结果：种不同的可能结果：“取得取得1个数字是个数字是1”、“取得取得1个数字是个数字是2”、“取得取得1个数字是个数字是20”。每一种可能结果就是一个事件，这每一种可能结果就是一个事件，这20个事件都是个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。不可能再分的事件，它们都是基本事件。第一节第一节 事件与概率事件与概率 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。如如“取得取得1个数字是个数字
8、是2的倍数的倍数”是一个复合事件，它是一个复合事件，它由由“取得取得1个数字是个数字是2”、“是是4”、“是是6”、“是是20”10个基本事件组合而成。个基本事件组合而成。(2)必然事件必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件，用在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件，用表示。表示。第一节第一节 事件与概率事件与概率 (3)(3)不可能事件不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，用用表示。表示。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但是为了方便起见，我们把它们
9、它们不是随机事件，但是为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。看作为两个特殊的随机事件。第一节第一节 事件与概率事件与概率二、二、概率概率 刻划事件发生可能性大小的数量指标，称为概率。刻划事件发生可能性大小的数量指标，称为概率。事件事件A A的概率记为的概率记为P P(A A)。(一一)概率的统计定义概率的统计定义第一节第一节 事件与概率事件与概率 在相同条件下进行在相同条件下进行n n次重复试验，如果随机事件次重复试验，如果随机事件A A发生的次数为发生的次数为m m，那么，那么m/nm/n称为随机事件称为随机事件A A的频率；当的频率；当试验重复数试验重复数n n逐渐增大时，随机
10、事件逐渐增大时，随机事件A A的频率越来越稳的频率越来越稳定地接近某一数值定地接近某一数值p p，那么就把，那么就把p p称为随机事件称为随机事件A A的概率。的概率。这样定义的概率称为统计概率。这样定义的概率称为统计概率。第一节第一节 事件与概率事件与概率 例如，为了确定例如，为了确定1 1粒小麦种子发芽这个事件的概粒小麦种子发芽这个事件的概率，在表率，在表3-13-1中列出了小麦种子发芽试验记录。中列出了小麦种子发芽试验记录。第一节第一节 事件与概率事件与概率 表表3-1 小麦种子发芽试验记录小麦种子发芽试验记录试验种子试验种子粒数粒数n 100200300400500600700发芽种子
11、发芽种子粒数粒数m 65155204274349419489频率频率m/n 0.6500.6750.6800.6850.6980.69830.6986 从表从表3-1可看出，随着试验次数的增多，可看出，随着试验次数的增多，1粒小麦种粒小麦种子发芽这个子发芽这个事件事件的的概率概率越来越稳定地接近越来越稳定地接近0.7，我们就，我们就把把0.7作为这个事件的概率。作为这个事件的概率。在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可能准确得是不可能准确得到的。通常以试验次数到的。通常以试验次数n充分大时随机事件充分大时随机事件A的频率作的频率作为该随机事件概率的近似值。为该随机
12、事件概率的近似值。即即 P(A)=pm/n (n充分大充分大)第一节第一节 事件与概率事件与概率 (二二)概率的古典定义概率的古典定义 有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；的基本事件只有有限个；2、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。第一节第一节 事件与概率事件与概率 具有上述特征的随机试验，称
13、为古典概型。对于具有上述特征的随机试验，称为古典概型。对于古典概型，概率的定义如下：古典概型，概率的定义如下：设样本空间由设样本空间由n n个等可能的基本事件所构成，其中个等可能的基本事件所构成，其中事件事件A A包含有包含有m m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A A的概率为的概率为m/nm/n，即，即 P(A)P(A)=m/n m/n 这样定义的概率称为古典概率。这样定义的概率称为古典概率。第一节第一节 事件与概率事件与概率 【例例3 31 1】在在1 1、2 2、3 3、2020这这2020个数字中随个数字中随机抽取机抽取1 1个，求下列随机事件的概率。个，求下列随机事件的概率。(1
14、)(1)A A=“抽得抽得1 1个数字个数字4 4”；(2)(2)B B=“抽得抽得1 1个数字是个数字是2 2的倍数的倍数”。第一节第一节 事件与概率事件与概率 因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由20个等可能的基本事件构成，个等可能的基本事件构成，即即n=20,而事件而事件A所包含的基本事件有所包含的基本事件有4个，既抽得编个，既抽得编号为号为1，2，3，4中的任何中的任何1个，事件个，事件A便发生，即便发生，即mA=4，所以，所以 4()0.220AmP An第一节第一节 事件与概率事件与概率 同理，事件同理，事件B 所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=10，即抽，即抽得数字为
15、得数字为 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中中的任何的任何1个，事件个，事件B便发生，故便发生，故10()0.520BmP Bn第一节第一节 事件与概率事件与概率(三三)概率的性质概率的性质 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P(A)1；2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P()=1；3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P()=0。第一节第一节 事件与概率事件与概率三、小概率事件实际不可能性原理三、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概
