1、洛伦兹力问题及解题策略洛伦兹力问题及解题策略佛山市南海区西樵高级中学 方红德 纵观广东省纵观广东省近十年物理高考对洛伦兹力问题的考查情况可知，近近十年物理高考对洛伦兹力问题的考查情况可知，近十年高考均涉及了洛伦兹力问题，十年高考均涉及了洛伦兹力问题，并且并且大部分时候都大部分时候都以以压压轴计算题的轴计算题的形式形式出现出现，且，且分值分值居高不下居高不下。由此可见，由此可见，洛伦兹力问题是高考命题的洛伦兹力问题是高考命题的热点之一热点之一，其其重要性由此可见一斑重要性由此可见一斑。高考高考对对洛伦兹力问题的洛伦兹力问题的考查考查，侧重侧重于知识应用方面的考查于知识应用方面的考查，难度，难度相
2、对相对较大较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析能力要求能力要求较高较高。所以所以对对洛伦兹力问题必须引起高度的洛伦兹力问题必须引起高度的重视重视。学习内容学习内容一一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的圆心的确定的确定及及半径半径、周期周期和在磁场中和在磁场中运动运动时间的有关问题时间的有关问题二二、带电粒子在磁场中的临界、带电粒子在磁场中的临界问题问题三三、带电粒子在复合场中的计算、带电粒子在复合场中的计算题题一一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的
3、圆心的确定的确定及及半径半径、周期周期和在磁场中和在磁场中运动运动时间的有关问题时间的有关问题1.1.确定圆心的方法：确定圆心的方法：带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，根据根据FvFv，圆心圆心一定在与速一定在与速度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上。在实际问题中，圆心位置的确定通常有两个方法：。在实际问题中，圆心位置的确定通常有两个方法：(1)如图甲所示，图中如图甲所示，图中P为入射点，为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射方向时，可以为出射点，已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交
4、点就是圆通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心弧轨道的圆心O。(2)如图乙所示，图中如图乙所示，图中P为入射点，为入射点，M为出为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心线的交点就是圆弧轨道的圆心O。2 2.半径、周期的计算半径、周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀速圆周运
5、动速圆周运动，如右动画所示，所以有，如右动画所示，所以有：3圆心角和运动时间的圆心角和运动时间的确定：确定：如右图，由几何如右图，由几何知识可得偏向角等于圆心角等于弦切角的两倍，知识可得偏向角等于圆心角等于弦切角的两倍，即：即：,知道圆心角，就可以找出运动时知道圆心角，就可以找出运动时间与周期的关系。间与周期的关系。=22360tTTm vRq B2mTqB2vqvBmR2 RTv02360tT例例1.1.确定下列常见的各运动电荷在磁场中运动的圆心确定下列常见的各运动电荷在磁场中运动的圆心（1 1）（2 2）（3 3）A（4 4）（5 5）（7 7）（6 6）例例2.2.如下图所示，如下图所示
6、，匀强磁场磁感应强度为匀强磁场磁感应强度为 B B0.2 T0.2 T，方向垂直纸面向里在磁场，方向垂直纸面向里在磁场中中P P 点引入一个质量为点引入一个质量为m=2.0m=2.01010-8-8kgkg、带电荷量为、带电荷量为q q5 51010-6-6C C 的正粒子，以的正粒子，以v v10m/s10m/s的速的速度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大(1)(1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹(2)(2)粒子做匀速圆周运动的半径和周
7、期为多大？粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？解：解：(1)(1)由左手定则可由左手定则可知，正粒子在匀强磁场中应知，正粒子在匀强磁场中应向向 P P 点上方偏，轨迹如右图点上方偏，轨迹如右图 (2)由 rmvqB得 r0.2 m2mqB由T 得T0.126 s.例例2.2.如下图所示，如下图所示，匀强磁场磁感应强度为匀强磁场磁感应强度为 B B0.2 T0.2 T，方向垂直纸面向里在磁场，方向垂直纸面向里在磁场中中P P 点引入一个质量为点引入一个质量为m=2.0m=2.01010-8-8kgkg、带电荷量为、带电荷量为q q5 51010-6-6C C 的正粒子，以的正粒子，以v v10
8、m/s10m/s的速的速度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大(1)(1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹(2)(2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？解：解：(1)(1)由左手定则可由左手定则可知，正粒子在匀强磁场中应知，正粒子在匀强磁场中应向向 P P 点上方偏，轨迹如右图点上方偏，轨迹如右图 (2)由 rmvqB得 r0.2 m2mqB由T 得T0.126 s.例例3.3.如图所示，一束电荷量为
