1、本章内容：本章内容：1.1 牛顿和他的牛顿和他的原理原理1.2 质点的运动质点的运动1.3 刚体的运动刚体的运动1.4 机械振动与机械波机械振动与机械波1.5 宇宙的起源与演化宇宙的起源与演化 1.1.1 1.1.1 牛顿生平牛顿生平本节内容：本节内容：艾萨克艾萨克牛顿牛顿(1643.1.4 1727.3.31)艾萨克艾萨克牛顿（牛顿（Isaac NewtonIsaac Newton）是英）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和学、数学、天文学、神学、自然哲学
2、和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，力学方面的杰出成就，“牛顿牛顿”后来成后来成为衡量力的大小的物理单位。为衡量力的大小的物理单位。1.1.1 牛顿生平牛顿生平牛顿被公认为历史上最伟大的物理学家和数学家，而且他牛顿被公认为历史上最伟大的物理学家和数学家，而且他的哲学思想和科
3、学方法对整个自然科学的发展起到了有力的的哲学思想和科学方法对整个自然科学的发展起到了有力的推动作用。因此，他也是世界公认的最伟大的思想家之一。推动作用。因此，他也是世界公认的最伟大的思想家之一。1.1643年年1月月4日日（中国（中国 明明 崇祯十六年）出生于（早产）崇祯十六年）出生于（早产），英，英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里。少年时代天格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里。少年时代天资平常，但很喜欢制作各种机械模型。资平常，但很喜欢制作各种机械模型。2.1661年考入剑桥大学三一学院学习。年考入剑桥大学三一学院学习。3.1665年年-1667年年，伦敦流行鼠疫，剑桥大学暂时
4、关闭。牛顿，伦敦流行鼠疫，剑桥大学暂时关闭。牛顿在家躲避瘟疫的在家躲避瘟疫的18个月内，对力学、天文学、数学和光学等个月内，对力学、天文学、数学和光学等方面进行了伟大的基础性研究工作，几乎孕育了他一生作出方面进行了伟大的基础性研究工作，几乎孕育了他一生作出重大贡献的所有思想基础。重大贡献的所有思想基础。4.1672年，由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学年，由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员。会会员。5.1703年起被选为皇家学会会长，一直连任到逝世年起被选为皇家学会会长，一直连任到逝世。6.1705年被封为爵士。年被封为爵士。7.1727年（清年（清 雍正五年雍正五年）3
5、月月20日因病逝世，在威斯敏斯特教日因病逝世，在威斯敏斯特教堂为他举行了隆重的国葬堂为他举行了隆重的国葬。l16651665年初，牛顿创立级数近似法年初，牛顿创立级数近似法,以以及把任意幂的二项式化为一个级数的及把任意幂的二项式化为一个级数的规则；规则；l同年同年1111月，创立正流数法月，创立正流数法(微分微分)；l次年次年1 1月，用三棱镜研究颜色理论；月，用三棱镜研究颜色理论；l5 5月，开始研究反流数法月，开始研究反流数法(积分积分)。l这一年内，牛顿开始想到研究重力问这一年内，牛顿开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运题，并想把重力理论推广到月球的运动轨道上去。他还从开普
6、勒定律中推动轨道上去。他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们的轨道上的力导出使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。反比。l牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是此时发生的轶事。说，说的也是此时发生的轶事。第二部分为三卷，前两卷的标题相同，是第二部分为三卷，前两卷的标题相同，是“论物体的运动论物体的运动”。I.第一卷，研究在无阻力的自由空间中物体的运动，许多命第一卷，研究在无阻力的自由空间中物体的运动，许多命题涉及已知力求解受力物体的运动状态（轨道、速度、运题涉及已知力求解受力物体的运动状态（轨道
