1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院专题报告上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院目录当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论2现代数学学科发展趋势现代数学学科发展趋势1上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院第一篇 当代数学的若干基础理论 在很长的历史时期里，人们把数学看做是关于现在很长的历史时期里，人们把数学看做是关于现实世界数量关系与空间形式的经验，以及对经验实世界数量关系与空间形式的经验，以及对经验
2、的归纳、总结和抽象；而这些经验和在经验之上的归纳、总结和抽象；而这些经验和在经验之上生成的理论则如实地反映世界生成的理论则如实地反映世界。直至直至1919世纪罗巴契夫斯基几何建立，人们的数学世纪罗巴契夫斯基几何建立，人们的数学观发生变化。籍借于逻辑，人们不仅研究那些已观发生变化。籍借于逻辑，人们不仅研究那些已知其存在的关系与形式，而且研究可能存在的关知其存在的关系与形式，而且研究可能存在的关系与形式。为此：人们寻求数学统一的理论基础。系与形式。为此：人们寻求数学统一的理论基础。三个方面：无限集合论的创立；形式公理化思想三个方面：无限集合论的创立；形式公理化思想的发展；结构主义数学观的产生。的发
3、展；结构主义数学观的产生。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院第一篇概要一、集合论一、集合论二、公理化二、公理化三、结构主义三、结构主义第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论第一篇主要介绍第一篇主要介绍上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论1 1、康托集合论的建立、康托集合论的建立（1 1）无限观的两种表达形式：）无限观的两种表达形式：潜无限：潜无限：正如我们无法正如我们无法“遍历遍
4、历”时空，无法时空，无法“数尽数尽”一条直线上一条直线上的点，甚至无法的点，甚至无法“数尽数尽”自然数序列，无限仅仅是一种永无自然数序列，无限仅仅是一种永无终结的进程。终结的进程。一、集合论一、集合论实无限：实无限：无论我们能否无论我们能否“遍历遍历”时空，能否时空，能否“数尽数尽”自然数序列或自然数序列或其他什么无限对象，它们作为一个固定的整体而确实存在着。其他什么无限对象，它们作为一个固定的整体而确实存在着。潜无限和实无限潜无限和实无限认为无限是不可被认为无限是不可被“达到达到”的。的。主张无限可以被主张无限可以被“实现实现”第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上
5、页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院（2 2）历史上知名数学家和哲学家的观点）历史上知名数学家和哲学家的观点潜无限：潜无限：实无限：实无限：芝诺对两种无限观的异议：芝诺对两种无限观的异议：爱奥尼亚学派哲学；亚里斯多德；高斯；柯西爱奥尼亚学派哲学；亚里斯多德；高斯；柯西柏拉图；牛顿；莱布尼兹；黑格尔柏拉图；牛顿；莱布尼兹；黑格尔芝诺悖论芝诺悖论第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论一、集合论一、集合论1 1、康托集合论的建立、康托集合论的建立上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范
6、大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论（3 3）康托以无限集合的形式给出实无限概念）康托以无限集合的形式给出实无限概念 从从18741874到到18971897年，康托在发表系列论文，用同一年，康托在发表系列论文，用同一标题：标题：“关于无穷的线性点集关于无穷的线性点集”，建立了集合论的概，建立了集合论的概念体系，创立了无限集合论。念体系，创立了无限集合论。按无限集理论，康托用有理数的无限序列，最终按无限集理论，康托用有理数的无限序列，最终完成了分析基础的精确化。完成了分析基础的精确化。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论1 1、康托集合论的建立、康托集合论的建立上上
7、 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院续上格奥尔格格奥尔格康托尔康托尔（CantorCantor，Georg Ferdinand Georg Ferdinand Ludwig PhilippLudwig Philipp，1845.3.3-1918.1.61845.3.3-1918.1.6）德国数学）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。母亲出身艺术世家。18561856年全家迁居德国