9、如图所示，一束电荷量为e e的电子以垂直于磁场方向的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为磁感应强度为B)B)并并垂直于磁场边界的速度垂直于磁场边界的速度v v射入宽度为射入宽度为d d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为射入方向的夹角为3030.求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间 例例3.3.如图所示，一束电荷量为如图所示，一束电荷量为e e的电子以垂直于磁场方向的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为磁感应强度为B)B)并并垂直于磁场边界的速度垂直于磁场边界的速度v v射入宽度为射入宽度为d d的磁场中，穿出磁场
10、时速度方向和原来的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为射入方向的夹角为3030.求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间 解析解析过过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于垂线交于O点，点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连结圆心，连结ON，过，过N作作OM的垂线，垂足为的垂线，垂足为P，如图所，如图所示由直角三角形示由直角三角形OPN知，电子的轨迹半径知，电子的轨迹半径 电子在磁场中运动周期为电子在磁场中运动周期为电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为电子在磁场中的轨迹对应的圆心
11、角为30，故电子在磁场中的运动时间为，故电子在磁场中的运动时间为例例4.4.电子质量为电子质量为m m电荷量为电荷量为q,q,以速度以速度v v0 0与与x x轴成轴成角射入磁感应强度为角射入磁感应强度为B B的的匀强磁场中，最后落在匀强磁场中，最后落在x x轴上的轴上的P P点，如图所示，求点，如图所示，求:（1 1）的）的opop长度长度;（2 2）电子由）电子由O O点射入到落在点射入到落在P P点所需的时间点所需的时间t.t.【解析解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定圆心的位置，画出运动轨迹圆心的位置
12、，画出运动轨迹.所求距离应和半径所求距离应和半径R R相联系，所求时间应和粒子相联系，所求时间应和粒子转动的圆心角转动的圆心角、周期、周期T T相联系相联系.(1)(1)过过点点和和P P点作速度方向的垂线，两线点作速度方向的垂线，两线交点即交点即为为电子在电子在磁场中做匀磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，则速圆周运动的圆心，如图所示，则可知可知 由由式式可解得可解得:由由式式可解得可解得:02mvOPsinqB(2)(2)电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知222m2m t=T=22qBqB2mTqB02 RTv由由得得P P圆轨道
13、的圆心位于圆轨道的圆心位于OA的中垂的中垂线上，由几何关系可得线上，由几何关系可得(式中式中R为圆轨道的半径为圆轨道的半径)联立联立、两式，解得两式，解得 点评：点评：已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，这对已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算带电粒子的正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算带电粒子的出射位置有很大的帮助出射位置有很大的帮助x xy yo op pv vF F洛洛v v得得：解：如右图所示：解：如右图所示：二、带电粒子在磁场中的临界问题二、带电粒子在磁场中的临界问题例例6.如图，宽度为如图，宽度为d的
14、匀强有界磁场，磁感应强度为的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM和和NN是磁场左右的是磁场左右的两条边界线现有一质量为两条边界线现有一质量为m，电荷量为，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，中，45.要使粒子不能从右边界要使粒子不能从右边界NN射出，求粒子入射速率的最大值为多少？射出，求粒子入射速率的最大值为多少？解析：解析：粒子的半径与速度成正比，可作出粒子的半径与速度成正比，可作出带电粒子运动带电粒子运动的轨迹的轨迹如如右右图图所示，当其运动轨迹与所示，当其运动轨迹与NN边界线相切于边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率点时，这就是具有最大入
15、射速率vmax的粒子的轨迹的粒子的轨迹所以：所以：R(1cos 45)d由由解得解得：例例7 7如下图所示，长为如下图所示，长为L L、间距为、间距为d d的平行金属板间，有垂直于纸面的平行金属板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为向里的匀强磁场，磁感应强度为B B，两板不带电，现有质量为，两板不带电，现有质量为m m、电荷、电荷量为量为q q的带正电粒子的带正电粒子(重力不计重力不计)，从左侧两极板的中心处以不同速率，从左侧两极板的中心处以不同速率v v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v v应满足什么条件？应满足什么条件？例例8.分布在