7、、速度、运动时间等），以及由物体的运动状态确定所受的力。动时间等），以及由物体的运动状态确定所受的力。II.第二卷，研究在阻力给定的情况下物体的运动、流体力学第二卷，研究在阻力给定的情况下物体的运动、流体力学以及波动理论。以及波动理论。III.压卷之作的第三卷是标题是压卷之作的第三卷是标题是“论宇宙的系统论宇宙的系统”。全书共分两大部分：全书共分两大部分：第一部分第一部分首先首先“定义定义”，给出了物质的量、时间、空间、向心力等的，给出了物质的量、时间、空间、向心力等的定义。给出定义。给出“公理或运动的定律公理或运动的定律”，包括著名的运动三定律。，包括著名的运动三定律。1.承认物质的客观性和
8、统一性；承认物质的客观性和统一性；2.承认空间、时间的客观性；承认空间、时间的客观性；3.承认自然界各种事物之间的联系承认自然界各种事物之间的联系和物质运动的规律性。和物质运动的规律性。艾撒克 牛顿勋爵墓英 威斯敏斯特教堂 自然观：自然观：1.在物质观上，牛顿接受了古代唯在物质观上，牛顿接受了古代唯物主义原子论的思想，认为物质物主义原子论的思想，认为物质是由不变的、不可分割和具有惯是由不变的、不可分割和具有惯性的原子组成的；性的原子组成的；2.“质量质量”概念在一定意义上肯定概念在一定意义上肯定了物质的客观性和永恒性。但是，了物质的客观性和永恒性。但是，由于他断言物体的质量是不变的，由于他断言
9、物体的质量是不变的，其质量定义带上形而上学的原则其质量定义带上形而上学的原则性的缺陷。性的缺陷。时代局限性时代局限性 :带有机械带有机械论的、形而上学的特点。论的、形而上学的特点。艾撒克 牛顿勋爵墓英 威斯敏斯特教堂 自然观：自然观：科学方法科学方法：牛津大学博物馆前的牛顿雕塑到了牛顿，则第一个大量地运用数到了牛顿，则第一个大量地运用数学方法来系统地整理物理理论。牛顿学方法来系统地整理物理理论。牛顿所总结的运动定律，确立了严格的、所总结的运动定律，确立了严格的、用数值表示的机械运动的因果公式；用数值表示的机械运动的因果公式；根据初始条件，就可以准确地确定体根据初始条件，就可以准确地确定体系以往
10、和未来某一时刻的运动状态系以往和未来某一时刻的运动状态“因果论因果论”和和“决定论决定论”。他的。他的原理原理，为以后各种物理学理论体，为以后各种物理学理论体系的建立树立了一个典范。系的建立树立了一个典范。力学就是研究物体机械运动规律的学科，在物质力学就是研究物体机械运动规律的学科，在物质运动的所有形式中几乎都包含机械运动，因此力学运动的所有形式中几乎都包含机械运动，因此力学成为物理和许多工程技术学科的基础。成为物理和许多工程技术学科的基础。本节介绍质点本节介绍质点运动学运动学、质点动力学质点动力学的基本概念和规律。的基本概念和规律。（本节的要求：理解、掌握！）（本节的要求：理解、掌握！）质点
11、质点(particle)(particle)是力学中研究平动的一个理想模型，是力学中研究平动的一个理想模型，它是只有质量而没有大小和形状的几何点。它是只有质量而没有大小和形状的几何点。xyzO参照物参照物图1.1 平动飞行的飞机可以用质点代替。参考系(reference system)(reference system)：自然界中所有的物体总是在不停地运动着，任何一个物体在空间的位置只能相对地确定，即运动具有相对性。因此，在研究物体间的相对运动时，必须事先选定某一个参照物体(或物体系)，以便确定其他物体相对于这个物体的位置的变化。这个被事先所选定的参照体或彼此不作相对运动的物体系，称为参考系。
12、一般地说，任何一个物体都可选为参照体，但是，一个物体的运动对于不同的参照体可表现为不同的运动。因此，只有在选定参照体的情况下，才能明确地说明物体的运动情况。xyzOP参照物参照物()()()()rr tx t iy t jz t k 质点质点P在空间的位置，可在空间的位置，可用由坐标原点用由坐标原点O指向质点指向质点P的的一个矢量来表示，称为一个矢量来表示，称为位置位置矢量矢量(position vector，见右，见右图图)，位置矢量的大小和方向，位置矢量的大小和方向与参照系选择有关。当质点与参照系选择有关。当质点在空间运动时，位置矢量是在空间运动时，位置矢量是时间时间t的函数，可表示为的函
13、数，可表示为（1.1）称为质点的称为质点的运动方程运动方程。质点在。质点在 t时间内的位置变时间内的位置变化化 ，称为，称为位移位移(displacement)。rrr xyz参考物参考物),(zyxPrO Og(,)P x y zrrxyz参考物参考物),(zyxPrO Og(,)P x y zrr0()()limtrr ttr tdrvttdt 瞬时速度，简称速度瞬时速度，简称速度(velocity)是个矢量，用以定量是个矢量，用以定量地描述质点运动快慢和运动的方向。定义为：地描述质点运动快慢和运动的方向。定义为：质点质点的位置矢量随时间的变化率的位置矢量随时间的变化率，单位：米，单位：米
