1、一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集平面点集，记作（1 1）平面点集）平面点集(,)(,)PEx yx y具有某种性质 例如，以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是22(,)|Cx yxyr（2 2）邻域）邻域。且且是两个实数是两个实数与与设设0,a,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径),(axxaU的的称为点称为点数集数集aaxx ,邻域),(aU记作记作),(axaxaU),(aaxa a a实轴上的邻域概念回顾实轴上的邻域概念回顾 设000(,)P xy是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点000(,)P
2、xy距离小于的点(,)P x y的全体，称为点0P的邻域，记为0(,)U P，即 平面上点的邻域概念平面上点的邻域概念0P 0(,)U P0|P PP2200(,)|()().x yxxyy 00 (,):oPU P点的去心 邻域22000(,)(,)|0()().oU Px yxxyy（3 3）区域）区域()EPPU PEPE设是平面上的一个点集，是平面上的一个点如果存在点的某一邻域，则称为的内点。.EE的内点属于EP EE如果点集的点都是内点，则称为开集。41),(221 yxyxE例如，即为开集内点：开集：开集：(PEEPEEPE如果点的任一个邻域内既有属于的点，也有不属于的点点本身可以
3、属于，也可以不属于），则称为 的边界点。EP EE的边界点的全体称为 的边界DDDD设是开集如果对于内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通的。边界点：边界点：连通：连通：开区域：开区域：连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，xyo.41|),(22 yxyx例如，xyo闭区域：闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集。开区域连同它的边界一起所构成的点集。对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE与某一点 A 间的距离|AP|不超过 K，即KAP 对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集有界点集。否则称为无界点集无界点集.0|),(y
4、xyx有界闭区域；无界开区域例如，22(,)|14x yxyxyo有界与无界有界与无界（4 4）聚点）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点聚点.（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点，也可能不是聚点；边界点可能是聚点，也可能不是聚点；10|),(22 yxyx例如，中的(0,0)单点集单点集（由一个点组成的集合）的元素是边界点但不是聚点 既是边界点也是聚点。（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22
5、yxyx例如,中的点(0,0)1|),(22 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合是聚点但不属于集合（5 5）n 维空间维空间实数 x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应R平面点(x,y)全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间三维空间)3R推广：n 维数组(x1,x2,xn)全体称为 n 维空间维空间，记为.nRn 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ2221122|()()().nnPQyxyxyx 设两点为 则它们之间的距离为 当 n=
6、1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离n 维空间中邻域概念：00(,)|,.nU PPPPPR内点、边界点、区域、闭区域、聚点等概念也可类似的定义二、多元函数概念二、多元函数概念 定定义义 1 1 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量 z按照一定的法则总有确定按照一定的法则总有确定的值和的值和它 对 应，则 称它 对 应，则 称z是 变 量是 变 量yx,的的 二 元 函 数二 元 函 数，记 为记 为 ),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.),(),(DyxyxfzzW 点集 D-定义域定义域，-值域值域.x，
7、y-自变量自变量，z-因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的函数也可记为的函数也可记为、是是函数的两个要素两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.定义域是使算式有意义的自变量的值所组成的点集定义域是使算式有意义的自变量的值所组成的点集.例例1 1 求 的定义域222arcsin(3)(,)xyf x yxy解解 欲使函数中的算式有意义，必须222310 xyxy22224xyxy 故所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 二元函数二元函数 的图形的图形(,)zf x y设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为 D，对于任意，对于任意 取定的取定的DyxP),
8、(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz .以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空为竖坐标在空 间就确定一点间就确定一点),(zyxM，当，当),(yx取遍取遍D上一切上一切 点时，得一个空间点集点时，得一个空间点集 ),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称为二元函数的这个点集称为二元函数的图形图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.sinzxy例例图形如右图.2222xyza例例球心在原点半径为a球面.222(,).Dx y xya222zaxy222.zaxy 两个单值分支:xyzon元函数的定义元函数的定义三、多元函数的极限 定义定义
