1、2022-8-41第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率几个基本概念几个基本概念样本点样本点样本空间样本空间随机事件随机事件概率的三种定义概率的三种定义统计定义统计定义公理化定义公理化定义古典定义古典定义概率的计算概率的计算条件概率条件概率概率乘法公式概率乘法公式全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式独立性独立性2022-8-42一、随机变量的概念一、随机变量的概念二、离散随机变量二、离散随机变量(二项分布二项分布 0-10-1分布分布 泊松分布泊松分布)三、连续随机变量三、连续随机变量(均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布)四、随机变量的分布函数四、随机变量
2、的分布函数五、二维随机变量五、二维随机变量六、边缘分布六、边缘分布七、条件分布七、条件分布八、随机变量的独立性八、随机变量的独立性九、随机变量函数的分布九、随机变量函数的分布基本内容：第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2022-8-43 第一节第一节 随机变量随机变量在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率的计算，随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，例如正面，反面男孩，女孩红球，白球，黑球1 2 3 4 5 6，从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们关心的不是基本结果的描述，而更多的是一种数量关系.2022-8-44另外，有时我们总是将随机试验的基本结果与另外的数量
3、关系结合起来，比如1000赢元钱；1000输元钱；+1000100010008002002000实际上，给随机试验的每个基本结果赋予一个数值，这样将样本空间与实数值之间建立一种对应关系，是我们用数学理论和方法深入和系统研究随机试验规律的基础.2022-8-451.1.随机变量的定义随机变量的定义设随机试验E的样本空间为,eS 若对于每若对于每一个样本点一个样本点,Se变量变量X 都有唯一确定实数与之对应都有唯一确定实数与之对应,则X是定义在 上的单值实函数,S即),(XX 称X为随机变量随机变量.常用X,Y,Z等或,等表示,而表示随机变量所取的值时,常用x,y,z等.定义:注：随机变量是定义在
4、样本空间注：随机变量是定义在样本空间 上的单值实函数上的单值实函数;SSR)(eXe2022-8-46随机变量的特征：1（）随机变量的取值是随机的，事前并不知道取什么值；2（）所取的每一个值都对应于一个随机事件；3（）随机变量所取的每个值的概率大小是确定的；X令 表示丢硬币赌博的赢钱数，则X1000，正面；1000，反面；(1000)P X()P正面12；(1000)P X12；X令 表示掷骰子出现点数的平方，则Xi（）2i，(25)P X则(5)P i1.62022-8-47二、二、随机变量的分类随机变量的分类根据随机变量根据随机变量 X 的取值情况，它可分为的取值情况，它可分为(1)离散随
5、机变量离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个值取值只有有限个或可列无穷多个值连续随机变量连续随机变量:取值是在某个实数区间取值是在某个实数区间(有界或无界有界或无界)(2)非离散随机变量非离散随机变量2022-8-48第二节 离散型随机变量及其分布律一、一、离散随机变量的分布律离散随机变量的分布律或记或记),2,1()(kpxXPkk则称为则称为 X 的的概率分布律（简称分布律）概率分布律（简称分布律）.其所有可能取值为其所有可能取值为12,(),kx xx且且定义定义:设设X为离散随机变量为离散随机变量,要完整地了解一个离散随机变量要完整地了解一个离散随机变量,不仅要知道它的所有不仅要知
6、道它的所有可能取值可能取值,还需要知道它的所有可能还需要知道它的所有可能取值相应的概率。取值相应的概率。XP12kxxx12kppp2022-8-49(2)(2)性质性质显然，概率分布pk有下面的性质:;,2,1,010kpk.120kkp例例1.1.求求a，且，且P(1X2)2,1,0(,)32()(kakXPk1)32()32()32(210aaa解：根据概率函数的规范性，有解：根据概率函数的规范性，有.199a 故已知离散随机变量已知离散随机变量X的分布律为的分布律为2022-8-410A表示第一次罚球罚中，表示第一次罚球罚中，B表示第二次罚球罚中表示第二次罚球罚中 据以往的资料知道，某
7、一篮球运动员罚球有据以往的资料知道，某一篮球运动员罚球有以下规律以下规律:若罚球两次若罚球两次,第一次罚中的概率为第一次罚中的概率为0.75，若第一次罚中则第二次罚中的概率为若第一次罚中则第二次罚中的概率为0.8，若第一，若第一次未罚中则第二次罚中的概率为次未罚中则第二次罚中的概率为0.7.以以X记罚球两记罚球两次其中罚中的次数，求次其中罚中的次数，求X的分布律。的分布律。例例2 2.)(BAP)|()(ABPAP.075.03.025.0解：解：X的可能取值为的可能取值为0，1，2.P(X=0)P(X=1)(BABAP)()(BAPBAP)|()()|()(ABPAPABPAP325.07.
