1、2022-8-5数学建模男生竞争女生好感的数学模型分析男生竞争女生好感的数学模型分析 本文针对竞争中本文针对竞争中“强者愈强强者愈强”的马太效应的的马太效应的特点，构建了男生竞争女生的好感模型；然特点，构建了男生竞争女生的好感模型；然后利用常微分方程的知识对二维的特殊情形后利用常微分方程的知识对二维的特殊情形进行了定性分析和仿真，并仿真分析了模型进行了定性分析和仿真，并仿真分析了模型中的有关参数对系统的作用。然后针对分析中的有关参数对系统的作用。然后针对分析结果讨论了影响两个男生在一定量女生中拥结果讨论了影响两个男生在一定量女生中拥有的好感程度的主导因素。有的好感程度的主导因素。2022-8-
2、5数学建模一、前言一、前言 市场经济中有一条市场经济中有一条“正反馈循环正反馈循环”规律，也规律，也就是比尔就是比尔盖茨在其盖茨在其未来之路未来之路中津津乐中津津乐道的正螺旋效应，即道的正螺旋效应，即“好的越好，而糟的越好的越好，而糟的越糟糟”，导致，导致“赢家通吃赢家通吃”，这是类似于生态，这是类似于生态系统中种群竞争的一种模型。系统中种群竞争的一种模型。人类社会生活中这样的情况也是屡见不鲜，人类社会生活中这样的情况也是屡见不鲜，下面，我们以两个男生竞争一定量女生的好下面，我们以两个男生竞争一定量女生的好感为例，从数学上给出一点解释。感为例，从数学上给出一点解释。2022-8-5数学建模二、
3、男生间魅力的竞争模型二、男生间魅力的竞争模型 我们来考虑多个男生之间竞争的数学模型。我们来考虑多个男生之间竞争的数学模型。假定有假定有n n个男生有着相似的条件，竞争比男生个男生有着相似的条件，竞争比男生数量多的一定量数量多的一定量(m(m个个)的女生的好感。的女生的好感。设设 表示表示I I男生在特定女生群中的好感度男生在特定女生群中的好感度ixmnxi个男生的女生总人数所有看好这男生的女生人数看好2022-8-5数学建模 由两个主要因素决定由两个主要因素决定:当无其他男生竞争时，在刚开始时以指数型增长，当无其他男生竞争时，在刚开始时以指数型增长，最终达到其最大容量最终达到其最大容量 ，其中
4、，其中 为固定增长系数。为固定增长系数。当有其他男生竞争时，假设每个女生看好一个男当有其他男生竞争时，假设每个女生看好一个男生的概率独立于看好另一个男生的概率，即呈现生的概率独立于看好另一个男生的概率，即呈现独立分布独立分布.因此因此 ,就是同时看好男生就是同时看好男生i i和男生和男生j j的女生的的女生的比率。由于男生比率。由于男生i i和男生和男生j j条件相同，有些女生以后条件相同，有些女生以后可能只对其中某一个男生有好感而对另外一个的可能只对其中某一个男生有好感而对另外一个的好感消失好感消失.ixiiaixjx2022-8-5数学建模 因此有因此有 表示从对表示从对i i男生有好感转
5、移男生有好感转移到对到对j j男生有好感的女生的比例男生有好感的女生的比例,其中其中 是转移常数，是转移常数，表示女生对一个男生的好感转移表示女生对一个男生的好感转移到另外一个男生同这两个男生各自拥有的女到另外一个男生同这两个男生各自拥有的女生的好感的多少有关，女生从拥有女生好感生的好感的多少有关，女生从拥有女生好感多的男生转移到拥有女生好感少的男生的人多的男生转移到拥有女生好感少的男生的人数相对要少，反之，转移要多。数相对要少，反之，转移要多。jijiijxxxxP)()(1(),(ijijijjijiijxxrxxxxPijijr0ijr),(jiijxxP2022-8-5数学建模 同理有
6、同理有 ，可以不同。于是，相关的数学模型可以不同。于是，相关的数学模型为：为：其中其中 （1 1）以上模型（以上模型（1）描述了多个男生之间竞争情）描述了多个男生之间竞争情况。况。ijijjixxxxP)()(1(),(jijijiijijjixxrxxxxPijrjir nixxxxrxxadtdxnijjjiijijijiiiii,1,)(1()(1。0,10,0.iiijijar2022-8-5数学建模 这个模型中有两个前提条件：这个模型中有两个前提条件：一是供大于求。这是由于男生得到女生的好一是供大于求。这是由于男生得到女生的好感的边际成本几乎为零，并且男生对自身条感的边际成本几乎为零
7、，并且男生对自身条件提高的投资只是在前期投入较大成本，而件提高的投资只是在前期投入较大成本，而以后随女生对其好感的增加和自身条件的提以后随女生对其好感的增加和自身条件的提高而增加的软、硬件成本都相对较低，因此高而增加的软、硬件成本都相对较低，因此男生总能也愿意通过较少的投资来满足女生男生总能也愿意通过较少的投资来满足女生的喜好。的喜好。二是男生总有办法吸引一定量的女生对自己二是男生总有办法吸引一定量的女生对自己产生好感（可能这个产生好感（可能这个“一定量一定量”并不是女生并不是女生真的喜欢上该男生，只是对这男生有一定量真的喜欢上该男生，只是对这男生有一定量的好感。）的好感。）2022-8-5数