16、率很小，例如小于的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。，称之为小概率事件。第一节第一节 事件与概率事件与概率 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很大，以至于中出现的可能性很小，不出现的可能性很大，以至于实际上可以看成是不可能发生的。实际上可以看成是不可能发生的。在统计学上，把小在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原称为小概率事件实际不可能性原
17、理，亦称为小概率原理理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验设检验(显著性检验显著性检验)的基本依据。的基本依据。第一节第一节 事件与概率事件与概率第二节第二节 概率分布概率分布 事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布。试验的概率分布。先引入随机变量的概念。先引入随机变量的概念。作一次试验，其
18、结果有多种可能。每一种可能结作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x x的取值范的取值范围，则试验结果可用变量围，则试验结果可用变量x x来表示。来表示。【例例3 32 2】对对100100株树苗进行嫁接，观察其成活株株树苗进行嫁接，观察其成活株数，其可能结果是数，其可能结果是 “0 0 株成活株成活”，“1 1 株成株成活活”，“100 100 株成活株成活”。用用x x表示成活株数，表示成活株数，则则x x的取值为的取值为0 0、1 1、2 2、100100。一、随机变量一、随机变量 【例例3 33 3】抛掷一
19、枚硬币，其可能结果是抛掷一枚硬币，其可能结果是“币值币值一面朝上一面朝上”、“币值一面朝下币值一面朝下”。“币值一面朝上币值一面朝上”用用1 1表示，表示，“币值一面朝下币值一面朝下”用用0 0表示，用表示，用x x表示试验结表示试验结果，则果，则x x的取值为的取值为0 0、1 1。【例例 3 34 4】测定某品种小麦产量测定某品种小麦产量(/667.7/667.7)，表示测定结果的变量，表示测定结果的变量x x所取的值为一个特定范所取的值为一个特定范围围(a,ba,b)，例如，例如200200300(300(/667.7/667.7)，x x值可以取值可以取这个范围内的任何数值。这个范围内
20、的任何数值。如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量x x，其可能取值至多为，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x x为离散型随机变量；为离散型随机变量；如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量x x，其可能取值为某范围，其可能取值为某范围内的任何数值，且内的任何数值，且x x在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称时，其概率是确定的，则称x x为连续型随机变量。为连续型随机变量。要了解离散型随机变量要了解离散型随机变量x x的统计规律，就必须知道的统计规律，就必须知道
21、它的一切可能值它的一切可能值x xi i 及取每种可能值的概率及取每种可能值的概率p pi i。如果我们将离散型随机变量如果我们将离散型随机变量x x的一切可能取值的一切可能取值x xi i (i i=1,2,=1,2,)，及其对应的概率，及其对应的概率p pi i，记作，记作 P P(x x=x xi i)=)=p pi i i i=1,2,=1,2,(3 (33)3)则称则称(3(33)3)式为离散型随机变量式为离散型随机变量x x的概率分布或的概率分布或分布。分布。二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 常用列表法表示离散型随机变量的概率分布：常用列表法表示离散型随机变
22、量的概率分布：x xx x1 1 x x2 2 x xn n p p p p1 1 p p2 2 p pn n 显然离散型随机变量的概率分布具有显然离散型随机变量的概率分布具有p pi i00和和ppi i=1=1这两个基本性质。这两个基本性质。连续型随机变量的概率分布不能用分布列来表连续型随机变量的概率分布不能用分布列来表示，示，因为其可能取的值是不可数的。因为其可能取的值是不可数的。对于连续型随机变量对于连续型随机变量x x，要了解的是它在某个区，要了解的是它在某个区间间aa，b)b)上取值的概率，即上取值的概率，即P(aP(ax xb)b)？下面通过频率分布密度曲线予以说明。下面通过频率
23、分布密度曲线予以说明。三、连续型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布 由表由表2-6 2-6 作作140140行水稻产量资料的频率分布直方行水稻产量资料的频率分布直方图图 ，见，见图图3-1 3-1，图中纵坐标取频率与组距的比值，图中纵坐标取频率与组距的比值 。可以设想，如果样本取得越来越大可以设想，如果样本取得越来越大(n n+)+)，组分得越来越细组分得越来越细 (i i0)0)，某一范围内的频率将趋近于，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值一个稳定值概率。这时，频率分布直方图各个直方概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的联线上端中点的联线频率分布折线将逐渐趋向于一条曲频率分