9、 2 2 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数总存在正数，使得对于适合不等式使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP 的一切点，都有的一切点，都有|),(|Ayxf 成立，则称成立，则称 A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的时的极限极限，记为，记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集,D 0P是是其聚点，如果对于任意给定的正数其聚点
10、，如果对于任意给定的正数，总，总存在正数存在正数，使得对于适合不等式使得对于适合不等式|00PP 的一切点的一切点DP，都有，都有|)(|APf 成立，成立，则称则称 A 为为)(Pf当当0PP 时的时的极限极限，记为，记为 APfPP)(lim0.n 元函数的极限元函数的极限 说明：说明：（1）定义中 的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限00lim(,);xxyyf x y（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的几何意义：0，P0 的去心 邻域 U(P0,)。在U(P0,)内，函数(,)zf x y的图形总在平面zA及zA之间。例例2 2 求证 证证222
11、2001lim()sin0.xyxyxy22221()sin0 xyxy22221sinxyxy22xy0,当 时，220(0)(0)xy22221()sin0.xyxy原结论成立注意：注意：是指 P 以任何方式趋于P0.0PP00lim()xxf x00lim()xxf xA0lim().xxf xA一元：一元：多元：多元：0lim(),PPf xA()f xA00lim()xxyyf xA00lim(,)xxy yf x yA0()xP沿平行轴00lim(,)x xyyf x yA0()yP沿平行轴000()yyk x xP沿0lim(,)xxf x yA000()yk xxy0.()PP
12、以某种方式趋于(1)(1)令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP，若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在；(2)(2)找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 确定极限不存在不存在的方法：例例3 3 设解解22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yxyf x yx y取,ykx00lim(,)xy kxf x y2200lim()xy kxx kxx
13、kx其值随 k 的不同而变化。不存在00 lim(,).xyf x y求00lim(,)xyf x y 0lim 00,y00lim(,)xyf x y 0lim 00,x2.1kk故00lim(,)xyf x y01limlim),(lim24204423200,0),(xkxkxkxxkyxfxxkxyyx224(,)(0,0)0,0lim(,)lim0 x yxyxyf x yxy21lim),(lim22200,0,2xxxyxfxxyyx结论得证例例5 5 求解解2201lim(23).xyxyxy )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim10
14、10210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx .2103120 例例6 6 求极限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy2222200sin()lim,xyx yx yx yxy其中2200sin()limxyx yx y0sinlim1uuu2220|x yyxy00,y 22200sin()lim0.xyx yxy于是，2ux y四、多元函数的连续性定义定义3 3定义定义33 设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在在点点0P处不连续
15、，则称处不连续，则称0P是函数是函数)(Pf的的间断点间断点.注：注：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。例例 .0,0 ,0 ,0,0 ,),(22yxyxyxxyyxf.)0 ,0(是间断点是间断点.),(2xyxyyxf 时，时，当当 2xy.),(无定义无定义yxf2 (,)yxf x y故上的所有点均是的间断点。多元初等函数的连续性多元初等函数的连续性一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”)()()
16、(lim000定义区域定义区域 PPfPfPP 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数。例例7 7 求极限 12lim.xyxyxy(,)xyf x yxy解解是多元初等函数。定义域：(,)|0,0.Dx yxy1(1,2)(,)|0,0Dx yxy点.D于是，12limxyxyxy121 23.2（不连通）xoy例例8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D
17、上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2）介值定理介值定理四、小结多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数三、小结一、偏导数的定义及其计算法函数函数对对 x 的偏增量的偏增量0000000(,)(,)lim.xx xy yf xx yf xyfxx 偏导函数偏导函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数