8、的法兰年全家迁居德国的法兰克福。克福。18621862年入苏黎世大学学工年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于学攻读数学和神学，受教于KummerKummer、维尔斯特拉、维尔斯特拉斯（斯（WeierstrassWeierstrass，和，和KroneckerKronecker。19181918年年1 1月月6 6日日在德国哈雷（在德国哈雷（HalleHalle）-维滕贝格大学附属精神病维滕贝格大学附属精神病院去世。院去世。康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，方面的兴趣是数论，1
9、8701870年开始研究三角级数并由此导致年开始研究三角级数并由此导致1919世世纪末、纪末、2020世纪初最伟大的数学成就世纪初最伟大的数学成就集合论和超穷数理论的集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题数理哲学问题.1888-1893.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，年康托尔任柏林数学会第一任会长，18901890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。一、集合论一、集合论第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上
10、 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论（）（）集合论方法集合论方法（c c）构造数学对象）构造数学对象：（二元）关系，等价关系，等：（二元）关系，等价关系，等价类，商集，偏序，函数，映射价类，商集，偏序，函数，映射（d d）表述逻辑关系）表述逻辑关系 （b b）集合的运算）集合的运算-并、交、补并、交、补(a)(a)集合的生成集合的生成2 2、康托集合论的基本内容、康托集合论的基本内容康托：把在我们直观或思维中的某些确定的、彼此区别的对象康托：把在我们直观或思维中的某些确定的、彼此区别的对象作为一个整体来考虑，称之为
11、集合，而称这些对象为该集合的作为一个整体来考虑，称之为集合，而称这些对象为该集合的元素。元素。是是 -，或或 -，与与 -，非非 -ABABCAABABAABBA第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论若若 则则 -，不存在，不存在 -等等。等等。ABA AAB上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院（2）实无限思想实无限思想(a)(a)无限集的生成无限集的生成康托认为：无限集的生成须经由元素按概括原则不断康托认为：无限集的生成须经由元素按概括原则不断聚汇的过程，而这个过程可以籍助理性（理想化抽象）聚汇的过程，而这个
12、过程可以籍助理性（理想化抽象）而完成，所有适合给定要求的元素组成一个确定的整而完成，所有适合给定要求的元素组成一个确定的整体体-无限集。无限集。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论一、集合论一、集合论2 2、康托集合论的基本内容、康托集合论的基本内容上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论（b b）基数理论）基数理论可数个可数集的并集是可数集。可数个可数集的并集是可数集。可数基数可数基数 是最小的基数。是最小的基数。0（0,10,1）区间全体实数所成集合基数）区间全体实数所成集合基数 （称为连
13、（称为连续统基数）大于可数基数。续统基数）大于可数基数。任意集合任意集合A A的幂集的幂集P(A)P(A)的基数大于的基数大于A A的基数（即不的基数（即不存在最大基数）存在最大基数）=02（c c）序数理论）序数理论连续统假设连续统假设-=-=102第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论2 2、康托集合论的基本内容、康托集合论的基本内容（2）实无限思想实无限思想上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论 19 19世纪的最后几年和世纪的最后几年和2020世纪的头几年，康托、世纪的头几年，康托、罗
14、素相继提出关于集合论的悖论。罗素相继提出关于集合论的悖论。罗素悖论：全体集合按是否属于自身分为罗素悖论：全体集合按是否属于自身分为A,B两个集两个集合，合，A是属于自身的集合生成的子集，是属于自身的集合生成的子集，B是不属于自是不属于自身的集合生成的子集。则身的集合生成的子集。则B是属于是属于A呢还是属于呢还是属于B呢？呢？(理发师的故事）理发师的故事）康托悖论：一方面，没有一个集合的基数能比康托悖论：一方面，没有一个集合的基数能比“一切集合的集合一切集合的集合”的基数更大；另一方面，又已证的基数更大；另一方面，又已证明结论明结论“不存在最大基数不存在最大基数”3 3、公理集合论简介、公理集合