24、布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当线，换句话说，当n n+、i i00时，频率分布折线的时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。极限是一条稳定的函数曲线。对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了行水稻产量的变动规律。差，完全反映了行水稻产量的变动规律。这条曲线叫这条曲线叫概率分布密度曲线概率分布密度曲线，相应的函数叫，相应的函数叫概概率分布密度函数率分布密度函数 。(3 (34)4)式为连续型随机变量式为连续型随机变量 x x 在在 区
25、间区间 a,ba,b)上取值概率的表达式。可见，上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定由概率分布密度函数确定。图图3-1 3-1 表表2-62-6资料的分布密度曲线资料的分布密度曲线 若记概率分布密度函数为若记概率分布密度函数为f(x)f(x)，则，则x x取值于区取值于区间间 a,ba,b)的概率为图中阴影部分的面积，即的概率为图中阴影部分的面积，即 P P(axbaxb)=(3-4)=(3-4)badxxf)(连续型随机变量概率分布的性质：连续型随机变量概率分布的性质：1 1、分布密度函数总是大于或等于、分布密度函数总是大于或等于0 0，即
26、，即f(x)f(x)00；2 2、当随机变量、当随机变量x x取某一特定值时，其概率等于取某一特定值时，其概率等于0 0；即即 (c c为任意实数为任意实数)对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。ccdxxfcxP0)()(3 3、在一次试验中随机变量在一次试验中随机变量x x之取值必在之取值必在-x x+范围内，为一必然事件。所以范围内，为一必然事件。所以 (3-5)(3-5)(3 (35)5)式表示分布密度曲线之下、横轴之上的全式表示分布密度曲线之下、横轴之上的全面积
27、为面积为1 1。1)()(dxxfxP第三节第三节 二项分布二项分布 一、贝努利试验及其概率公式一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n n 次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这次试验的结果，则称这n n次试验是独立的。次试验是独立的。对于对于n n次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件只出现对立事件A A与与 之一之一 ，在每次试验中出现，在每次试验中出现A A的概率是常数的概率是常数p p(0(
28、0p p1)1)，因而出现对立事件，因而出现对立事件 的的概率是概率是1-p=q1-p=q，则称这一串重复的独立试验为，则称这一串重复的独立试验为n n重贝重贝努利试验，简称贝努利试验。努利试验，简称贝努利试验。AA 在在n n重贝努利试验中，可以证明：事件重贝努利试验中，可以证明：事件A A恰好发生恰好发生k k(0(0k kn)n)次的概率为次的概率为 k k=0,1,2=0,1,2，n n (3-6)(3-6)若把若把(3-6)(3-6)式与二项展开式式与二项展开式 相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A A发生发生k k次的概率恰好等于
29、展开式中的第次的概率恰好等于展开式中的第k k+1+1项，所以也把项，所以也把(3-6)(3-6)式称作式称作二项概率公式二项概率公式 。knkknnqpCkP)(nkknkknnqpCpq0)(二项分布定义：二项分布定义：设随机变量设随机变量x x所有可能的取值为零和正整数：所有可能的取值为零和正整数：0 0，1 1，2 2，n n，且有，且有 k=k=0 0，1 1，2 2，n n 其中其中p p0 0，q q0 0，p+q=1p+q=1，则称随机变量则称随机变量x x服从参服从参数为数为n n和和p p的二项分布，记为的二项分布，记为 x xB(nB(n，p)p)。二项分布是一种离散型随
30、机变量的概率分布。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。()kkn knnP kC p q二、二项分布的意义及性质二、二项分布的意义及性质 容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：1 1、P(x=k)P(x=k)=P Pn n(k)(k)0 0 (k=0k=0，1 1，n n)2 2、二项分布的概率之和等于、二项分布的概率之和等于1 1，即，即1)(0nnkknkknpqqpC 3、4、5、(m1n 3030时，时，t t分布与标准正态分布的区别很小；分布与标准正态分布的区别很小；n n 100 100 时，时，t t分分布基本与标准正态分
31、布相同；布基本与标准正态分布相同；n n时，时，t t 分布与标分布与标准正态分布完全一致。准正态分布完全一致。用用f f(t)(t)表示表示t t分布的概率密度函数，则分布的概率密度函数，则t t分布的概分布的概率分布函数为：率分布函数为：因而因而t t在区间在区间(t t1 1，+)+)取值的概率取值的概率右尾概率右尾概率为为1-1-F Ft(df)t(df)。由于由于t t分布左右对称，分布左右对称，t t在区间在区间(-(-，-t t1 1)取值的取值的概率也为概率也为1-1-F Ft(df)t(df)。1)()(1)(tdftdttfttPF 于是于是t t分布曲线下由分布曲线下由-
32、到到-t t1 1和由和由t t1 1到到+两个相两个相等的概率之和等的概率之和两尾概率两尾概率为为2(1-2(1-F Ft(df)t(df)。对于不同自由度下对于不同自由度下t t分布的两尾概率及其对应的分布的两尾概率及其对应的临界临界t t值已编制成附表值已编制成附表3 3，即，即t t分布表。分布表。例如，当例如，当dfdf=15=15时，查附表时，查附表3 3得两尾概率等于得两尾概率等于0.050.05的临界的临界t t值为值为 =2.131=2.131，其意义是：，其意义是：P P(-(-tt-2.131)-2.131)=P P(2.131(2.131tt+)+)=0.025 =0.