18、(,),uf x y z例如，(,)x y z在处，0(,)(,)(,)lim,xxf xx y zf x y zfx y zx 0(,)(,)(,)lim,yyf x yy zf x y zfx y zy 0(,)(,)(,)lim.zzf x y zzf x y zfx y zz 偏导数本质上是一元函数的微分法问题偏导数本质上是一元函数的微分法问题时，时，求求 xf 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 x 求导数即可。时，时，求求 yf 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y 求导数即可。其它情况类似。解解zx23;xyzy32.xy12xyzx2 1 3 28,12x
19、yzy3 1 2 27.把 y 看成常量 把 x 看成常量 解解zx2 sin2;xyzy22cos2.xy把 y 看成常量 把 x 看成常量 证证zx1,yyxzyln,yxx1lnx zzy xx y11lnlnyyxyxxxyxyyxx2.z原结论成立解解zx22222 3|()xyyyxy22|.yxy2(|)yy2222211xxxxyxy2222222222211xxxxyxyxyxxyzy2222 3()|()xyxyyxy221sgnxxyy(0)y 00 xyzy不存在2222211yxxxyxy222222()()|()yxxyxyyxy证证RTpV2;pRTVV RTVp
20、;VRTppVTR;TVpRpVTVTp2RTVRpVR1.RTpV 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.解解22 0 xy当时，0 0 xy即或时，22(,)xxxyfx yxy2222 2()2()yxyx xyxy22222(),()y yxxy(1)(,).xfx y先求0(0,0)(0,0)limxfxfx 000lim0.xx 于是，222222222(),0,()(,)0,0.xy yxxyxyfx yxy考虑点(0,0)对 x 的偏导数，0 ,0 ,0 ,),(222222yxyxyxxyyxf（2）由对称性，有22222222
21、2(),0,()(,)0,0.yx xyxyxyfx yxy解解rxy，z 看成常量 22222xxyz222xxyz.xrrz22222zxyz222zxyz.zrx，y 看成常量、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在连续连续。连续连续。4 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义00000(,(,)(,),Mx yf x yzf x y设为曲面上一点如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 几何意义几何意义:22(,),xxzzfx yxxx22(,),yyzzfx yyyy2(,),
22、xyzzfx yyxx y 2(,).yxzzfx yxyy x 混合偏导混合偏导二、高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.2323(,),xxxzzfx yxxx2322(,),yyxzzfx yxyyx 23(,),xyyzzfx yyx yx y y 111.nnnnzzxyyx解解22333,x yyy3229x yxyx22zx26,xy32331xzx yxyxyx32331yzx yxyxyy22333xx yyy2zx y 22691,x yy22333yx yyy22zy3218xxy33zx26y2zy x 22691.x yy3229xx yxyx3229yx
23、 yxyx26xxy26,xy22333xx yyy2zx y 22691,x yy22333yx yyy22zx解解e sin;axbby 22ux22uy2ux y 2uy x e cos,axabycosaxxuebyxe cosaxyubyy2e cos,axabye cosaxxaby2e cos,axbby e sinaxybbye sin,axabby e cosaxyabye sin.axabby e sinaxxbby混合偏导数相等的条件混合偏导数相等的条件22220.uuxy解解),ln(21ln2222yxyxu 22221yxy ,22yxx ,22yxy 22221y
24、xx xyxxu )ln(2122 yyxyu )ln(2122 22222,()yxxy22222()2()xyxxxy 22ux22xxxy222222222222220()()uuyxxyxyxyxy22222,()yxxy22222()2()xyxxxy 22ux22xxxy由对称性2222222()uxyyxy于是000)0,0()0,(lim)0,0(0 xxuxuuxx故 10)0,0(),0(lim)0,0(0yyyuyuuxxyxy 同理1)0,0(,)0,(yxyuxxu 故)0,0()0,0(yxxyuu.22222222)0(,)00 xy xyxyxyu x yxy（
25、偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）(注意：混合偏导数相等的条件)三、小结思考题思考题思考题解答不能.,),(22yxyxf 例如,一、全微分的定义二、可微的条件三、小结一、全微分的定义一、全微分的定义),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 全微分的定义全微分的定义d.zA xB y 事实上(),zA xB yo 0lim0,z 00lim(,)xyf xx yy 0lim(,)f x yz(,)f x y可微与连续
26、可微与连续二、可微的条件二、可微的条件d.zzzxyxy d,d.xxyy ddd.zzzxyxy或证证(,)(,)()zf xx yyf x yA xB yo (,)-(,)f xx yf x y(|),Axox 0(,)(,)limxf xx yf x yAx,zx同理可得.zBy一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例例2222220(,).00 xyxyxyf x yxy微分存在全微分存在(0,0)(0,0)xyzfxfy 22,()()xyxy 则22()()xyxy 22()()xxxx 1,2 0 即，当时，(0,0)(0,0)xyzfxfy (0,0)(0,0)(),x
27、yzfxfyo 即0多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。证：由微分中值定理由微分中值定理由定理条件由定理条件所以函数在点可微.注意到 故有ddd.zzzxyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数dddd.uuuuxyzxyz 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理解解e,xyx dddzzzxyxye de d.xyxyyxxy22de d2e d.zxy(2,1)处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。e,xyyexyxzx exyyzy 解解cos(2)2 sin(2)xyyxy(