15、论简介策梅洛和费兰克尔：策梅洛和费兰克尔：“一切集合的集合一切集合的集合”这样这样的含糊不清的概念导致悖论。的含糊不清的概念导致悖论。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论集合论的集合论的ZF(ZF(策梅洛和费兰克尔策梅洛和费兰克尔)公理体系包括：公理体系包括：2.2.空集存在公理空集存在公理1.1.外延公理外延公理3.3.并集公理并集公理4.4.幂集公理幂集公理5.5.无限集存在公理无限集存在公理6.6.代换公理代换公理第一篇第一篇 当代数学的若干基础理
16、论当代数学的若干基础理论3 3、公理集合论简介、公理集合论简介上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论一、集合论2.2.空集存在公理空集存在公理1.1.外延公理外延公理3.3.并集公理并集公理4.4.幂集公理幂集公理5.5.无限集存在公理无限集存在公理6.6.代换公理代换公理集合论集合论ZFCZFC公理体系（公理体系（ZFZF公理公理+选择公理）：选择公理）：7.7.选择公理选择公理第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论3 3、公理集合论简介、公理集合论简介上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范
17、大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化1 1、公理系统的概念及要求、公理系统的概念及要求概念：概念：某一学科的基本概念和公理逻辑地组织为一个系统，某一学科的基本概念和公理逻辑地组织为一个系统，称之为某一学科或某一理论的公理系统。称之为某一学科或某一理论的公理系统。3 3、完备性（能推出所有结论）、完备性（能推出所有结论）二、公理化二、公理化 如何建立某一学科或某一理论的公理体系，即如何引如何建立某一学科或某一理论的公理体系，即如何引进若干基本概念和确立一组公理，经历了漫长的历史过程，进若干基本概念和确立一组公理，经历了漫长的历史过程，这也就是公理化思想和方法的
18、发展过程。这也就是公理化思想和方法的发展过程。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论要求：要求：1 1、相容性（相互间无矛盾）、相容性（相互间无矛盾）2 2、独立性（最简单、独立性（最简单,互不推出）互不推出）上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化2 2、实质公理化、实质公理化公理化思想和方法的最早产生：公理化思想和方法的最早产生：5 5个公理个公理欧几里得几何公理的特点：欧几里得几何公理的特点：欧几里得区分公理与公设的原则至今不明。欧几里得区分公理与公设的原则至今不明。公元前公元前30030
19、0年左右古希腊年左右古希腊-欧几里得欧几里得原本原本欧几里得欧几里得原本原本包括：包括：2323个基本概念个基本概念5 5个公设个公设 以经验为基础，以数学实体及关系为对象，以诉诸直以经验为基础，以数学实体及关系为对象，以诉诸直觉为方法，而具有实质意义。觉为方法，而具有实质意义。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化3 3、形式公理化、形式公理化（1 1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 1919世纪初，罗巴契夫斯基和鲍埃（匈
20、牙利）几世纪初，罗巴契夫斯基和鲍埃（匈牙利）几乎同时建立了一种区别于传统欧氏几何的几何学，乎同时建立了一种区别于传统欧氏几何的几何学，称此为罗巴契夫斯基几何，又称为双曲几何。称此为罗巴契夫斯基几何，又称为双曲几何。罗巴契夫斯基几何的建立从根本上改变了人们关罗巴契夫斯基几何的建立从根本上改变了人们关于几何的观念。于几何的观念。罗巴契夫斯基几何不仅逻辑上无矛盾，而且具罗巴契夫斯基几何不仅逻辑上无矛盾，而且具有确定的物理意义，反映了现实空间的性质，这一有确定的物理意义，反映了现实空间的性质，这一点在爱因斯坦的广义相对论中得到证实。点在爱因斯坦的广义相对论中得到证实。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理
21、论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院2什么是代数什么是代数 罗氏几何的创立没有立即引起重视，直到他去世后罗氏几何的创立没有立即引起重视，直到他去世后1212年意年意大利数学家贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断大利数学家贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断罗巴切夫斯基于面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面罗巴切夫斯基于面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上才得到解释，并在数学上得到确认。上才得到解释，并在数学上得到确认。罗巴切夫斯基是俄国伟大的数学家。罗巴切夫斯基是俄国伟大的数学家。