14、 秒秒(m s)，即：即：（1.2）,.xyzdxdydzvvvdtdtdt各个方向的分量表示为：各个方向的分量表示为：（1.3）即：速度矢量在各坐标轴上的投影等于质点的相应坐标对时间的一阶导数。速度的大小为：速度的大小为：222dxdydzdrvdtdtdtdt（1.4）4.加速度加速度 瞬时加速度，简称加速度瞬时加速度，简称加速度(acceleration)是个矢是个矢量，用以定量地描述质点速度在大小和方向上量，用以定量地描述质点速度在大小和方向上随时间变化的快慢。定义为：随时间变化的快慢。定义为：质点的速度矢量质点的速度矢量随时间的变化率随时间的变化率，单位：米，单位：米 秒秒(m s)
15、。即：。即：（1.5）2200limlimmttvdvd raatdtdt 加速度在各直角坐标轴上的投影分别为：加速度在各直角坐标轴上的投影分别为：即：加速度在各坐标轴上的投影等于速度的相应投影对时间的一阶导数，也等于质点的相应坐标对时间的二阶导数。加速度的大小为：加速度的大小为：222xyzaaaa（1.7）（1.6）222222,yxzxyzdvdvdvd xd yd zaaadtdtdtdtdtdt 一个质点在一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为轴上作直线运动，运动方程为x(t)=2t+4t+8，式中，式中x的单位为米，的单位为米，t的单位的单位为秒。为秒。(1)任意时刻的速度和加速度
16、；任意时刻的速度和加速度；(2)在在t=2s和和t=3s时刻，物体的位置，速度和时刻，物体的位置，速度和加速度；加速度；(3)在在t=2s到到t=3s时间内，物体的平均速度和时间内，物体的平均速度和平均加速度。平均加速度。求求:32212224868 68128 dttdxvttm sdtdtdttdvatm sdtdt(2)t=2s时时 32212242840628240 xmvm s 32212122343898638 3781238449840583278403832xmvm sam sxvm stvam st (3)2122832am st=3s时 研究匀变速直线运动的规律研究匀变速直
17、线运动的规律 1）特点：）特点：a=Const 2）速度：）速度：t=t0时时,v=v03）位移和位置矢量：）位移和位置矢量：t=t0时，时，x=x0dvadtdvadt00vtvtdvadt 得得 积分积分 解：解：由由00vva tt00vva tt 得得 所以所以 由由dxvdt 得得 00dxvdtva ttdt0000 xtxtdxva ttdt2000012xxvtta tt积分积分 得得 所以所以 2000012xxvtta tt 图中，图中，ABC为质点轨迹，为质点轨迹，t 时刻质点时刻质点P位于位于B点，点，、分别为分别为A点切向及法向点切向及法向的单位矢量，以的单位矢量，以
18、A为原为原点，以点，以 和和 法向为坐法向为坐标轴，由此构成的参照标轴，由此构成的参照系为自然坐标系系为自然坐标系。e5.自然坐标系自然坐标系neene(e切向）ne（法向）BACP6.曲线运动的切向加速度和法向加速度曲线运动的切向加速度和法向加速度 在自然坐标系中，曲线运动的加速度可分解为切向在自然坐标系中，曲线运动的加速度可分解为切向加速度加速度 和法向加速度和法向加速度 ，即，即 。此时，每个分量仅仅单独表示一种变化率，即此时，每个分量仅仅单独表示一种变化率，即法向法向加速度描述质点速度方向随时间变化的快慢加速度描述质点速度方向随时间变化的快慢，而，而切向加切向加速度描述质点速度大小随时
19、间变化的快慢速度描述质点速度大小随时间变化的快慢。考虑特例，。考虑特例，圆周运动有如下关系：圆周运动有如下关系：(te切向）ne（法向）PAananaaa2nvanrdvadtvPr其中：为质点在 点的速度大小，为圆周半径。1牛顿第一定律牛顿第一定律说明：说明：2牛顿第二定律牛顿第二定律（1）为合力；（2）为瞬时关系；（3）矢量关系；（4）只 适应于质点；（5）解题时常写成分量形式。FFma说明说明：反映物体的惯性，故叫做惯性定律。反映物体的惯性，故叫做惯性定律。给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。原因。0Fv时，恒量()dvd mvd