28、,)4(,)(,)44dddzzzxyxy2=(4-7).8cos(2)xzyxyxsin(2)yxycos(2)yzyxyy解解1cose22yzyzeyzy所求全微分1dd(cose)de d.22yzyzyuxzyyzsine12yzxuyxxsine2yzyuyxysine2yzzuyxz证证 （1）令cos,xsin,y(,)(0,0)lim(,)x yf x y(0,0)0f2222 3 2(,)(0,0)lim()x yx yxy220limsincos000(,0)(0,0)00(0,0)limlim0,xxxfxffxx 00(0,)(0,0)00(0,0)limlim0,y
29、yyfyffyy (,)(0,0)lim(,)x yf x y2222 3 2(,)(0,0)lim()x yx yxy220limsincos0(0,0)f(0,0)(0,0)xyffxfy 2222 3 222()()()()()()xyxyxy 2222 2()()()()xyxy 2222 2(0,0)(0,0)()()1()()4xyffxfyxxxx (0,0)(0,0)()xyffxfyo 即2222 2(0,0)(0,0)()()1()()4xyffxfyxxxx 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续 偏导数连续偏导数存在三、小结三、小
30、结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）一、链式法则二、全微分形式不变性三、小结一、链式法则一、链式法则 z uvx 型ddd.dddzzuzvxuxv x证证 设 x 取增量x,则相应中间变量有增量u,v,(全导数公式全导数公式)(x0 时,根式前加“”号)定理推广到中间变量多于两个的情况.如dddd.ddddzzuz vzwxuxv xwx以上公式中的导数 称为ddztuvw x 型z中间变量不是一元函数而是多元函数的情况中间变量不是一元函数而是多元函数的情况 z uvxy型,zz
31、uz vxuxv x .zzuzvyuyv y 链式法则如图示uvxzyuvxzy,zzuzvxuxvx .zzuzvyuyv y zzuzvzwyuyv ywy zzuz vzwxuxv xwx zwvuyx进一步的推广进一步的推广特殊地(,)zf u x y(,)ux y即(,),zfx y x y,xfxuufxz .yfyuufyz 令,vx,wy其中1,vx0,wx0,vywy=1 1.区别类似解解ddztesincostvutt e cose sincosttttte(cossin)cos.ttttzuddutzvddvtztz uvtt 型解解e sine cos1uuv yve
32、 sine cos1uuv xv z uvxy型e sin()cos().xyyxyxye sin()cos().xyxx yx yzzuzvxuxvx zzuz vyu yv y 解解zfufxuxxzfufyuyy2222222 e2 sin2 exyuxyuuxyx22222(1 2sin)e.xyuxxy22222222 e(cos)2 exyuxyuuxyy2224(2sin2)e.xyuyxy解解ddzfuxux令,uxxy则().zf u()fxxy(1)yddzfuyuy().xfxxyz uxy型解解令,uxyzvxyz记1,ffu21112,fffuu 2ffv2112ff
33、fu vv 21222fffvv w uvxyz型 (,)wf u v则2221.fffv uu 二阶偏导连续2wx z 12()fyzfz122ffyfyzzz1fz1112fxyf2fz2122fxyf因此，2wx z 1112fxyf2yf 2122()yz fxyf21112222()fy xz fxy zfyfwxfufvuxvx 12fy z f于是，,uxyzvxyzw uvxyz型二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。（2）如果 u，v 是中间变量，(,),(,).ux yvx y有全微分：dddzzzxyxy事实上，d dzuz vz
34、uz vxyuxv xuyv y ddddzuuzvvxyxyuxyvxydd.zzuvuv全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：无论无论 z 是自变量是自变量 u，v 的函数或中间变量的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.dddzzzxyxy解解dddzzzuvuv(e sin)d()(e cos)d()uuvxyvxy(e sin)dd(e cos)dduuvy xx yvxye(sincos)de(sincos)duuyvvxxvvye sin()cos()dxyyxyxyxe sin()cos()d.xyxxyxyyxz yz
35、 解解d e2e d(0),xyzzed()2de d0,xyzxyzz(e2)de(dd),zxyzx yy xeeddd,(e2)(e2)xyxyzzyxzxyzxe,e2xyzyzye.e2xyzx1、链式法则（分二种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结三、小结一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结0),(.1 yxF一、一个方程的情形隐函数的求导公式d.dxyFyxF 解解令22(,)1F x yxy则2,xFx2,yFy(0,1)0,F(0,1)20yF000,1.xy均连续。ddxyFyxF,xy 0d0,dxyx222ddyyxyx
36、y 2xyxyy 31,y 220d1.dxyx 函数的一阶和二阶导数为解解令则22(,)lnarctan,yF x yxyx22,xyxy22,yxxyddxyFyxF.xyyx 22lnarctanxxyFxyx22lnarctanyyyFxyx2.(,)0F x y z 解解令则222(,)4,F x y zxyzz2,xFx24zFz2(2)2(2)xzxzz 223(2).(2)zxzxzFzxF 2xz22zx2(2)(2)zzxxz 2xxz解解1 1：(,)(,).F x y zzf xyzxyz令xvxuxyzfzyxf)()(,uxyz,vxyz).(vufzxf (,).