22、17921792年年1212月月1 1日生于下诺伏哥罗德（今高尔日生于下诺伏哥罗德（今高尔基市），基市），18561856年年1212月月2424日卒于喀山。日卒于喀山。18071807年年入喀山大学，入喀山大学，18111811年获硕士学位。毕业后留年获硕士学位。毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任、校长等职。教授、物理数学系主任、校长等职。18461846年年以后任喀山学区副督学。以后任喀山学区副督学。罗巴切夫斯基与雅诺什及高斯等人彼此罗巴切夫斯基与雅诺什及高斯等人彼此独立地创立了一种非欧几何，即罗巴切夫斯独立地创立了一种
23、非欧几何，即罗巴切夫斯基几何学。对几何学和整个数学的发展都起基几何学。对几何学和整个数学的发展都起了巨大的作用。了巨大的作用。二、公理化二、公理化第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论黎曼黎曼-德国数学家，物理学家德国数学家，物理学家 。18261826年年9 9月月1717日生于汉诺威布列日生于汉诺威布列斯伦茨，斯伦茨，18661866年年7 7月月2020日卒于意日卒于意大利塞那斯加。大利塞那斯
24、加。对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼函数，函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为了题为“论作为几何基础的假设论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。上上
25、页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化（）关于欧氏几何公理体系平行公设（第）关于欧氏几何公理体系平行公设（第5 5公设）的讨论公设）的讨论 数学家试图从其他公理和公设推出这一公设，均失败。得到数学家试图从其他公理和公设推出这一公设，均失败。得到了一批与第了一批与第5 5公设等价的命题。公设等价的命题。欧几里得第欧几里得第5 5公设：若两直线与第三条直线相交，而其公设：若两直线与第三条直线相交，而其一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则把这两条直线向一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则把这两条直线向该侧充分延长后必定相
26、交。该侧充分延长后必定相交。过已知直线外一点能且仅能引一条直线平行于已知直线。过已知直线外一点能且仅能引一条直线平行于已知直线。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论其中最有名的是普洛菲尔（苏格拉人）得到的：其中最有名的是普洛菲尔（苏格拉人）得到的：3 3、形式公理化、形式公理化（1 1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化（）罗巴契夫斯基几何的建立）罗巴契夫斯基几何的建立罗巴契夫斯基在论文罗巴契夫斯基在论文关于平行线理论的几何研
27、究关于平行线理论的几何研究中，以中，以上述假设代替第上述假设代替第5 5公设，获得系列定理，而形成一种完全异于公设，获得系列定理，而形成一种完全异于欧氏几何的、逻辑上无矛盾且内容丰富的几何理论欧氏几何的、逻辑上无矛盾且内容丰富的几何理论-罗巴罗巴契夫斯基几何契夫斯基几何18261826年，罗巴契夫斯基首次对欧几里得几何第年，罗巴契夫斯基首次对欧几里得几何第5 5公设的公设的“真实性真实性”表示异议。他认为：既不可能证明第表示异议。他认为：既不可能证明第5 5公设，也公设，也无理由认为第无理由认为第5 5公设关于平行关系的断言是绝对精确的。公设关于平行关系的断言是绝对精确的。罗巴契夫斯基假设：过
28、已知直线外一点至少可引两条直线罗巴契夫斯基假设：过已知直线外一点至少可引两条直线与已知直线不相交。与已知直线不相交。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论3 3、形式公理化、形式公理化（1 1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化罗巴契夫斯基几何的若干基本定理：罗巴契夫斯基几何的若干基本定理：过平面过平面P P上已知直线上已知直线a a外一点外一点A,A,可以引无穷多条直线与可以引无穷多条直线与已知直线不相交。已知直线不相交。平面
29、平面P P上两不相交直线与第三条直线都相交，生成的上两不相交直线与第三条直线都相交，生成的同位角可以不等。同位角可以不等。三角形三角形内角和小于两个直角。内角和小于两个直角。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论（）罗巴契夫斯基几何的建立）罗巴契夫斯基几何的建立3 3、形式公理化、形式公理化（1 1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院（1 1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立二、公理化二、公理化（）罗巴契夫斯基几何的相