8、学建模动态竞争模型：动态竞争模型：（2）模型（模型（1）同模型（）同模型（2）相比，增加了）相比，增加了 项，其作用是体现男生的项，其作用是体现男生的“强者更强强者更强”的特的特性。性。jijiijiiiiixxrxxadtdx)()(ijxx 2022-8-5数学建模对男生魅力竞争模型对男生魅力竞争模型 (1)(1)，我们先从各系，我们先从各系数相同即各男生条件相同这种较简单的情数相同即各男生条件相同这种较简单的情形进行分析。形进行分析。此时此时 模型模型 (1)(1)变为变为 （3 3）其中，其中，njirraaijijii,1,1()(1(),1,niiijiijjj idxaxxrxx
9、 xx indt0,10,0.0iar x2022-8-5数学建模三、两个男生之间的竞争情况三、两个男生之间的竞争情况 我们先分析一种简单的情况我们先分析一种简单的情况两个相两个相同条件男生的竞争情况，此时模型为：同条件男生的竞争情况，此时模型为：（4）其中，其中，11121122221212()(1()()(1()dxaxxrxxx xdtdxaxxrxxx xdt0,10,0.0iar x2022-8-5数学建模 由模型要求由模型要求 ，只考虑第一象限的情况。，只考虑第一象限的情况。方程（方程（4 4）的奇点为：）的奇点为：其中其中0ixA(0,0)(,0)(0,)(,)(,)(,)aaD
10、E u vF v uar ar、222222,22(5)arara rarara ruvrr 2022-8-5数学建模 首先看首先看u u、v v的的存在性存在性：因：因00，当，当00时，时，u u、v v为实数，即有为实数，即有 。交点。交点A A、B B、C C、D D均在第一象限，均在第一象限，E E、F F也在第一象也在第一象限的条件为：限的条件为：并且并且 0222rara02222rrarara02222rrarara1/022ra)1(/ra即得条件即得条件2022-8-5数学建模 下面分析各奇点的稳定性下面分析各奇点的稳定性 ：奇点的稳定性可通过下面的行列式对应的特奇点的稳定
11、性可通过下面的行列式对应的特征值进行分析。征值进行分析。分别为分别为A A、B B、C C、D D、E E、F F。（具体分析略）（具体分析略）分析结果为：分析结果为：A A为不稳定结点，为不稳定结点，B B、C C为稳定为稳定结点，结点，D D为稳定结点，为稳定结点，E E、F F为稳定结点。为稳定结点。000000000001221121211200000000000212122112122(1()(1()(1()2(1()aaxrxxxr x xrxxxr x xJrxxxr x xaaxrxxxr x x),(0201xx2022-8-5数学建模 根据以上分析，可得根据以上分析，可得
12、系统（系统（4 4）(在第一象限在第一象限中中)必有三个奇点必有三个奇点A A（0 0，0 0）、）、B B（，0 0）、）、C(0,)C(0,)，其中，其中，A A（0 0，0 0）为不稳定结点（源）为不稳定结点（源点）。点）。此外对系统（此外对系统（4 4）的）的极限环存在情况分析可得：极限环存在情况分析可得：边界及曲线上的轨线走向是由线段边界及曲线上的轨线走向是由线段ABAB、BNBN、NGNG、GDGD、DADA构成包围奇点构成包围奇点E E的闭区域，当的闭区域，当t t增加时，除线段增加时，除线段ABAB上的轨线指向点上的轨线指向点B B之外，之外，其余方向全指向区域内部；而奇点其余
13、方向全指向区域内部；而奇点E E是一个稳是一个稳定结点，因此在此区域无极限环。定结点，因此在此区域无极限环。2022-8-5数学建模我们可以用我们可以用MatLabMatLab对不同取值的对不同取值的、进行了模拟仿真，系统的相图如图所示。进行了模拟仿真，系统的相图如图所示。2022-8-5数学建模2022-8-5数学建模四四 结论结论 我们首先分析相图上的一些特征：我们首先分析相图上的一些特征：图图1 1图图2 2中各曲线的稳定结点代表系统相对稳定中各曲线的稳定结点代表系统相对稳定后的两个男生所拥有的好感度后的两个男生所拥有的好感度.一个女生可以同时对两个男生产生好感，当系统稳一个女生可以同时