16、半径为分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向，方向垂直纸面向里电荷量为里电荷量为q、质量为、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘的带正电的粒子从磁场边缘a点沿圆的半径点沿圆的半径aO方向射入方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了磁场，离开磁场时速度方向偏转了60角试求：角试求：(1)粒子做圆周运动的半径粒子做圆周运动的半径；(2)粒子的入射速度粒子的入射速度；(3)粒子在磁场中运动的时间粒子在磁场中运动的时间解解.(1)设带正电的粒子从磁场区域射出点为设带正电的粒子从磁场区域射出点为c，射出方向的，射出方向的反向延长线与入射方向的直
17、径交点为反向延长线与入射方向的直径交点为O，如图粒子在磁场，如图粒子在磁场区域中运动的轨迹区域中运动的轨迹ac是一段圆弧，它的圆心是一段圆弧，它的圆心O一定位于一定位于过入射点过入射点a且与入射方向垂直的直线上由于粒子射出磁且与入射方向垂直的直线上由于粒子射出磁场的方向必沿圆弧场的方向必沿圆弧ac在在c点的切线，故连线点的切线，故连线Oc必垂直于必垂直于连线连线Oc.又因为四边形的四个内角之和为又因为四边形的四个内角之和为360，可推出，可推出aOc60，即粒子在磁场区域中运动轨迹，即粒子在磁场区域中运动轨迹ac对点对点O的的圆心角为圆心角为60.轨道轨道半径半径(2)根据圆周运动的规律有：根
18、据圆周运动的规律有：由由得：得：(3)(3)电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知三、带电粒子在复合场中的计算题三、带电粒子在复合场中的计算题例例9.9.如图所示，在如图所示，在xOyxOy坐标平面的第一象限内有沿坐标平面的第一象限内有沿-y-y方向的匀强电场，在第四象限方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场现有一质量为内有垂直于平面向外的匀强磁场现有一质量为m m，带电荷量为，带电荷量为+q+q的粒子的粒子(重力不重力不计计)以初速度以初速度v0v0沿沿-x-x方向从坐标为方向从坐标为(3l(3l，l)l)的的P P点开始
19、运动，接着进入磁场后由坐标点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点原点O O射出，射出时速度方向与射出，射出时速度方向与y y轴正方向夹角为轴正方向夹角为4545，求：，求：(1)(1)粒子从粒子从O O点射出时的速度点射出时的速度v v和电场强度和电场强度E E；(2)(2)粒子从粒子从P P点运动到点运动到O O点过程所用的时间；点过程所用的时间；解析根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由解析根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q Q点进入磁点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O O点射出点射出(轨迹如图所示轨迹如图所示)(1)(1
20、)根据对称性可知，粒子在根据对称性可知，粒子在Q Q点时速度大小为点时速度大小为v v，方向与，方向与-y y轴方向成轴方向成4545，则有：则有：v vcos 45cos 45v v0 0 例例10.10.如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E E（宽度为（宽度为L L）和匀强磁场）和匀强磁场B B（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为q q，质量为，质量为m m（不计重力），从（不计重力），从A A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过点由静止释放，经电场加
21、速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回A A点，重复前述过程。求中间点，重复前述过程。求中间磁场的宽度磁场的宽度d d和粒子的运动周期。和粒子的运动周期。解：解：作出粒子运动轨迹如图。作出粒子运动轨迹如图。设粒子在电场中加速后速度为设粒子在电场中加速后速度为v,所需时间为所需时间为t1。由动能定理及运动学知识（或动量定理）由动能定理及运动学知识（或动量定理）得：得：A v60O60O60OO1O2O3MN或或A v60O60O60OO1O2O3MN二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法一、带电粒子在
22、匀强磁场中的运动规律一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律1 1、物理方法：、物理方法：作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。3 3、几何方法：、几何方法：圆周上任意两点连线的中垂线过圆心圆周上任意两点连线的中垂线过圆心 圆周上两条切线夹角的平分线过圆心圆周上两条切线夹角的平分线过圆心 过切点作切线的垂线过圆心过切点作切线的垂线过圆心2 2、物理和几何方法：、物理和几何方法：作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力，沿其方向作出带电粒子在磁场中某个位置所
