1、1 本章主要教学内容本章主要教学内容数值积分法数值积分法的基本原理及其主要内容的基本原理及其主要内容快速仿真算法快速仿真算法的基本原理及其主要内容的基本原理及其主要内容离散相似法离散相似法的基本原理及其仿真应用的基本原理及其仿真应用线性系统线性系统的仿真方法的仿真方法非线性系统非线性系统的仿真方法的仿真方法采样控制系统采样控制系统的仿真方法的仿真方法第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 2本章教学目的及要求本章教学目的及要求掌握掌握数值积分法和快速仿真算法数值积分法和快速仿真算法的原理及应用的原理及应用掌
2、握掌握离散相似法离散相似法的原理应用的原理应用熟悉熟悉线性系统、非线性系统、采样系统线性系统、非线性系统、采样系统的仿真处理的仿真处理过程过程第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 34.1 4.1 数值积分法数值积分法 系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是法主要是数值积分法数值积分法。设系统常微分方程为：设系统常微分方程为：（4-14-1）为包含有时间为包含有时间t t和函数和函数y y的表达式，的表达式，y y0 0为函数为函数y y在初始在初始时刻时刻t t0 0时的对应初值。我们将求解方程（
3、时的对应初值。我们将求解方程（4-14-1）中函数）中函数 的的问题称为问题称为常微分方程数值求解问题常微分方程数值求解问题。00)(),(ytyytfdtdy),(ytf)(ty第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 44.1.1 4.1.1 欧拉（欧拉（EulerEuler）法）法1 1欧拉公式的推导欧拉公式的推导 将式（将式（4-14-1）在小区间上进行积分可得：）在小区间上进行积分可得：1),(1kkttkkdtytfyy),(),(1kkttythfdtytfkk其其几何意义几何意义是把是把 ),(ytf在在,1kktt 区间内的区间内的曲边面积曲边面积用用矩
4、形面积矩形面积近似代替，如图近似代替，如图4-14-1所示。所示。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 5tf(t,y)0fktktk+1h图 5-1 欧 拉 法 数 值 积 分 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 6当当h h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：),(1kkkkythfyy称之为欧拉公式。称之为欧拉公式。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 72.2.欧拉法具备以下欧拉法具备以下特点特点：（1 1）欧拉法实际上是采用）欧拉法实际上是采用折线代替了
5、实际曲线折线代替了实际曲线，也称之为，也称之为折线法。折线法。（2 2）欧拉法）欧拉法计算简单，容易实现计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推。由前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为就可以求出后一点值，所以称为单步法单步法。（3 3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于不需要其它信息，因此它属于自启动模式自启动模式。（4 4）欧拉法是一种近似的处理，）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差存在计算误差，所以系统，所以系统的的计算精度较低计算精度较低。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算
6、机仿真算法分析 84.1.2 4.1.2 梯形法梯形法1 1梯形公式梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算公式来代替曲线下的定积分计算，如图，如图4-24-2所示。所示。依然对式（依然对式（4-14-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：后，其输出为：),(),(2111kkkkkkytfytfhyy 称为梯形积分公式称为梯形积分公式 。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 9tf(t,y)0fktktk+1hfk+