30、对相容性）罗巴契夫斯基几何的相对相容性18701870年，年，F.KleinF.Klein(德国）在通常的欧式平面上建立了罗巴契夫德国）在通常的欧式平面上建立了罗巴契夫斯基几何整体的模型。斯基几何整体的模型。罗巴契夫斯基几何如此有悖于直觉，虽然已作的讨论未见矛盾，罗巴契夫斯基几何如此有悖于直觉，虽然已作的讨论未见矛盾，但无法推知进一步的展开中是否会出现矛盾。罗巴契夫斯基作了但无法推知进一步的展开中是否会出现矛盾。罗巴契夫斯基作了大量天文观测和计算，希望在以天文尺度度量的空间中证实自己大量天文观测和计算，希望在以天文尺度度量的空间中证实自己的理论比欧式几何更精确，但未如愿。的理论比欧式几何更精确
31、，但未如愿。18681868年，年，BeltramiBeltrami（意大利）开始考虑罗巴契夫斯基几何公（意大利）开始考虑罗巴契夫斯基几何公理系统关于欧式几何公理系统的相对相容性。首先在欧式几何理系统关于欧式几何公理系统的相对相容性。首先在欧式几何的伪球面上建立了罗巴契夫斯基几何的局部模型的伪球面上建立了罗巴契夫斯基几何的局部模型此后不久，此后不久，J.PoincareJ.Poincare（法国）又给出罗巴契夫斯基几何的另（法国）又给出罗巴契夫斯基几何的另一个著名模型。一个著名模型。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论3 3、形式公理化、形式公理化上上 页页下下 页页结结
32、 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化（2 2）形式公理化的历程）形式公理化的历程（）希尔伯特的工作）希尔伯特的工作希尔伯特观点：基本概念是无法定义的，但它们具有确定的数学希尔伯特观点：基本概念是无法定义的，但它们具有确定的数学意义；而公理则是对基本概念本质内涵的限定和确认。意义；而公理则是对基本概念本质内涵的限定和确认。希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作，则在真正意义上希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作，则在真正意义上创立了形式公理化方法。创立了形式公理化方法。首先给出不予定义的基本概念：点；线；面；在首先给出不予定义的基本概念：点；
33、线；面；在之上；之上；在在之间；重合。之间；重合。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作主要包括：希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作主要包括：3 3、形式公理化、形式公理化然后建立了然后建立了5 5组共组共2020条公理条公理上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第一组第一组8 8条公理条公理被称为结合公理，是关于被称为结合公理，是关于“在在之上之上”的存在性公理：的存在性公理：2.2.对任意两点对任意两点A A、B B，仅有一条直线，仅有一条直线a a存在，
34、使存在，使A A、B B在在a a上。上。1.1.对任意两点对任意两点A A、B B，有一条直线，有一条直线a a存在，使存在，使A A、B B在在a a上。上。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论3.3.在任一条直线在任一条直线a a上至少存在两个点；又至少存在三个点，它们上至少存在两个点；又至少存在三个点，它们不在同一直线上。不在同一直线上。4.4.对任一不在同一直线上的三点对任一不在同一直线上的三点A A、B B、C C，有一个平面存在，使，有一个平面存在，使A A、B B、C C在平面上。在平面上。5.5.对任一不在同一直线上的三点对任一不在同一直线上的三点A A
35、、B B、C C，仅有一个平面存在，仅有一个平面存在，使使A A、B B、C C在平面上。在平面上。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第一组第一组8 8条公理条公理被称为结合公理，是关于被称为结合公理，是关于“在在之上之上”的存在性公理：的存在性公理：7.7.若一直线上的两个点在某平面上，则该直线的点都在该平面上。若一直线上的两个点在某平面上，则该直线的点都在该平面上。6.6.在任一平面上至少存在三个点；又至少存在四个点，它们不在任一平面上至少存在三个点；又至少存在四个点，它们不在同一平面上。在同一平面上。第
36、一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论8.8.若两平面有一个公共点，则它们至少还有一个公共点。若两平面有一个公共点，则它们至少还有一个公共点。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第二组第二组4 4条公理条公理被称为顺序公理，是关于被称为顺序公理，是关于“在在之之间间”，即关于点和线的相对顺序的公理：，即关于点和线的相对顺序的公理：1.1.若若A A、B B、C C是直线是直线a a上三个点，且上三个点，且B B在在A A与与C C之间，则之间，则B B也在也在C C与与A A之间。之间。第一篇