20、pFmamdtdtdt直角坐标系下：直角坐标系下：自然坐标系下：自然坐标系下：v其中：为速度大小，为曲率半径。()()()xxxxxyyyyyzzzzzdvd mvdpFmamdtdtdtdvd mvdpFmaFmamdtdtdtdvd mvdpFmamdtdtdt2nnttvFmamFmadvFmamdt（法向）（切向）3牛顿第三定律牛顿第三定律FF 说明：说明：常见的力：常见的力：（1）万有引力；）万有引力；（2）弹性力；）弹性力；（3）摩擦力；）摩擦力；（4）电磁力）电磁力 、在同一直线上，但作用在不同；在同一直线上，但作用在不同；、同有同无互不抵消。同有同无互不抵消。FFFF 一潜水艇
21、质量为m，在水中下潜时所受到得浮力恒为F0，水的阻力f与下潜速度v大小成正比，比例系数为k，开始时潜水艇刚好荫蔽在水面下。设它从静止开始下潜，试求下潜速度随时间变化的规律。0F解：解：取潜水艇为研究对象。潜水艇受到重力mg，方向向下，浮力F0方向向上，阻力f方向也向上，如图所示，选向下为坐标轴的正方向。根据牛顿第二定律，有0dvmgFfmdt依题意 ，代入上式并整理，得fkv0dvdtmgFkvmvmgf0F1.2.2 1.2.2 牛顿运动定律牛顿运动定律可得00lnmgFkvktmgFm 因此0(1)ktmmgFvek可见下潜速度随时间的增大而增大，如图所示。随着速度的增大，阻力也随之增大，
22、当潜水艇受力达到平衡时，下潜速度不再增大，其首尾速度为0tmgFvk000()vtd kvkdtmgFkvm 对上式积分，并考虑t=0时潜艇静止，故有0mgFkot1功和功率功和功率（1）恒力的功）恒力的功 MF MabscosF AFrr00,20,20AFAFAFr时，力 对物体做正功；时，力 对物体做负功；=，力 与位移垂直，不做功。21.2.3 1.2.3 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律（2）变力的功）变力的功 质点由初始位置质点由初始位置a经路径经路径L运动到运动到b，力力F做的总功为做的总功为 在数学上称为力在数学上称为力F沿路经沿路经L的线积分。的线积分。在变力作用
23、下，质点运动的轨迹通常为一曲线。在无在变力作用下，质点运动的轨迹通常为一曲线。在无穷小的元位移穷小的元位移 中，力的元功为中，力的元功为drcosdAF drF drxyzObaMFrrrdrd LbaAdAF dr1.2.3 1.2.3 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律（3）功率）功率 功率为单位时间力做的功，表示做功的快慢（做功的功率为单位时间力做的功，表示做功的快慢（做功的速率）。速率）。1.2.3 1.2.3 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律dAPF vdt已知功率计算功，可以将功率对时间积分：已知功率计算功，可以将功率对时间积分：21ttAPdt2质点的动能定
24、理质点的动能定理（1）质点的动能定理的微分形式）质点的动能定理的微分形式212kdAF drmdrmvdtdtdtmdmmvd Edvdvvvvdv=d因此，力对质点做功因此，力对质点做功(元功元功)，质点的动能就发生变化，质点的动能就发生变化(微小微小增量增量)，合外力在元位移中对质点做的功等于质点动能的，合外力在元位移中对质点做的功等于质点动能的（微小）增量。（微小）增量。（2）质点的动能定理的积分形式）质点的动能定理的积分形式kbkabEkkbkaaEAF drdEEE合外力对质点做的功等于质点动能的增量。合外力对质点做的功等于质点动能的增量。（3）动能是机械能的一种形式，是由于物体运动
25、而）动能是机械能的一种形式，是由于物体运动而具有的能量。动能取决于物体的运动状态，是状态具有的能量。动能取决于物体的运动状态，是状态量，称为态函数。动能定理启示我们，功是物体能量，称为态函数。动能定理启示我们，功是物体能量变化的一种量度。量变化的一种量度。1.2.3 1.2.3 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律221iiiikiKvmEE3质点系的动能定理质点系的动能定理（1）质点系的总动能为各质点动能之和）质点系的总动能为各质点动能之和1m1v2m2v3m3v4m4v1.2.3 1.2.3 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律ikiikiiiiiEEAA12内外21kkA