7、1图 5-2 梯 形 法 数 值 积 分 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 10 从中可以看到，在计算从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也含时，其右端函数中也含有有 ，这种公式称为，这种公式称为隐式公式隐式公式，不能靠自身解决，需要采用，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为迭代方法来启动，称之为多步法多步法。可以先采用欧拉公式进行预。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用报，再利用梯形公式进行校正梯形公式进行校正。即梯形法的预报。即梯形法的预报校正公式校正公式 ：1ky1ky),(),(21),(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyy
8、ythfyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 112.2.梯形法具备以下梯形法具备以下特点特点：（1 1）采用）采用梯形代替欧拉法的矩形梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其来计算积分面积，其计算精计算精度要高于欧拉法度要高于欧拉法。（2 2）采用预报）采用预报校正公式，每求一个校正公式，每求一个 ，计算量计算量要比欧拉要比欧拉法多一倍。因此法多一倍。因此计算速度较慢计算速度较慢。（3 3）梯形公式中的）梯形公式中的右端函数含有未知数右端函数含有未知数，不能直接计算左端，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解
9、迭代法求解。即梯形法。即梯形法不能自启动，要靠不能自启动，要靠多步法来实现计算多步法来实现计算。ky第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 124.1.3 4.1.3 龙格龙格库塔（库塔（RungeRungeKuttaKutta）法）法1 1龙格龙格库塔公式库塔公式 二阶龙格二阶龙格库塔公式库塔公式 ：),(),()(2121211hkyhtfkytfkkkhyykkkkkk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 13四阶龙格四阶龙格库塔公式库塔公式 ：),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfk
10、khyhtfkytfkkkkkhyykkkkkkkkkk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 142.2.龙格库塔法龙格库塔法特点特点：（1 1）为）为单步法单步法，并且可，并且可自启动自启动。（2 2）改变）改变仿真步长仿真步长比较方便，可根据比较方便，可根据精度要求精度要求而定。而定。（3 3）仿真）仿真计算量与仿真步长计算量与仿真步长h h的大小密切相关，的大小密切相关，h h值越小值越小计算精计算精度越高，但所需度越高，但所需仿真时间仿真时间也就越长。也就越长。（4 4）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取h h的
11、一次项，的一次项，即为即为欧拉法欧拉法计算公式；若取到计算公式；若取到h h2 2项，则为项，则为二阶龙格库塔法二阶龙格库塔法计算计算公式；若取到公式；若取到h h4 4项，则为项，则为四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法计算公式。计算公式。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 154.1.4 4.1.4 数值积分公式的应用数值积分公式的应用【例【例4.14.1】已知一阶系统的微分方程为：已知一阶系统的微分方程为：，初始条件，初始条件 ，取，取仿真步长仿真步长h=0.1h=0.1，分别用，分别用欧拉欧拉法、梯形法和龙格法、梯形法和龙格库塔法库塔法计算该系统仿真第一步的值。计算
12、该系统仿真第一步的值。102ydtdy1)(00 yty解：原方程可变为解：原方程可变为:ydtdy210 即即 1210),(0yyytfkkk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 16 （1 1）用欧拉法计算）用欧拉法计算 根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：系统仿真第一步的值：8.1)1210(1.01),(0001ythfyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 17（2 2）用梯形法计算：）用梯形法计算：根据预报根据预报校正公式，将函数表达式及其初始