33、025；P P(-(-tt-2.131)+-2.131)+(2.131(2.131tt+)+)=0.05 =0.05。，设有一平均数为设有一平均数为、方差为、方差为 的正态总体。现的正态总体。现从此总体中独立随机抽取从此总体中独立随机抽取n n个随机变量：个随机变量：x x1 1、x x2 2、x xn n，并求出其标准正态离差：并求出其标准正态离差：211xu22xunnxu二、2分布 记这记这n n个相互独立的标准正态离差的平方和为个相互独立的标准正态离差的平方和为 2 2 ：它服从自由度为它服从自由度为n n的的 2 2分布，记为分布，记为 222212.nuuu21222)()(nii
34、iixxu2212()()niixn 若用样本平均数若用样本平均数 代替总体平均数代替总体平均数，则随，则随机变量服从自由度为机变量服从自由度为n n-1-1的的 2 2分布，记为分布，记为 x222122()(1)niixxnS222(1)(1)nSn 2 2分布是由正态总体随机抽样得来的一种连续型分布是由正态总体随机抽样得来的一种连续型随机变量的分布。随机变量的分布。显然显然 ，2 200，即，即 2 2 的取值范围是的取值范围是0,+0,+；2 2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随自由度的增大，曲线。随自由度的增大，曲线由偏斜渐趋于对称；
35、曲线由偏斜渐趋于对称；图图3-143-14给出了几个不同自由度的给出了几个不同自由度的 2 2 概率分布概率分布密度曲线。密度曲线。设在一正态总体设在一正态总体N N(，2 2)中随机抽取样本容中随机抽取样本容量为量为n n1 1和和n n2 2的两个样本，得到两个样本方差的两个样本，得到两个样本方差(均均方方)、，,构成一新的随机变量，记为构成一新的随机变量，记为F F，即即 2122SFS21s22s2221ss 统计学证明，统计学证明，服从服从dfdf1 1=n=n1 1-1,df-1,df2 2=n=n2 2-1 -1 的的F F 分布分布 。F F 分布密度曲线是随自由度分布密度曲线
36、是随自由度dfdf1 1、dfdf2 2的变化而变的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着化的一簇偏态曲线，其形态随着dfdf1 1、dfdf2 2的增大逐渐的增大逐渐趋于对称，如图趋于对称，如图3-153-15所示。所示。2221ssF 因而因而F F分布右尾从分布右尾从 到到+的概率为：的概率为：F F分布的取值范围是分布的取值范围是(0(0，+)+)用用f f(F F)表示表示F F分布的概率密度函数，则其分布函数分布的概率密度函数，则其分布函数 为：为：FdFFfFFPFF)()()(FFdFFfFFFFP)()(1)(附表附表4 4列出的是不同列出的是不同dfdf1 1 和和dfdf2
37、 2 下下 P P(F F )=0.05 )=0.05和和P P(F F )=0.01 )=0.01时的时的F F值，即右值，即右尾概率尾概率 =0.05=0.05 和和=0.01=0.01时的临界时的临界F F 值，一般记作：值，一般记作：FF12120.05(,)0.01(,)dfdfdfdfFF 例如，查附表例如，查附表4 4，当，当dfdf1 1=3=3，dfdf2 2=18=18时，时，F F0.05(3,18)0.05(3,18)=3.16=3.16，F F0.01(3,18)0.01(3,18)=5.09=5.09 表示如以表示如以n n1 1=4=4，n n2 2=19=19，
38、在同一正态总体中连续，在同一正态总体中连续抽样，所得抽样，所得 F F 值大于值大于3.16 3.16 的仅为的仅为5%5%，大于，大于5.095.09的仅的仅为为1%1%。作 业P77P77：第：第16,18,20,2116,18,20,21小题小题18.已知随机变量uN(0,1),求:P(u1.41),P(u1.49),P(u2.58),P(-1.21u 0.45)P(u1.41)=P(u1.41)=(1.41)=0.92073(1.41)=0.92073 P(u1.49)=P(u1.49)=(-1.49)=0.07927(-1.49)=0.07927 P(P(u u2.58)=22.58)=2(-2.58)=2(-2.58)=2*0.004940=0.004940=0.009880.00988 P(-1.21u 0.45)=P(-1.21u 0.45)=(0.45)-(0.45)-(-1.21)(-1.21)=0.6736-0.1131 =0.6736-0.1131 =0.5605 =0.5605