26、AAEE外内（2）对系统中第）对系统中第i个质点，应用质点的动能定理个质点，应用质点的动能定理对系统中所有质点求和，对系统中所有质点求和，即：即：这个结论称作质点系的动能定理：这个结论称作质点系的动能定理：21kikiiiAAEE外内 所有外力对质点系做的功与内力做功所有外力对质点系做的功与内力做功之和等于质点系动能的增量。之和等于质点系动能的增量。4质点系功能原理质点系功能原理（1）保守力（）保守力（conservative force）如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。始末相对位置，这样的力称为保守力。保守
27、力沿闭合路径一周所做的功为零，即：保守力沿闭合路径一周所做的功为零，即：d0Frabcd0abcadcabccdaF drF drF drF dr故有：故有：（2）保守力（）保守力（conservative force）与势能）与势能在保守力场中在保守力场中00()()dMPPMEMEMFrM0(选参考点选参考点)M取：取：00()0PEMM（取为零势能点）则（势能的定义）：则（势能的定义）：0d)(MMPrFME势能是位置的函数，在数值上等于从M到零势能零点 保守力所做的功，该函数通常称作势能函数。（3）质点系功能原理）质点系功能原理（1）质点系的功能原理：）质点系的功能原理：221121(
28、)()kPkPAAEEEEEE外内非保（2）具体处理问题时，应根据不同的研究对象和力学环）具体处理问题时，应根据不同的研究对象和力学环境选择不同的定理：将单个质点作为研究对象，一切作境选择不同的定理：将单个质点作为研究对象，一切作用力都是外力，应该用质点的动能定理处理问题；将系用力都是外力，应该用质点的动能定理处理问题；将系统作为研究对象，在不区别保守力和非保守力做功的情统作为研究对象，在不区别保守力和非保守力做功的情况下应该选用质点系的动能定理；而一旦计入了势能，况下应该选用质点系的动能定理；而一旦计入了势能，则只能采用质点系的功能原理讨论问题。则只能采用质点系的功能原理讨论问题。外力与非保
29、守力做功之和等外力与非保守力做功之和等于质点系机械能的增量。于质点系机械能的增量。5质点系功能原理质点系功能原理若：若：0AA外内非保则：则：常量21EE 机械能守恒定律：机械能守恒定律：牛顿第二定律、机械能守恒定律、动量守恒定律是解物理问题的三个重要工具。解题时，通常先考察是否有守恒定律成立，而后再考虑使用功能原理、质点系的动能或动量定理、质点动能或动量，最后才会去使用最根本的牛顿第二定律。对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能一个对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能一个守恒量，在机械能守恒的前提下，系统的动能和势守恒量，在机械能守恒的前提下，系统的动能和势能可以互相转化，系统各组成部
30、分的能量可以互相能可以互相转化，系统各组成部分的能量可以互相转移，但它们的总和不会变化。转移，但它们的总和不会变化。把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度度 发射出去，阻力忽略不计。发射出去，阻力忽略不计。0v例例物体从地面飞行到与地心相距物体从地面飞行到与地心相距 处经历的时间。处经历的时间。enR求：求：解：解：根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律xmMGmRmMGmeee2202121vvxGMe2vtxddvxxGMxted21ddvxxGMttnRReeed21d1012322/32/31nRGMtee1冲量冲量 在时间间隔在时间间
31、隔 t内作用在质点上的力内作用在质点上的力的积累的积累F21ttIF dt是力在时间过程中的累积效应的量度。是力在时间过程中的累积效应的量度。2质点的动量定理：质点的动量定理：2221112121()ttttttdvd mvIF dtmdtdtdtdtdpppmvmvxyzO1F2FFt1t2t()d mvdpFdtdI微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：积分的分量式为：积分的分量式为：212121212121212121txxxxxxttyyyyyyttzzzzzztIF dtppmvmvIF dtppmvmvIF dtppmvmv()()()xxxxyyyyzzzzd mvdpF dt