13、值代入后，校正公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。可得仿真第一步的值。用预报公式求起始值：用预报公式求起始值：8.1)1210(1.01),(0001)0(ythfyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 18再用校正公式得到系统仿真第一步的值：再用校正公式得到系统仿真第一步的值：72.1)8.1210()1210(1.0211),(),(211)0(10001ytfytfhyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 19（3 3）用二阶龙格）用二阶龙格库塔法计算库塔法计算 根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：根
14、据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：812100),(001yytfk4.6)81.01(210)(210),(101002hkyhkyhtfk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 20则系统仿真第一步的值为：则系统仿真第一步的值为：72.1)4.68(1.0211)(22101kkhyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 21（4 4）用四阶龙格）用四阶龙格库塔公式计算库塔公式计算根据公式先计算出根据公式先计算出4 4个系数，再计算仿真第一步的值：个系数，再计算仿真第一步的值：81210210),(0001yytfk2.7)81
15、.0211(210)2(210)2,2(101002khykhyhtfk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 2228.7)2.71.0211(210)2(210)2,2(202003khykhyhtfk544.6)28.71.01(210)(210),(303004hkyhkyhtfk第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 23则系统仿真第一步的值为：则系统仿真第一步的值为：725067.1)544.628.722.728(1.0611)22(6432101kkkkhyy第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 24从上
16、述结果可以看出从上述结果可以看出:对于对于同一个系统同一个系统进行仿真计算时，其值的进行仿真计算时，其值的精度精度是随着数是随着数值积分公式的变化而改变的，其中值积分公式的变化而改变的，其中欧拉法计算精度最低欧拉法计算精度最低，其，其次为梯形法和二阶龙格次为梯形法和二阶龙格库塔法，库塔法，四阶龙格四阶龙格库塔法计算精库塔法计算精度最高度最高。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 254.1.5 4.1.5 仿真精度与系统稳定性仿真精度与系统稳定性1.1.仿真过程的误差仿真过程的误差（1 1）初始误差初始误差:现场采集数据不一定很准，会造成仿真过程中现场采集数据不一定很
17、准，会造成仿真过程中产生误差，称为初始误差。产生误差，称为初始误差。应对现场数据进行准确的检测应对现场数据进行准确的检测，也，也可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。（2 2）舍入误差舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不有效值不一致一致，导致仿真过程出现舍入误差。，导致仿真过程出现舍入误差。应选择挡次高的计算机，应选择挡次高的计算机，其其字长越长字长越长，仿真数值结果尾数的，仿真数值结果尾数的舍入误差就越小舍入误差就越小。（3 3）截断误差截断误差:仿真步距确定后，数值积分公式的仿真步距确定后，数值积分公式
18、的阶次阶次将导致将导致系统仿真时产生截断误差，系统仿真时产生截断误差，阶次越高，截断误差越小阶次越高，截断误差越小。仿真时。仿真时多采用四阶龙格多采用四阶龙格库塔法，其截断误差较小。库塔法，其截断误差较小。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 262.2.仿真过程的稳定性仿真过程的稳定性 计算结果计算结果对系统仿真的对系统仿真的计算误差反应不敏感计算误差反应不敏感，称之为算法，称之为算法稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。最终可能导致仿真计算达不到