37、第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论2.2.对直线对直线a a上任意两点上任意两点A A、C C，在，在a a上至少存在一点上至少存在一点B B，使，使B B在在A A与与C C之间。之间。3.3.直线上任意三点中，至多只有一点在其余两点之间。直线上任意三点中，至多只有一点在其余两点之间。4 4（在给出（在给出“线段线段”、“线段内部的点线段内部的点”和和“线段的端点线段的端点”的定的定义之后），义之后），A A、B B、C C是不在同一直线上的任意三点，是不在同一直线上的任意三点，a a是是A A、B B、C C所在平面上的一条直线，若所在平面上的一条直线，若a a过线段过线
38、段ABAB内部的点，则内部的点，则a a还过线段还过线段ACAC或线段或线段BCBC内部的点。（内部的点。（PaschPasch公理）公理）上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第三组第三组5 5条公理条公理是关于移动和重合的规定，被称为移动是关于移动和重合的规定，被称为移动公理或合同公理，用记号公理或合同公理，用记号“”表示重合关系：表示重合关系：第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论（在给出（在给出“线段在某一线段内部线段在某一线段内部”、“直线上两点在某一点的同直线上两点在某一点的同侧、
39、异侧侧、异侧”、“射线（半直线）及其原点射线（半直线）及其原点”、“平面上两点在某平面上两点在某一直线的同侧、异侧一直线的同侧、异侧”、“空间中两点在某一平面的同侧、异空间中两点在某一平面的同侧、异侧侧”、“角、角的边与顶点角、角的边与顶点”、“角的内部角的内部”等定义后）等定义后）1.1.若若A A、B B是直线是直线a a上两个点，上两个点，C C是是a a上（或另一直线上（或另一直线b b上）一点，则上）一点，则在直线在直线a a上（或上（或b b上）上）C C的指定一侧，有且仅有一点的指定一侧，有且仅有一点D D，使线段，使线段ABCDABCD。2.2.若若ABCD ABCD 且且 A
40、BEFABEF，则则 EFCDEFCD。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化3.3.若若ABAB和和BCBC是直线是直线a a上无公共内部点的线段，上无公共内部点的线段，MNMN和和NLNL是直线是直线a a或或另一直线另一直线b b上无公共内部点的线段，上无公共内部点的线段，ABMNABMN，BCNLBCNL，则，则ACML ACML。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论4.4.设设（h h，k k）在平面）在平面上，给定平面上，给定平面或另一平面或另一平面上的直线上的直线b b，并指定
41、其一侧，并指定其一侧，f f是是b b上以上以O O为原点的射线，则在平面为原点的射线，则在平面上以上以O O为原点有且仅有一条射线为原点有且仅有一条射线g g，使，使（f f，g g）（h h，k k），且），且（f f，g g）内部的点在直线）内部的点在直线b b指定的一侧；又指定的一侧；又（k k，h h）（h h，k k）。）。5.5.设点设点A A、B B、C C不共线，点不共线，点E E、F F、G G也不共线，若也不共线，若ABEFABEF，ACEGACEG且且BACFEGBACFEG，则，则ABCEFG ABCEFG，ACBEGFACBEGF。上上 页页下下 页页结结 束束返返
42、 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第四组第四组2 2条公理条公理被称为连续公理，分别规定直线应具备被称为连续公理，分别规定直线应具备阿基米德性和连续性：阿基米德性和连续性：第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论1.1.设设ABAB、CDCD是任意两条线段，则在直线是任意两条线段，则在直线ABAB上存在有限个上存在有限个点点 ，使线段，使线段 都与都与CDCD重合，且重合，且使点使点B B在在A A和和 之间。之间。12,nA AA12,nAAAAAAnA2.2.设设 是直线是直线a a上线段的无穷序列，每一条线段都上线段的
43、无穷序列，每一条线段都在前一条线段的内部，且不存在这样的线段，它在所有上述线段在前一条线段的内部，且不存在这样的线段，它在所有上述线段的内部，则直线的内部，则直线a a上有且仅有一个点在所有上述线段的内部。上有且仅有一个点在所有上述线段的内部。1122,AB A B 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化第五组第五组1 1条公理条公理即平行公理，采用普莱费尔的命题形式即平行公理，采用普莱费尔的命题形式：第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论设设a a是任意直线，是任意直线，A A是不在直线是不
