1、基本内容基本内容:第三章 点、直线、平面B1B2B3一、点的投影1.1.点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影APa Pb 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。2.2.点的正投影规律点的正投影规律点的第一条正投影规律点的第一条正投影规律 一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。点的第二条正投影规律点的第二条正投影规律 空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个与该投影面垂直的投影面上的投
2、影到其投影轴的距离。3.3.点的三面投影点的三面投影WHVOX空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点A的正面投影a点A的水平投影a 点A的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa AZYWVHXYZOVHWAaa a XaaZaY向右翻向右翻转转90向下翻转向下翻转90不动不动投影面展投影面展开开ay a aazxaaayZXYYOXYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律 a aOX轴 aax=a az=y=A到V面的距离 a ax=a ay=z=A到H面的距离 aay=a az=x=A到W
3、面的距离aXaZaYYZaZa XYaYOaaXaYa a a OZ轴点的投影与点的坐标的关系点的投影与点的坐标的关系a aaX例例1 1 已知点已知点A A的两个投影，求第三投影。的两个投影，求第三投影。a a aaXazaZ解法一解法一:通过作通过作4545线线使使a aZ=aaX解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a aZ=aaXa 例例2 2 已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。a b 空间点A在OX轴上空间点B在OZ轴上bb ZOXYa aZOXY 在哪里？a 在哪里？b 空间点A在哪里？空间点B在哪里？点的直观图的做法两点的相对位置两点的相对位置 两点
4、的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法 x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。XYHYWZ重影点重影点 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A A、C C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢呢a c？直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。端点的投
5、影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。直线对直线对一个投影面一个投影面的投影的投影特性：特性：AMBa(m)(b)ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABab直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。在三投影面体系中，直线有三种
6、位置：在三投影面体系中，直线有三种位置：投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线 一般位置直线一般位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。垂直于某一个投影面的直线。垂直于某一个投影面的直线。对三个投影面都是倾斜的直线。对三个投影面都是倾斜的直线。各种位置直线的投影，都应符合各种位置直线的投影，都应符合“长对正长对正、高平齐高平齐、宽相等宽相等”的投影规律。的投影规律。平行于水平面的直线称为水平线。平行于水平面的直线称为水平线。平行于正面的直线称为正平线平行于正面的直线称为正平线 。平行于侧面的直线称为侧平线。平行于侧面
7、的直线称为侧平线。平行于水平面的直线称为水平线。平行于水平面的直线称为水平线。平行于正面的直线称为正平线平行于正面的直线称为正平线 。平行于侧面的直线称为侧平线。平行于侧面的直线称为侧平线。正平线的投影特点正平线的投影特点:正面投影ab为倾斜线段，且反映实长及夹角；水平投影ab平行于OX轴，小于实长；侧面投影ab平行于OZ轴，小于实长。投影面平行线读图问题投影面平行线读图问题-举例举例垂直于水平面的直线称为铅垂线。垂直于水平面的直线称为铅垂线。垂直于正面的直线称为正垂线垂直于正面的直线称为正垂线 。垂直于侧面的直线称为侧垂线。垂直于侧面的直线称为侧垂线。垂直于水平面的直线称为水平线。垂直于水平
8、面的直线称为水平线。垂直于正面的直线称为正垂线垂直于正面的直线称为正垂线 。垂直于侧面的直线称为侧垂线。垂直于侧面的直线称为侧垂线。正垂线的投影特点正垂线的投影特点:正面投影ab成为一个点，有积聚性；水平投影ab垂直于OX轴，且反映实长；侧面投影ab垂直于OZ轴，也反映实长。投影面垂直线读图问题投影面垂直线读图问题-举例举例对三个投影面都是倾斜的直线称为对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线一般位置直线。对三个投影面都是倾斜的直线称为对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线一般位置直线。一般位置直线的投影特性是：一般位置直线的投影特性是：三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。直线上点的投影
9、特性：直线上点的投影特性：直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。同一直线上两线段实长之比等于其投影长度之比。由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的一个投影(投影面垂直线积聚的投影除外)，求出它的另外两个投影。例例 判断点判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上故上故点点K不在不在AB上。上。abka b k 另一判断法另一判断法?方法一：方法一：方法二：方法二：应用定比性：应用定比性：因因 ak/kb a k /k b 所以点所以点K不在不在AB上上。例例 习题集习题集P12 3-9P12 3-9。三、平面的投影 平面在三投
10、影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的同面投影确定。同面投影确定。平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类垂直面垂直面垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面特殊位置平面特殊位置平面平行面平行面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜一般位置平面一般位置平面投影面投影面垂直面垂直面投影面投影面平行面平行面一般位置平面一般位置平面1.1.投影面垂直面投影面垂直面1.1.投影面垂直面投影面垂直面c a cabb c b a