19、系统要求而失败。（1 1）系统的稳定性与仿真步长的关系）系统的稳定性与仿真步长的关系 一个数值解是否稳定，取决于该一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根是否系统微分方程的特征根是否满足稳定性要求满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，在仿真时要保证稳定就要在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长合理选择仿真步长，使微分方程的解处，使微分方程的解处于稳定区域之中。于稳定区域之中。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 27（2 2）积分步长的选择）积分步长的选择 由于由于积分步长积分步长直接与系统的直接与系统
20、的仿真精度仿真精度和和稳定性稳定性密切相关，密切相关，所以所以应合理地选择积分步长应合理地选择积分步长h h的值。的值。通常遵循两个原则：通常遵循两个原则：使仿真系统的使仿真系统的算法稳定算法稳定。使仿真系统具备一定的使仿真系统具备一定的计算精度计算精度。一般掌握的原则是：在一般掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精度保证计算稳定性及计算精度的要求的要求下，尽可能下，尽可能选较大的仿真步长选较大的仿真步长。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 28 由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格库塔法居多，所库塔法居多，所以选择仿真积分步长可参考
21、以下公式：以选择仿真积分步长可参考以下公式：时域内：时域内：；其中；其中tsts 为系统过渡过程调节时间为系统过渡过程调节时间 频域内：频域内：；其中；其中 为系统的开环截止频率为系统的开环截止频率40sth ch51c第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 294.2 4.2 快速仿真算法快速仿真算法4.2.1 4.2.1 时域矩阵法时域矩阵法 时域矩阵法时域矩阵法是一种在时域内采用无穷矩阵进行系统仿真的算是一种在时域内采用无穷矩阵进行系统仿真的算法，它每一步的法，它每一步的计算量较小计算量较小，而且，而且与系统阶次无关与系统阶次无关，适合于，适合于系统的快速仿真。系
22、统的快速仿真。1.1.时域矩阵的概念时域矩阵的概念 式中：式中：Y Y 给定系统采样时刻的给定系统采样时刻的输出矩阵输出矩阵 G G 时域矩阵时域矩阵 U U 采样时刻的采样时刻的输入变量离散序列输入变量离散序列UGY第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 30 2.2.时域矩阵的求取时域矩阵的求取 根据系统的根据系统的传递函数传递函数 ，经过，经过拉氏变换求出拉氏变换求出 ，再求，再求出出特定采样时刻特定采样时刻的的 ，即可组成，即可组成时域矩阵时域矩阵G G。3.3.求解闭环系统的动态响应求解闭环系统的动态响应 时域矩阵法求解闭环系统动态响应的时域矩阵法求解闭环系统
23、动态响应的基本思想基本思想是：是：在特定输入信号作用下，即在特定输入信号作用下，即R R是已知是已知的；而系统在前一时刻的的；而系统在前一时刻的采样值，即采样值，即初始条件是已知初始条件是已知的，这样即可求出的，这样即可求出E ER RC C。在求出。在求出误差时间序列矩阵误差时间序列矩阵E E以后，由系统给定的传递函数求其脉冲过程以后，由系统给定的传递函数求其脉冲过程函数函数,再再求出系统的时域矩阵求出系统的时域矩阵G G，最后利用，最后利用C=GC=GE E求出系统的最求出系统的最终输出响应终输出响应。)(sG)(tg)(kTg第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析
24、 314.4.时域矩阵法的时域矩阵法的特点特点（1 1）多用于采样控制系统多用于采样控制系统，由于采用脉冲过程函数来计算系统，由于采用脉冲过程函数来计算系统的闭环响应，不会因的闭环响应，不会因系统阶次的增加而加大计算工作量系统阶次的增加而加大计算工作量，从而提，从而提高了仿真速度；但有时高了仿真速度；但有时求解高阶系统的脉冲过渡函数求解高阶系统的脉冲过渡函数会有一定的会有一定的难度。难度。（2 2）由于每个采样时刻的）由于每个采样时刻的 是准确计算出来的，所以采用时是准确计算出来的，所以采用时域矩阵法仿真时系统的域矩阵法仿真时系统的采样周期采样周期（或仿真步距）可以选得大些。（或仿真步距）可以
25、选得大些。（3 3）时域矩阵法可）时域矩阵法可推广到非线性系统推广到非线性系统的快速仿真。的快速仿真。)(kg第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 324.2.2 4.2.2 增广矩阵法增广矩阵法 增广矩阵法是将系统的增广矩阵法是将系统的控制量增广到状态变量控制量增广到状态变量中，使原来中，使原来的的非齐次常微分方程变为一个齐次方程非齐次常微分方程变为一个齐次方程。基本思想基本思想:已知连续系统的状态方程为：已知连续系统的状态方程为：其解为：其解为：BuAXXdBuexetxttAAt)()0()(0)(第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析