23、受洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。1、带电粒子在磁场中（、带电粒子在磁场中（vB）运动只受洛仑兹力，）运动只受洛仑兹力，粒子做匀速圆周粒子做匀速圆周 运动运动 。2、轨道半径：、轨道半径：3、周期：、周期：洛伦兹力问题解题策略小结洛伦兹力问题解题策略小结m vRq B2mTqB祝同学们学习快乐！祝同学们学习快乐！练习练习1.1.如图所示，在如图所示，在xOyxOy平面内，平面内，y0y0的区域有垂直于的区域有垂直于xOyxOy平面向里平面向里的匀强磁场，磁感应强度为的匀强磁
24、场，磁感应强度为B B，一质量为，一质量为m m、带、带电荷量电荷量大小为大小为q q的粒的粒子从原点子从原点O O沿与沿与x x轴正方向成轴正方向成6060角方向以角方向以v v0 0射入，粒子的重力不计，射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。思路思路确定粒子的电性确定粒子的电性判定洛判定洛伦兹力的方向伦兹力的方向画运动轨迹画运动轨迹确定圆心、半径、圆心角确定圆心、半径、圆心角确确定运动时间及离开磁场的位置。定运动时间及离开磁场的位置。解析解析 当带电粒子带正电时，轨迹如图中当带电粒子带正电时，轨
25、迹如图中OACOAC，对粒子，由于洛，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则伦兹力提供向心力，则 qv0Bmv20R，Rmv0qB，T2mqB 故粒子在磁场中的运动时间故粒子在磁场中的运动时间 t1240360T4m3qB 练习练习2.2.如图，水平向右的匀强电场场强为如图，水平向右的匀强电场场强为E，水平方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度水平方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为为B.其间有竖直固定的绝缘杆，杆上套有一带正其间有竖直固定的绝缘杆，杆上套有一带正电荷量为电荷量为q，质量为，质量为m的小球，小球与杆间的动的小球，小球与杆间的动摩擦因数为摩擦因数为.已知已知mgqE.现使小球由静
26、止释放，现使小球由静止释放，试求小球在下滑过程中的最大加速度和最大速度试求小球在下滑过程中的最大加速度和最大速度.解析解析 做好小球运动过程的动态分析，找出极值对应的条件做好小球运动过程的动态分析，找出极值对应的条件.小球释放瞬间，受重力小球释放瞬间，受重力mg，水平向右的电场力，水平向右的电场力F=qE，杆给小球向左，杆给小球向左的弹力的弹力FN，FN与与F平衡，则平衡，则FN=qE，向上的摩擦力，向上的摩擦力f，因为，因为mgqE，所以，所以小球加速下滑小球加速下滑.小球运动后，出现向左的洛伦兹力小球运动后，出现向左的洛伦兹力f洛洛=qvB，小球受力如，小球受力如图甲所示，则有图甲所示，则
27、有 水平方向水平方向 FN+qvB=qE 竖直方向竖直方向 mgFN=ma 解得解得 a=(mg+qvBqE)/m vf洛洛FNfF合合a 可见小球做加速度增加的加速运动，在可见小球做加速度增加的加速运动，在f=0，即，即FN=0时，时，加速度达到最大，由式得：加速度达到最大，由式得：amax=g 答案答案 g 此时速度可由式得此时速度可由式得 ，但速度继续增大，洛伦兹，但速度继续增大，洛伦兹力增大，支持力反向，受力如图乙力增大，支持力反向，受力如图乙.有：有：水平方向水平方向 qvB=FN+qE 竖直方向竖直方向 mgFN=ma 解得解得 a=(mgqvB+qE)/m 小球运动的动态过程为：
28、小球运动的动态过程为：vf洛洛FNfF合合a 小球做加速度减小的加速运动，在小球做加速度减小的加速运动，在a=0时速度达到最大，时速度达到最大，由式得由式得vmax=(mg+qE)/Bq.BEv 1BqqEmg练习练习3 3：一带电质点，质量为一带电质点，质量为m m、电量为、电量为q q，以平行于，以平行于OxOx轴的速度轴的速度v v从从y y轴上的轴上的a a点点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x x轴上的轴上的b b点以垂直于点以垂直于OxOx轴的轴的速度速度v v射出，可在适当的地方加一个垂直于射出，可在适当的地方加一个垂直于O
29、xyOxy平面、磁感应强度为平面、磁感应强度为B B的匀强磁的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。（重力忽略不计）。连接连接MN，所求的最小磁场区域应以，所求的最小磁场区域应以MN为直径的圆形区域。为直径的圆形区域。故所求磁场区域的最小半径为：故所求磁场区域的最小半径为：过过P点作角点作角aPb的角平分线，然后在角的角平分线，然后在角aPb的平分线上取一点的平分线上取一点O，以，以O为圆心，为圆心，以以R为半径作圆与为半径作圆与aP和和bP分别相切于分别相切于M点点和和N点点,粒子的运动迹为粒子的运动迹为MN的一段圆弧。质的一段圆弧。质点在磁场中作圆周运动，半径为：点在磁场中作圆周运动，半径为：Pv vM MN NO O y yO Oa ab bv vx xv v解：过解：过a、b两点分别作平行两点分别作平行x轴和轴和y轴的平行线且交于轴的平行线且交于P点；点；2222=2222MNRRmvRRqB