37、Fzf u v xxvufzF),(),(vufzyf yvyuxyzfzyxf)()(yyvufzF),(.1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),(于是，xzFzxF.1uvuvfyz ffxy fyxFxyF.uvuvfxz ffyz f 1.uvuvfxy ffxz fzyFyzF ().yuvFfxz f 1.zuvFfxyf (),xuvFfyz f 思路思路2 2：解解2 2：令,uxyz,vxyz则(,),zf u vzfufvxuxvx(1)uzfx()vzfyzxyx(1)uvuvzfxy ffyz fx整理得zx,1uvuvfyz ffxy
38、 f0(1)uxfy(),vxfxzyzy整理得,uvuvfxz ffyz f xy1(1)uyfz(),vyfxyxzz整理得yz1.uvuvfxy ffxz f(,)0(,)0F x y u vG x y u v二、方程组的情形(,),(,)uu x yvv x y何时唯一确定函数？?xu?yu?xv?yv1(,)(,)xvuvxvuvFFFFuF GGGGGxJx v 1(,)(,)uxuvuxuvFFFFvF GGGGGxJu x 1(,)(,)yvuvyvuvFFFFuF GGGGGyJy v 1(,)(,)uyuvuyuvFFFFvF GGGGGyJu y 公式的推导公式的推导(,
39、)0(,)0F x y u vG x y u v (,),(,).uu x yvv x y确定了即，,(,),(,)0,(,),(,)0F x y u x y v x yG x y u x y v x y等式两边对 x 求导，00 xuvxuuuvFFFxxuvGGGxxuvxuuxuvFFFxxuvGGGxx 现uvuvFFDGG0,J方程组有唯一解。1xvxvFFDGGxvxvFFGG(,)(,)F Gx v 2uxuxFFDGGuxuxFFGG(,)(,)F Gu x 1DuxD1(,).(,)F GJx v2DvxD1(,).(,)F GJu xuvxuuxuvFFFxxuvGGGxx
40、 类似，对,(,),(,)0,(,),(,)0F x y u x y v x yG x y u x y v x y等式两边对 y 求导，得关于,uvyy的线性方程组。解方程组得uy1(,).(,)F GJy vvy1(,).(,)F GJu y1DuxD1(,).(,)F GJx v2DvxD1(,).(,)F GJu x特别地，方程组(,)0(,)0F x y zG x y z (),(),yy xzz x可以确定函数且(,)d(,),(,)d(,)xzxzyzyzFFF GGGyx zF GFFxy zGG (,)d(,).(,)d(,)yxyxyzyzFFF GGGzy xF GFFxy
41、 zGG 例例5 5 设22250234xyzxyzdd ,.ddyzxx求解解 1 1：令222(,)500F x y zxyz(,)2340G x y zxyz则(,)(,)yzyzFFF GGGy z2xFx2yFy2zFz1xG 2yG 3zG 2223yz64.yz(,)(,)xzxzFFF GGGx z2213xz62.xz(,)(,)F Gy x(,)(,)F Gx z62xz24.yx),(),(),(),(zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),(),(),(zyGFxyGFdxdz ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 时，时，当当 046 )
42、,(),(zyzyGF22250234xyzxyz解解 2 2：方程两端对 x 求导。dd2220dddd1 230ddyzxyzxxyzxx注意：(),yy x().zz x即得dd,dddd231.ddyzyzxxxyzxx 23yzD 32yz113xzD3,zx221yxD2.xy1ddDyxD2ddDzxD3,32zxyz2,32xyyz 0 D 当时,dd,dddd231.ddyzyzxxxyzxx 23yzD 32yz解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法。将所给方程的两边对 x 求导并移项:uvxyuxxuvyxvxx xyDJyx22xy1DuxD22,xuyvxy 2Dv
43、xD22,yuxvxy将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得22uxvyuyxy22vxuyvyxy 1 uyDvxuxyv 2 xuDyv.yuxv22Dxy隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结三、小结（分下列几种情况）常用解法：公式法方程两边求导法第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线和法平面二、曲面的切平面与法线一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位置.过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平