26、33 这是这是自由项强制项自由项强制项两个部分的组合。若把控制量两个部分的组合。若把控制量u(tu(t)增广增广到状态量中去，就可以变成到状态量中去，就可以变成齐次方程齐次方程，然后再利用，然后再利用 求求出其解为出其解为:AXX)0()(xetxAt由于由于系数矩阵系数矩阵是可求出的，这就使仿真计算变成每次只作一是可求出的，这就使仿真计算变成每次只作一个十分简单的个十分简单的乘法运算乘法运算，从而提高了，从而提高了系统的仿真速度系统的仿真速度。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 344.2.3 4.2.3 替换法替换法 1.1.基本思想基本思想 对于高阶系统，如果
27、能从它的对于高阶系统，如果能从它的传递函数直接推导出传递函数直接推导出与之相与之相匹配且允许较大采样周期匹配且允许较大采样周期T T的的脉冲传递函数脉冲传递函数，由此获得仿真模型，由此获得仿真模型，将会十分将会十分有利于提高仿真速度有利于提高仿真速度。相匹配的含义是指若。相匹配的含义是指若 是稳定的，那么是稳定的，那么 也是稳定的，同时，输入相同外作用信也是稳定的，同时，输入相同外作用信号时，由号时，由 求出的响应和由求出的响应和由 求出的响应求出的响应具有相同的特具有相同的特征征。如果利用如果利用s s与与z z的对应公式，将中的的对应公式，将中的s s替换为替换为z z，求得的表达，求得的
28、表达式，这种方法称为式，这种方法称为替换法替换法。)(sG)(zG)(zG)(sG第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 352.2.双线性替换公式（图士汀公式）双线性替换公式（图士汀公式）双线性替换公式双线性替换公式（图士汀公式）是从梯形积分公式中推导（图士汀公式）是从梯形积分公式中推导出来的，按此公式进行替换，可以出来的，按此公式进行替换，可以保证的稳定性保证的稳定性，同时也具有，同时也具有较高的仿真速度较高的仿真速度。已知梯形公式为：已知梯形公式为：）（112nnnnxxTxx图士汀公式图士汀公式 为为:2/12/1TsTsz第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控
29、制系统计算机仿真算法分析 364.2.4 4.2.4 根匹配法根匹配法1.1.基本思想基本思想 连续系统的连续系统的动态特性动态特性取决于描述该系统的取决于描述该系统的传递函数中的开传递函数中的开环增益及零点分布环增益及零点分布。当系统传递函数为：。当系统传递函数为：)()()()()(2121nmpspspsqsqsqsksG为了实现系统为了实现系统快速仿真快速仿真，应构造一个，应构造一个 ，它允许，它允许较大的采样较大的采样周期周期T T，且能保证，且能保证 在在零、极点分布零、极点分布上与上与 一致，动态响一致，动态响应也一致，这种方法称为根匹配法。应也一致，这种方法称为根匹配法。)(z
30、G)(zG)(sG（4-11）第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 37即：即：)()()()()(2121nmzpspspsqsqsqskzG2.2.根匹配法的一般步骤根匹配法的一般步骤 根匹配法应根匹配法应满足条件满足条件：具有：具有相同数目的零极点相同数目的零极点；零极点相；零极点相互匹配；终值应相等；具有互匹配；终值应相等；具有相同的动态响应相同的动态响应。根匹配法处理的根匹配法处理的一般步骤一般步骤：（1 1）给定给定系统系统传递函数传递函数，转换为式（，转换为式（4-114-11）的形式。）的形式。（2 2）求出求出传递函数的传递函数的零、极点零、极点。（
31、3 3）利用映射关系）利用映射关系映射到映射到ZZ平面上。平面上。（4 4）按）按零、极点匹配零、极点匹配的原则构造。的原则构造。（5 5）用）用终值定理终值定理相等的原则确定相等的原则确定KzKz。（6 6）附加零点的处理附加零点的处理，即有，即有n nm m个零点位于个零点位于ZZ平面的原点。平面的原点。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 384.3 4.3 离散相似法离散相似法 利用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，得到的仿真利用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，得到的仿真结果实际上是各状态变量在结果实际上是各状态变量在计算步距点上的数值计算步距点上的数值