32、dId mvdpF dtdId mvdpF dtdI微分的分量式为：微分的分量式为：3质点系动量定理：质点系动量定理：（1）由若干个质点组成的系统简称为）由若干个质点组成的系统简称为质点系。质点系中各质点受到的系统外的质点系。质点系中各质点受到的系统外的物体对它们的作用力称为物体对它们的作用力称为外力外力，质点系中，质点系中各质点彼此之间的相互作用力称为各质点彼此之间的相互作用力称为内力内力。1m1v2m2v3m3v4m4viiiidpFFFdt外内 对对i质点应用质点的动量定理：质点应用质点的动量定理：iiiiiidpFFdt外内对质点系中对质点系中n个质点求和：个质点求和：dpFdt外 内
33、力总是以作用力和反作用力的形式成对出现，求和的内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现，求和的结果等于零，故结果等于零，故（微分形式）（微分形式）1m2m12f21f1F2F 称为称为 时间内质点系受到的合外力的冲量，时间内质点系受到的合外力的冲量，用用 表示，表示，和和 是质点系初态和末态时的动量，是质点系初态和末态时的动量，所以有所以有2121ptpF dtdppp外21Ipp外当力持续作用一段时间后，质点系动量变化的规律为当力持续作用一段时间后，质点系动量变化的规律为即：在某段时间内，质点系受到的合外力的冲量等于即：在某段时间内，质点系受到的合外力的冲量等于质点系质点系(总总)动量的增量
34、。动量的增量。对质点系而言，内力不改变系统的总动量，只有外力改变系统的总动量。ttF dt外I外2p1p（积分形式）（积分形式）4动量守恒定律动量守恒定律0F外iiipm v恒矢量称为动量守恒定律，又可以表述为：称为动量守恒定律，又可以表述为：封闭系统的动量保封闭系统的动量保持不变。持不变。则由质点系的的动量定理可有则由质点系的的动量定理可有常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000动量守恒的分量表述：动量守恒的分量表述：1.2.4 动量与动量守恒定律动量与动量守恒定律如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不
35、变，即变，即 （2）真实系统与外界或多或少地存在着某些作用，当）真实系统与外界或多或少地存在着某些作用，当质点系内部的作用远远大于外力质点系内部的作用远远大于外力 ，或者外力不，或者外力不太大而作用时间很短促，以致形成的冲量很小的时候，可太大而作用时间很短促，以致形成的冲量很小的时候，可以忽略外力的效果，近似地应用动量守恒定律，这是实际以忽略外力的效果，近似地应用动量守恒定律，这是实际中最常见的情况。中最常见的情况。（1）动量守恒是指质点系总动量不变）动量守恒是指质点系总动量不变。质点系中各质。质点系中各质点的动量是可以变化的，质点通过内力的作用交换动量。点的动量是可以变化的，质点通过内力的作
36、用交换动量。说明：说明：()FF外内 （3）有动量守恒定律的分量形式可知：）有动量守恒定律的分量形式可知：合外力在哪一个合外力在哪一个坐标轴上的分量为零，质点系总动量在该方向上的分量就坐标轴上的分量为零，质点系总动量在该方向上的分量就是一个守恒量。是一个守恒量。分量守恒所提供的方程，常常成为求解问题的必不可少的条件。1.3.1 刚体及其转动刚体及其转动1.3.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律1.3.3 刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系为了研究较为复杂的物体的机械运动规律，我们本节为了研究较为复杂的物体的机械运动规律，我们本节介绍刚体的运动规律。主要介绍刚体的定轴转动。介绍刚
37、体的运动规律。主要介绍刚体的定轴转动。131 刚体及其转动刚体及其转动1刚体刚体物体内任意两点距离不变的物体称为物体内任意两点距离不变的物体称为刚体刚体。刚体是理想模型，是为了简化问题引进的。2刚体运动刚体运动刚体的任何运动都可看作刚体的任何运动都可看作平动与转动平动与转动的合成。的合成。在在平动平动中，刚体内任一直线方位不变，各点运动状态一样，中，刚体内任一直线方位不变，各点运动状态一样，故可用一个点的运动来代表刚体运动；故可用一个点的运动来代表刚体运动；(如果不考虑形状，研究刚体的平动可以采用质点模型。）r（研究刚体的转动是（研究刚体的转动是不可以不可以采用质点模型的！）采用质点模型的！）
38、3定轴转动的描述定轴转动的描述转轴固定时的转动称为转轴固定时的转动称为定轴转动定轴转动。（1）角位移：是角坐标）角位移：是角坐标随时间随时间t的改变量。设刚体在的改变量。设刚体在t和和t 时刻的角坐标分别为时刻的角坐标分别为和和，则，则表示刚体在时表示刚体在时间间隔间间隔t=tt内的角位移。内的角位移。有限大的角位移不是矢量(不满足矢量的交换律)，但无限小角位移是矢量(右手螺旋法则大姆指方向)。M刚体刚体zO v,（2）角速度：描述刚体转动的快慢）角速度：描述刚体转动的快慢和方向，和方向，它描述刚体角位移它描述刚体角位移在在 t时时间内的平均变化情况，定义为：间内的平均变化情况，定义为：0li