44、在直线a a上的任意一点，则在上的任意一点，则在a a和和A A所在的平面，有且仅有一条直线经过所在的平面，有且仅有一条直线经过A A且与且与a a不相交。不相交。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院2什么是代数什么是代数大卫大卫希尔伯特（希尔伯特（David HilbertDavid Hilbert，18621862年年1 1月月2323日日19431943年年2 2月月1414日），日），德国德国数学家，是数学家，是1919世纪和世纪和2020世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862
45、1862年出生于年出生于哥尼斯堡哥尼斯堡，19431943年在德国哥廷根逝年在德国哥廷根逝世。他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：世。他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论、公理化几何、不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间希尔伯特空间）而被）而被尊为伟大的数学家、科学家。希尔伯特和他的学尊为伟大的数学家、科学家。希尔伯特和他的学生为形成生为形成量子力学量子力学和和广义相对论广义相对论的数学基础做出的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。数学与元数学之差别的奠基人之一。希尔伯特热忱地支持希尔
46、伯特热忱地支持康托康托的的集合集合论与无限数。他在数学上的领导地位充分体论与无限数。他在数学上的领导地位充分体现于：现于：19001900年，在巴黎举行的第年，在巴黎举行的第2 2届国际数学家大会上，届国际数学家大会上，3838岁的大卫岁的大卫希尔伯希尔伯特作了题为特作了题为数学问题数学问题的著名讲演，提出了新世纪所面临的的著名讲演，提出了新世纪所面临的2323个问题。这个问题。这2323个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想就是第就是第8 8个问题中的一部分。对这些问题的研究，有力地推动了个问题中的一部分。对这些问题的
47、研究，有力地推动了2020世纪各个数学分支世纪各个数学分支的发展的发展.二、公理化二、公理化第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化（）欧氏几何公理体系的相容性问题）欧氏几何公理体系的相容性问题希尔伯特还分别构造了满足他的希尔伯特还分别构造了满足他的5 5组公理中的任意组公理中的任意4 4组而不满足组而不满足另一组公理的模型，证明了这样的系统的相容性，也证明了每一另一组公理的模型，证明了这样的系统的相容性，也证明了每一组公理的独立性。组公理的独立性。希尔伯特
48、首先证明了欧式几何公理体系关于实数系统的相对希尔伯特首先证明了欧式几何公理体系关于实数系统的相对相容性。相容性。由于实数系统是自然数算术系统的扩充，因此欧式几何系统由于实数系统是自然数算术系统的扩充，因此欧式几何系统的相容性取决于算术系统是否相容。的相容性取决于算术系统是否相容。平行公理的独立性正表明了非欧几何的可能性。平行公理的独立性正表明了非欧几何的可能性。由于用集合论的概念和方法可给出自然数及其运算，因此算由于用集合论的概念和方法可给出自然数及其运算，因此算术系统是否相容取决于集合论的相容性（而集合论的相容性问术系统是否相容取决于集合论的相容性（而集合论的相容性问题至今未有最终的解决）。
49、题至今未有最终的解决）。第一篇第一篇 当代数学的若干基础理论当代数学的若干基础理论（2 2）形式公理化的历程）形式公理化的历程3 3、形式公理化、形式公理化上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回江西师范大学数学与信息科学学院江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化二、公理化（）哥德尔不完备性定理及其意义）哥德尔不完备性定理及其意义哥德尔不完备性定理表明，形式系统不足以证明所有在系统中哥德尔不完备性定理表明，形式系统不足以证明所有在系统中可以作出的判断。这就要求重新考虑什么是公理系统的完备性。可以作出的判断。这就要求重新考虑什么是公理系统的完备性。19311931年，奥地利数学家哥德尔给出关于
50、形式系统的不完备年，奥地利数学家哥德尔给出关于形式系统的不完备性定理，证明了：任何形式系统中不可判定命题的存在性。性定理，证明了：任何形式系统中不可判定命题的存在性。任何公理化都无法取代实践而作为数学的基础，恰恰相反，实任何公理化都无法取代实践而作为数学的基础，恰恰相反，实践是公理化的基础。公理系统的相容性最终有赖于实践检验。践是公理化的基础。公理系统的相容性最终有赖于实践检验。2020世纪初，数学的许多分支相继实现公理化，从而建立了严世纪初，数学的许多分支相继实现公理化，从而建立了严格的逻辑基础而实现了自身的严密化，而获得了巨大的发展。格的逻辑基础而实现了自身的严密化，而获得了巨大的发展。实