32、，也就是时间，也就是时间离散点上的数值，这等效于将一个连续系统看作是离散点上的数值，这等效于将一个连续系统看作是时间离散系时间离散系统统，为此，我们引入离散相似法的有关概念。，为此，我们引入离散相似法的有关概念。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 39 4.3.1 4.3.1 仿真算法描述仿真算法描述 所谓所谓离散相似法离散相似法，就是将一个连续系统进行，就是将一个连续系统进行离散化处理离散化处理，从而得到与之等价的从而得到与之等价的系统离散模型系统离散模型，通常，此种方法是按系统，通常，此种方法是按系统的的动态结构图来建立仿真模型动态结构图来建立仿真模型。在计算过
33、程中，可以按各。在计算过程中，可以按各典型典型环节离散相似模型环节离散相似模型的输入来计算环节的输出。的输入来计算环节的输出。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 401.1.典型环节的离散化模型典型环节的离散化模型保持器U(t)y*U(KT)TT状态方程图图4-5 连续系统模型的离散化连续系统模型的离散化第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 41 使用使用零阶保持器零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：，可得到离散化状态方程的解：)()()()()1(nuTnxTnxm若使用若使用三角保持器三角保持器，离散化状态方程解的形式为：，离散化状态
34、方程解的形式为：)()()()()()()1(nuTnuTnxTnxmm第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 42 环节的离散系数为环节的离散系数为:e=(T)e=(T)(T0)-A(TmT0)-A(TmBdBdeTAT已知已知系统系统A A、B B系数矩阵系数矩阵后，可求出各环节的离散系数后，可求出各环节的离散系数)(),(),(TTTmm，带入带入相应差分方程相应差分方程，再根据状态变量的初值，再根据状态变量的初值，就可以求出就可以求出不同采样时刻的各状态变量数值不同采样时刻的各状态变量数值。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 434.
35、3.2 4.3.2 典型环节的离散模型典型环节的离散模型1.1.积分环节积分环节 积分环节的传递函数为：积分环节的传递函数为：sKsUsYsG)()()(环节离散系数为：环节离散系数为：2m21)()(1)(KTTKTTTm第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 44离散方程为：离散方程为：)1()1()(21)()()1(2nxnynuKTnKTunxnx第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 45 2.2.比例积分环节比例积分环节比例积分环节的传递函数为：比例积分环节的传递函数为：sbsKsUsYsG)1()()()(环节离散系数为环节离散系
36、数为:2m21)()(1)(KTTKTTTm第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 46离散方程为离散方程为：)1()1()1()(21)()()1(2nbKunxnynuKTnKTunxnx第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 473.3.惯性环节惯性环节惯性环节的传递函数为：惯性环节的传递函数为：asKsUsYsG)()()(环节离散系数为：环节离散系数为：TaKeaKTeaKTeTaTmaTaT)1()()1()()(2m第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 48离散方程为：离散方程为：)1()1()()1()(
37、)1()()1(2nxnynuTaKeaKnueaKnxenxaTaTaT第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 494.4.比例惯性环节比例惯性环节 比例惯性环节的传递函数为：比例惯性环节的传递函数为：asbsKsUsYsG)()()(环节离散系数：环节离散系数：TaKeaKTeaKTeTaTmaTaT)1()()1()()(2m第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 50离散方程为：离散方程为：)1()1()()1()()1()()1()()1(2nKunxabnynuTaKeaKnueaKnxenxaTaTaT第第4章章控制系统计算机仿真算