14、对两个男生产生好感，当系统稳定时两个男生拥有的共同对自己有好感的女生在所定时两个男生拥有的共同对自己有好感的女生在所有女生中的比例也间接说明了竞争的激烈程度，当有女生中的比例也间接说明了竞争的激烈程度，当对两个男生都有好感的女生多时说明竞争相对较为对两个男生都有好感的女生多时说明竞争相对较为平缓。表现在相图中平缓。表现在相图中 的值。图中的的值。图中的BCBC直线直线即为即为 ，如果稳定结点位于直线，如果稳定结点位于直线BCBC上方，上方，即即 说明对两个男生都有好感的女生多，说明对两个男生都有好感的女生多，竞争平缓。如竞争平缓。如图图1 1和和图图2 2（b b），），反之，则说明竞争激反之
15、，则说明竞争激烈。烈。21xx 121 xx121 xx2022-8-5数学建模 系统参数的代表两个男生之间相对竞争的激系统参数的代表两个男生之间相对竞争的激烈程度。由模型的实际含义，我们知道，烈程度。由模型的实际含义，我们知道，表示某个男生的自身条件增长系数，表示某个男生的自身条件增长系数，表示表示某个男生同其他男生之间的竞争激烈程度。某个男生同其他男生之间的竞争激烈程度。表示男生自身的发展起主导表示男生自身的发展起主导作用，竞争相对平缓。如作用，竞争相对平缓。如图图2 2（b b）和和图图1 1（1 1）所示。反之，所示。反之，表示竞争比较激表示竞争比较激烈如烈如图图2 2（a a）。1/
16、a1/a2022-8-5数学建模 时，系统稳定后两个男生时，系统稳定后两个男生在女生中的受欢迎程度旗鼓相当，但由在女生中的受欢迎程度旗鼓相当，但由于于的不同系统发展不同：的不同系统发展不同：第一种，不受初始值影响，两个男生最第一种，不受初始值影响，两个男生最后拥有的女生的好感程度相同，如后拥有的女生的好感程度相同，如图图2 2（b b）所示，这是由于所示，这是由于 的影响很小。的影响很小。第二种，受初始值的影响，初始更受女第二种，受初始值的影响，初始更受女生的男生最后拥有的女生的好感程度更生的男生最后拥有的女生的好感程度更高。如高。如图图1 1（a a）所示，所示，1/a2022-8-5数学建
17、模 以以直线直线ADCADC为分界线为分界线，当两个男生初始受，当两个男生初始受女生的欢迎情况在左半平面时，说明对男女生的欢迎情况在左半平面时，说明对男生生2 2有好感的女生多，在系统发展过程中对有好感的女生多，在系统发展过程中对男生男生2 2有好感的女生数增加，而对男生有好感的女生数增加，而对男生1 1有有好感的女生数减少。因此系统稳定于好感的女生数减少。因此系统稳定于E E点，点，对男生对男生2 2有好感的女生更多。有好感的女生更多。反之，在反之，在直线直线ADCADC的右半平面的右半平面，男生，男生1 1最后最后拥有绝大多数女生的好感。拥有绝大多数女生的好感。这种情况充分体现了这种情况充
18、分体现了“强者更强强者更强”的特点。的特点。2022-8-5数学建模 另外也看出，另外也看出，“赢家通吃赢家通吃”是发生在竞是发生在竞争激烈的情况，如争激烈的情况，如图图2 2（a a）最后只有一最后只有一个女生差不多都对一个男生有好感。个女生差不多都对一个男生有好感。2022-8-5数学建模 总之，对于相同总之，对于相同、的情况，最初对的情况，最初对男生有好感的女生量的不同决定最终女生对男生有好感的女生量的不同决定最终女生对其的好感程度，而最初对男生有好感的女生其的好感程度，而最初对男生有好感的女生量的提高在于男生的吸引力；量的提高在于男生的吸引力；对于相同初始值情况下，对于相同初始值情况下
19、，、的不同的不同取值导致最后的发展结果不同，因此，对于取值导致最后的发展结果不同，因此，对于每一个男生来说，采用什么策略，通过什么每一个男生来说，采用什么策略，通过什么方法提高自身的发展即提高方法提高自身的发展即提高 或是竞争能力，或是竞争能力，是决定最终女生对其的好感程度的关键。是决定最终女生对其的好感程度的关键。男生必须通过提高自身的素质、地位等来增男生必须通过提高自身的素质、地位等来增强自身条件的增长率，当然，自身增长率的强自身条件的增长率，当然，自身增长率的提高间接导致竞争能力的增强。提高间接导致竞争能力的增强。2022-8-5数学建模 对于三个乃至多个男生竞争时，情况同对于三个乃至多个男生竞争时，情况同两个男生时相似，但竞争更为激烈。另两个男生时相似，但竞争更为激烈。另外，系统趋向的复杂度大大提高，边界外，系统趋向的复杂度大大提高，边界上的点趋向大致同两个男生时相似，空上的点趋向大致同两个男生时相似，空间的趋向要复杂很多。间的趋向要复杂很多。2022-8-5数学建模 以上分析仅供各位同学参考！以上分析仅供各位同学参考！