39、mtddt 角速度的方向与质点线速度的方向意义不同，它并不表示有物质沿该方向移动，而是说运动发生在与该方向垂直的平面内，方向用右手螺旋定则右手螺旋定则决定。ddt（3）角加速度：描述刚体角速度的大）角加速度：描述刚体角速度的大小和方向随时间变化的快慢，定义为小和方向随时间变化的快慢，定义为（4）角量与线量的关系：）角量与线量的关系：如右图所示，刚体内作圆周运动的质点如右图所示，刚体内作圆周运动的质点P的线速度与角速度的关系为：的线速度与角速度的关系为：|cos2vvrrrM刚体刚体zdO v,rvrP质点质点P的切向加速度和法向加速度与角量的关系分别的切向加速度和法向加速度与角量的关系分别为：
40、为：2()tndvd rdarrdtdtdtar定轴转动的特点为：定轴转动的特点为：刚体上各点的角位移、角速度和角加速刚体上各点的角位移、角速度和角加速度相同，但是速度、法向加速度和切向加度相同，但是速度、法向加速度和切向加速度一般并不相同。速度一般并不相同。132 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律1.力对轴的力矩力对轴的力矩MrFsinMFrFd力矩的大小为力矩的大小为kF外kF内kr方向垂直于方向垂直于 和和 的平面沿方向的平面沿方向（右（右手定则）手定则）,称为力臂。称为力臂。sindrrFO .FoM rd2转动定律转动定律研究刚体中的第研究刚体中的第k k个质点个质点，有：，有：
41、kkFFm ak外k内沿切线方向，有：沿切线方向，有：kkkkFFm a外内上式两边均同乘以上式两边均同乘以 ，整理即：，整理即：kr2 kkkkkk kkk kkkFrFrm a rm rrm r外内对所有质元求和：对所有质元求和：2()k kkkkkFrFrm r外内0kkFr内（刚体的内力矩为零）（刚体的内力矩为零）对刚体而言，内力成对出现，有对刚体而言，内力成对出现，有1.3 刚体的运动刚体的运动不难注意到不难注意到 即为质点系受到总外力矩即为质点系受到总外力矩 。这样得到：这样得到：MkkFr外2()k kMm r2k kJm r我们定义一个新的量：我们定义一个新的量：可得到：可得到
42、：MJMJ适量形式：适量形式：2()k kMrFm rJ即：即：称为称为转动惯量转动惯量。即：即：MJ刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，称为量成反比，称为刚体的转动定律。刚体的转动定律。1.3 刚体的运动刚体的运动1.与与 同方向；同方向；2.为瞬时关系，即：为瞬时关系，即：（微分形式）（微分形式）3.与平动中牛顿第二定律与平动中牛顿第二定律 地位相同，力是产生加速度的原因，力矩是产生地位相同，力是产生加速度的原因，力矩是产生角加速度的原因。角加速度的原因。4.为合外力矩是各个外力力矩的矢量和为合外力矩是各个外力力矩的矢量和。说明：说明：MM
43、JMJ22dvd rFmammdtdtM22ddMJJdtdt3转动惯量转动惯量（1）转动惯量：转动惯量：刚体中每个质点的质量与它到转轴刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和，即：距离平方乘积的和，即：iiirmJ222mmJr dmr dV（由连续体组成的刚体）（由连续体组成的刚体）（2）转动惯量的意义：转动惯性的量度。）转动惯量的意义：转动惯性的量度。(a)均质细棒绕端点轴的转动惯量均质细棒绕端点轴的转动惯量22220001dd3MLLMJx dmxxxxMLLLzOxMdx(b.)圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量222dd2 ddmmrmsr rrRR2322
44、0021dd2mRmJrmrrmRRmrRdrO133 刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系1力矩作功力矩作功21WMd当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，我们就说力矩对刚体作了功，这就是力矩的空间累积作我们就说力矩对刚体作了功，这就是力矩的空间累积作用。数学表达为：用。数学表达为：z OkrkvkmP2转动动能转动动能1212,12,kNkNkNmmmmr rrr v vvv2221122kkkk kEmm rv其中任意部分其中任意部分mk的动能为的动能为刚体的总动能刚体的总动能22222111222kk kk kEEm