38、法分析控制系统计算机仿真算法分析 514.4 线性系统仿真4.4.1线性系统的数值积分法仿真 1.面向系统方程的仿真原理分析 采用数值积分法对系统进行仿真时，描述系统的数学模型通常可以用系统的微分方程或传递函数等形式，下面我们针对图4-6中所示的典型系统进行分析。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 52 图图4-6 仿真系统模型结构仿真系统模型结构 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 53该系统的开环传递函数为：该系统的开环传递函数为：变换后的状态方程为：变换后的状态方程为：G sy su sc sc scscsa sasammmmnnn
39、n()()().0111111RBXCBAX)(第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 54 在图在图4-64-6系统模型结构基础上，编制相应的系统模型结构基础上，编制相应的仿真计算程仿真计算程序序，将传递函数中的分子和分母多项式系数、输入输出变量，将传递函数中的分子和分母多项式系数、输入输出变量初始值送入程序中，完成初始值送入程序中，完成模型由传递函数向状态方程模型由传递函数向状态方程的转换；的转换；再根据系统仿真的要求，分别再根据系统仿真的要求，分别输入仿真步长输入仿真步长、打印间隔和次、打印间隔和次数、外部输入信号幅值等，然后，数、外部输入信号幅值等，然后，调用数
40、字积分子程序完成调用数字积分子程序完成仿真计算仿真计算，最后将仿真结果送到指定的设备输出。该仿真工，最后将仿真结果送到指定的设备输出。该仿真工作过程及逻辑结构示意于图作过程及逻辑结构示意于图4-74-7中。中。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 55开 始输 入 系 统 阶 次、计 算 步 长、阶 跃 函 数 幅 值输 入 传 递 函 数 分 子、分 母 系 数求 状 态 方 程 系 数 矩 阵A,B,C求 四 阶 龙 格 库 塔 法 各 系 数计 算 状 态 变 量Ki，j计 算 输 出 值输 出 仿 真 结 果？NY结 束时 间 到图图4-7 面向方程的线性系统
41、仿真框图面向方程的线性系统仿真框图第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 562.2.面向系统结构图的仿真原理分析面向系统结构图的仿真原理分析基本思想：基本思想：把一个复杂的把一个复杂的高阶线性系统化成由若干典高阶线性系统化成由若干典型环节型环节组成的模拟结构图表示；将各典型环节参数以及系统组成的模拟结构图表示；将各典型环节参数以及系统各各环节的连接关系环节的连接关系输入计算机；仿真程序将输入的系统模型自动输入计算机；仿真程序将输入的系统模型自动转化为状态空间描述转化为状态空间描述，即状态方程形式；调用，即状态方程形式；调用数值积分法求解数值积分法求解并输出仿真结果。并
42、输出仿真结果。（1 1）典型环节的确定及算法描述典型环节的确定及算法描述：根据控制理论可知，：根据控制理论可知，在实际控制系统中比较常见的动态环节主要有以下在实际控制系统中比较常见的动态环节主要有以下五种五种：第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 57 积分环节积分环节；比例积分环节比例积分环节；惯性环节惯性环节；一阶超前（或滞后）环节一阶超前（或滞后）环节；二阶振荡环节二阶振荡环节；5 5种动态环节中，一阶超前（或滞后）环节最具代表性，种动态环节中，一阶超前（或滞后）环节最具代表性，即选用即选用 作为典型环节，可表示出其余常见的动态模型。面向结作为典型环节，可表示出
43、其余常见的动态模型。面向结构图的线性系统仿真逻辑结构见图构图的线性系统仿真逻辑结构见图4-84-8。sBAsDCiiii第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 58开 始输 入 系 统 环 节 数、计 算 步 长、阶 跃 函 数 幅 值输 入 各 系 数 矩 阵、系 统 连 接 关 系形 成 Q、R、V 等 矩 阵矩 阵 求 逆 计 算计 算 状 态 变 量计 算 输 出 值输 出 仿 真 结 果？NY结 束时 间 到图图4-8 面向结构图的线性系统仿真流程框图面向结构图的线性系统仿真流程框图第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 594.3.2
44、 4.3.2 线性系统的离散相似法仿真线性系统的离散相似法仿真1.1.仿真原理及处理过程仿真原理及处理过程 采用采用离散相似法离散相似法对线性系统进行仿真程序对线性系统进行仿真程序面向系统动态面向系统动态结构图结构图；按控制系统的环节离散相似原则；按控制系统的环节离散相似原则建立仿真模型建立仿真模型；系；系统中统中各环节之间各环节之间的关系由的关系由连接矩阵连接矩阵、输入矩阵输入矩阵和和输出矩阵输出矩阵表表示；程序中规定采用示；程序中规定采用4 4种典型环节种典型环节，即积分环节、比例积分环，即积分环节、比例积分环节、惯性环节、比例惯性环节，其余环节可经过节、惯性环节、比例惯性环节，其余环节可