11、正垂面正垂面、铅垂面铅垂面、侧垂面、侧垂面只垂直正面投影面只垂直正面投影面正垂面正垂面只垂直水平投影面只垂直水平投影面铅垂面铅垂面只垂直侧面投影面只垂直侧面投影面侧垂面侧垂面ABCABC是什是什么平面么平面？积聚性ABCABC是铅是铅垂面。垂面。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。垂直面的投影特性：垂直面的投影特性：另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。投影面垂直面读图问题投影面垂直面读图问题-举例（面内有垂线）举例（
12、面内有垂线）2.2.投影面平行面投影面平行面a b c a b c abc2.2.投影面平行面投影面平行面在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。影轴平行的直线。正平面正平面、水平面水平面、侧平面、侧平面平行于正面投影面平行于正面投影面正平面正平面平行于水平投影面平行于水平投影面水平面水平面平行于侧面投影面平行于侧面投影面侧垂面侧垂面ABCABC是什是什么平面？么平面？平行面的投影特性：平行面的投影特性：水平投影是水平投影是实形，所以实形，所以ABCABC是水平面是水
13、平面实形实形投影面平行面读图问题投影面平行面读图问题-举例举例P为正垂面为正垂面S为铅垂面为铅垂面R为正平面为正平面例例 参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。a b c a c b abc3.3.一般位置平面一般位置平面三个投影都是类似形。三个投影都是类似形。投影特性：投影特性：4.平面上的直线和点平面上的直线和点(1)(1)平面上取任意直线平面上取任意直线 若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。方法一：方法一：方法二：方法二：如何判断直线在平面内
14、如何判断直线在平面内？abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1 已知平面由相交的两直线已知平面由相交的两直线ABAB、AC AC 所确定，所确定，试在试在平面内平面内任作一条直线。任作一条直线。解法一解法一解法二解法二（利用方法一）（利用方法一）（利用方法二）（利用方法二）有无数个解。有无数个解。例例2 2 在平面在平面ABC ABC 内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H 面的距离为面的距离为20mm20mm。n m nm20c a b cab 结论：结论：唯一解！唯一解！问题：问题：本题有几个解？本题有几个解？(2)(2)平面上取点平面上取点即：即：找
15、出过此点而又在平面内的一条直线作为找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1 面上取点的方法面上取点的方法定点先定线定点先定线利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解k bacc a b 已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。k例例2 2efgef m g h mh通过在面内作通过在面内作辅助线求解辅助线求解已知已知M M点在平面点在平面EFGEFG上，求上，求M M点的水平投影。点的水平投影。kk 例例3 3 如图所示，已知一般位置平面如图所示，已知一般位置平面A
16、BCDABCD的正面投影和的正面投影和 ABAB、ADAD两条边的水平投影两条边的水平投影ab和和ad，补全该面的水平投影。，补全该面的水平投影。a b d c abd分析：分析：ABCD ABCD 既然是平面，既然是平面，则它的对角线必相交。则它的对角线必相交。作图：作图：1 1）连接）连接a、c和和b、d，得交点得交点k；2 2）连接）连接b b、d d，在，在bd上求出上求出k，并连接，并连接a、k；3 3）在）在ak上求出上求出c，连接，连接b、c 和和d、c，即得该平面的水平，即得该平面的水平投影；投影；c四四.两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相
17、对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。(1)两直线平行投影特性 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同面投同面投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例1 1 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。分析：分析：结论：结论：AB/CD 对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。b d c a cbadd b a c 分析：分析：求出侧面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。例例2 2 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。方法：方法：求出侧面投影求出侧面
18、投影如何判断？如何判断？对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。HVABCDKbcdka b c k d aabcdb a c d kk 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点符合点交点符合点的投影规律的投影规律(2)两直线相交投影特性投影特性cabb a c d k kd例例 过过C C点作点作水平线水平线CDCD与与AB AB 相交。相交。步骤步骤：1.1.先作正面投影：作先作正面投影：作c d OX 交交a b 于于k。OX2.2.连接连接ck并延
19、长求得并延长求得d。d b a abcdc1(2 )3(4)投影特性投影特性 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律。点的投影规律。“交点交点”是两直线上的是两直线上的一一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其可帮助判断两直线的空间可帮助判断两直线的空间位置。位置。、是是面的面的重影点重影点，、是是H H面的面的重影点重影点。3 4(3)两直线交叉12两直线是两直线是否相交？否相交？(4)两直线垂直（相交、交叉）两直线垂直，其中之一平行于投影面两直线的某投影互相垂直，且两直线之一平行于该投影面，此两直线在空间必垂直。结论：例题分析正平线，正平线，=45=45o o不相交不相交不垂直不垂直本节结束本节结束作业：作业：P11 P11（3-13-1，3-2,3-43-2,3-4），），P12P12（3-73-73-93-9）P13 P13（3-123-12，3-143-14，3-163-16，3-173-17），），P14P14，P15 P15（3-233-233-26)3-26)只交只交P13P13，1414，1515下次课内容：下次课内容：第一章内容第一章内容 带作图工具和习题册带作图工具和习题册 谢谢！