45、 rm rJ221122EJEmv思考：与的相似与异同。3刚体绕定轴转动的动能定理(1)有功的定义，可以给出：有功的定义，可以给出：cosdAF drFdsF rdMdOrFrdd.P rdrddAM（力矩做功的微分形式）(2)转动的动能定理：转动的动能定理：21()2kddAMdJdJddtdJdtJddJdEdt 对于一有限过程对于一有限过程221122221111()222AdAdJJJ绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和，这该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和，这就是绕定轴转动刚体的就是绕定
46、轴转动刚体的动能定理动能定理例例一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置，求它由在竖直平面内转动，初始时它在水平位置，求它由此下摆此下摆 角时的角时的 。OlmCxmg解：解：1cos2Mmgl由动能定理由动能定理0022dcos d2sin02110()23lAMmglmgJJml 其中：23 singl这样得到：这样得到：3 singlOlmCxmg一定滑轮（均质圆盘）的质量为一定滑轮（均质圆盘）的质量为 m，半径为，半径为 r，不，不能伸长的轻绳两边分别系能伸长的轻绳两边分别系 m1 和和 m2 的物体挂
47、于滑轮的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）滑轮的初角速度为零）例例:求：求：滑轮转动角速度随时间变化的规律。滑轮转动角速度随时间变化的规律。1m2mmr1m2mmrgm22T1T2Tgm11T解：解：以以m1，m2，m 为研究对象为研究对象,受力分析受力分析rmmmgmm212121rmmmgtmmt212121022121mrJrTrT滑轮滑轮 m：1111amTgm物体物体 m1：2222amgmT物体物体 m2：不难发现有关系：不难发现有关系：联立解得：联立解得：12aarddt00tddt所以，有
48、所以，有如图所示，一为半径R、质量为M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。当物体从静止下降距离h时，物体的速度是多少？例hMRvmm由题意可知，在物体运动过程中系统的机械能守恒，物体的重力势能转变为物体的动能与圆盘滑轮的转动动能，故有hMRvmm221122mghmvJvR212JmR圆盘的转动惯量可以给出为联立解得：43ghv 本章主要讨论简谐振动与简谐波的基本性质及其运动规律。包括简谐振动的特征、能量及合成、简谐波的特征和能量、机械波的衍射、干涉和多普勒效应等，还介绍了有关声波的基础知识。1基本概念（1）机械振动：物体（或系统）在某一位置附近做来
49、回往复的周期性运动。Fkx（2）简谐振动的特点受力特点：线性恢复力，其形式为：（3）数学形式2220d xxdt（a）运动微分方程：（b）运动方程：cos()xAt（4）简谐振动的速度和加速度 222sin()cos()dxvAtdtd xaAtdt （5）简谐振动的特征量 振幅：做谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，单位为米（m），用A表示；频率：振动物体在单位时间内所做完全振动的次数，单位为赫兹（Hz），用表示；周期：物体做一次完全振动所用的时间，单位为秒（s），用T表示；角频率：又称圆频率，是振动物体在 2秒内所作完全振动的次数，单位为弧度 秒（rad s），用表示；相位和初相：
50、相位(t+)：相位是振动特有的量，一个振动系统的和A，由其本身的力学性质及初始条件确定，一旦相位(t+)确定之后周期运动中的相貌（即状态-位置和速度）就完全确定了，因此，相位是决定振动系统运动状态的重要物理量。初相：t=0时的相位称为初相。2220d xxdt2kmcos()xAt2.弹簧振子：由一质量可忽略的弹簧和一个刚体（视为质点）构成的理想物理模型。3.单摆（数学摆）22sindmgmldtsin0gl摆角增大的方向为正方向。沿切向由牛顿第二定律有：mlsinmg很小时sin得谐振动微分方程 20 20gl0cos()t所以，单摆做谐振动，其中解该方程可得运动方程 142 机械波的一般概