45、经过转换得到典转换得到典型描述型描述；输入各环节类型、参数、初值、连接矩阵等，可求；输入各环节类型、参数、初值、连接矩阵等，可求出出特定信号作用下各环节的输出结果特定信号作用下各环节的输出结果。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 60输入各环节类型、参数、初始数值计算各环节离散系数计算各环节输入量根据差分方程计算各环节的输出量输出仿真结果打印间隔到?仿真时间到？开始NY结束输入系统环节数,外部信号幅值,仿真步长等参数输入系统连接关系矩阵NY图图4-9 面向结构图的线性系统面向结构图的线性系统离散相似法仿真框图离散相似法仿真框图 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控
46、制系统计算机仿真算法分析 614.5 4.5 非线性系统仿真非线性系统仿真4.5.1 4.5.1 典型非线性特性典型非线性特性1.1.饱和非线性饱和非线性常见的饱和非线性特性常见的饱和非线性特性如右图所示：如右图所示：数学描述为：数学描述为：uc-s10s1s1-s1ur111111 sussusususurrrrc第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 62计算饱和非线性特性的子程序流程图：计算饱和非线性特性的子程序流程图：rU?1SUr调 用返 回1SUc Y?0rU1SUccUN YN 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 63饱和非线性
47、特性对系统过渡过程的影响主要有：饱和非线性特性对系统过渡过程的影响主要有：（1 1）使系统的稳定性变好使系统的稳定性变好；（2 2）过渡过程时间增长过渡过程时间增长，快速性能降低快速性能降低；（3 3）超调量下降超调量下降，动态的平衡性有所改善动态的平衡性有所改善。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 642.2.死区非线性死区非线性 死区非线性特性如图所示。死区非线性特性如图所示。数学描述为：数学描述为：uc0s1-s1ur1111110sususussusuurrrrrc第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 65计算死区非线性特性的仿真子
48、程序流程图计算死区非线性特性的仿真子程序流程图 ：?1SUr调用返回1SUUrc Y?0rU1SUUrc0cUN YN 第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 66死区非线性对系统性能的影响主要有：死区非线性对系统性能的影响主要有：（1 1）增大系统的稳态误差增大系统的稳态误差，降低了定位精度降低了定位精度；（2 2）延长过渡过程时间延长过渡过程时间，使动态性能下降使动态性能下降。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 673.3.滞环非线性滞环非线性滞环（齿轮间隙）非线性特性见图所示。滞环（齿轮间隙）非线性特性见图所示。数学描述为：数学描述为：
49、uc0s1-s1ur00 00 000011crcbcrcbcrrcrrcuuuuuuuusuuusuu且且且且第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 68滞环非线性特性的计算子程序框图：滞环非线性特性的计算子程序框图：第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 69滞环非线性特性对系统的性能影响主要有：滞环非线性特性对系统的性能影响主要有：（1 1）增加系统静差增加系统静差，降低定位精度降低定位精度 （2 2）在稳态值附近以某一幅度）在稳态值附近以某一幅度进行振荡进行振荡，会产生，会产生自振，对系统的自振，对系统的稳定性带来不利影响稳定性带来不利影
50、响。第第4章章控制系统计算机仿真算法分析控制系统计算机仿真算法分析 704.5.2 4.5.2 非线性系统的仿真过程及应用非线性系统的仿真过程及应用 基本思想基本思想：给定非线性系统的：给定非线性系统的线性环节传递函数线性环节传递函数、非线、非线性特性和系统性特性和系统连接情况连接情况，按照典型环节的形式对，按照典型环节的形式对线性部分线性部分进进行编号，行编号，非线性特性非线性特性从属于相应的线性环节，将系统中各环从属于相应的线性环节，将系统中各环节的系数、变量初值、连接关系、仿真参数等数据置入程序节的系数、变量初值、连接关系、仿真参数等数据置入程序中，通过中，通过离散相似法离散相似法处来解