44、面法平面.点击图中任意点动画开始或暂停x (t),y (t),z (t)假定(t),(t),(t)都在 上可导 在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0,y0,z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x,y0+y,z0+z)作曲线的割线MM0,其方程为 zzzyyyxxx000tzzztyyytxxx000或M0MM0MT 在割线方程两端令MM0,即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为 000000()()()xxyyzzttt切线的方程切线的方程 曲线的切向量曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量切向量 向量 T(t0),(t0),(t0)就是曲线在点M0处的一个切向量 000000(
45、)()()xxyyzzttt 法平面法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面,其法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 法平面的方程法平面的方程说明说明:若引进向量函数,则就是该点的切向量.例例1 1 求曲线x t,y t 2,z t 3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程 解解 因为xt1,yt2t,zt3t2,而点(1,1,1)所对应的参数t1,所以切向量为 T(1,2,3)于是,切线方程为 312111zyx法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0,即 x2y3z6 txcos1,tysin,2cos2tz,故该点处的切线方程为
46、 22211112zyx法平面方程为 0)22(2112zyx即 422zyx问题与讨论问题与讨论1 若曲线的方程为 y (x),z (x)问其切线和法平面方程是什么形式?讨论讨论 曲线方程可看作参数方程 x x,y (x),z (x),切向量为T(1,(x),(x)在点),(000zyx处的切线方程)()(100000 xzzxyyxx法平面方程 0)()()(00000zzxyyxxx2 若曲线的方程为 F(x,y,z)0,G(x,y,z)0 问其切线和法平面方程又是什么形式?讨论讨论 两方程确定了两个隐函数 y (x),z (x),曲线的参数方程为 x x,y (x),z (x),由方程
47、组 dd0dddd0ddxyzxyzyzFFFxxyzGGGxx可解得(,)d(,),(,)d(,)xzxzyzyzFFF GGGyx zF GFFxy zGG (,)d(,).(,)d(,)yxyxyzyzFFF GGGzy xF GFFxy zGG 所以在点M0处的切向量为000(,)(,)(,),(,)(,)(,)MMMF GF GF Gy zz xx yT所以曲线在),(0000zyxM处的切线方程为 000),(),(),(),(),(),(000MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000000zzyxGFyyxzG
48、FxxzyGFMMM 例例3 3 求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程 解解 为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得 dd2220dddd10ddyzxyzxxyzxx解方程组得 ddyzxxyzddzxyxyz 在点(1,2,1)处 d0dyxd1dzx 从而 T(1,0,1)从而 T(1,0,1)所求切线方程为 110211zyx法平面方程为 (x1)0(y2)(z1)0,即 xz0 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 设曲面的方程为 F(x,y,z)0,M0(x0,y0,z0)是曲面上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时
49、为零不同时为零 在曲面上,通过点M0任意引一条曲线,假定曲线的参数方程式为 x (t),y (t),z (t)t t0对应于点M0(x0,y0,z0),且(t0),(t0),(t0)不全为零 曲线在点的切向量为 T(t0),(t0),(t0)考虑曲面方程F(x,y,z)0两端在tt0的全导数 Fx(x0,y0,z0)(t0)Fy(x0,y0,z0)(t0)Fz(x0,y0,z0)(t0)0 引入向量 nFx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)则有TnTnM0 易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线,它们在点M0的切线都与同一向量n垂直,
50、所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面切平面 切平面和法向量切平面和法向量切平面的方程 Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0 曲面的法线曲面的法线 通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线法线 法线方程为 000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz切平面和法线方程切平面和法线方程 例例3 3 求球面x2y2z214在点(1,2,3)处的切平面及法线方程式 解解 曲面的方程为 F(x,y,z