8、025.02.075.06.08.075.0)|()()()2(ABPAPABPXP2022-8-411或将分布律表示为或将分布律表示为X012pk0.0750.3250.6或用线条图、直方图表示或用线条图、直方图表示0 1 20 1 22022-8-412二、二、n重伯努利试验、重伯努利试验、二项分布二项分布 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及A A,且且P(A)=p,P(A)=p,则称则称E为伯努利试验为伯努利试验.将将E E独立地重独立地重复进行复进行n n次次,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重伯努利试验。重伯努利试验。n 伯努利试验伯努利
9、试验 考虑一个简单的试验考虑一个简单的试验,它只出现它只出现(或只考虑或只考虑)两两种结果种结果,如某批产品抽样检查得到合格或不合格如某批产品抽样检查得到合格或不合格;射击手命中目标或不命中射击手命中目标或不命中;发报机发出信号发报机发出信号0或或1;掷一次骰子点数掷一次骰子点数“6”是否出现等是否出现等.2022-8-413 设设X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，则则X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,n,AAA共有共有Cnk种方式种方式,;AAAAAA;AAAAAk次次n-k次次k-1次次n-k-1次次由于各次试验相互独立，由于各次试验相互
10、独立，每一种方式每一种方式发生的概率均为发生的概率均为 p k(1-p)n-k因此事件因此事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次的概率为次的概率为(),0,1,kkn knP XkC p qkn0nkkn knkC p q00110nnnnnnnC p qC pqC p q1.2022-8-414二项分布二项分布（Binomial distribution）定义：设随机变量X具有分布律(),0,1,2,kkn knP XkC p qkn;1,10qpp其中n为正整数，则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布二项分布，记作XB(n,p)。特别当特别当n=1n=1时，时，X X的分布律为的分布律
11、为,)(1 kkqpkXP1,0k)10(p X 0 1 pk 1-p p 则称则称X服从参数为服从参数为p的的(0-1)分布或伯努利分布分布或伯努利分布.2022-8-415产丝废这例例4.已4.已知知某某公公司司生生的的螺螺的的品品率率是是0.01,家0.01,家公公司司将个丝证发现每每10螺10螺包包成成一一包包出出售售,并,并保保若若某某包包中中个废则问丝,多多于于一一品品可可退退款款.被.被售售出出的的各各包包螺螺中中?被被退退回回公公司司的的占占多多大大比比例例XX 记为丝废个数 则解解:某:某包包螺螺中中品品的的,(10,0.01)B这丝为包包螺螺被被退退回回的的概概率率(1)P
12、 X 1(0)(1)P XP X 00101010.010.99C 19100.01 0.99C0.072022-8-416 经验表明人们患了某种疾病，有经验表明人们患了某种疾病，有30%的人不的人不经治疗会自行痊愈。医药公司推出一种新药，随经治疗会自行痊愈。医药公司推出一种新药，随机地选机地选10个患这种病的患者服用了新药，知道其个患这种病的患者服用了新药，知道其中有中有9人很快就痊愈了。设各人自行痊愈与否相人很快就痊愈了。设各人自行痊愈与否相互独立。试推断这些患者是自行痊愈的，还是新互独立。试推断这些患者是自行痊愈的，还是新药起了作用。药起了作用。解：假设新药毫无效用，则一个患者痊愈的概率
13、为解：假设新药毫无效用，则一个患者痊愈的概率为P=0.3.以以X表示表示10个患者中痊愈的病人数，个患者中痊愈的病人数，例例5.5.000138.0)7.0()3.0(9910CP（X=9）000144.0)7.0()3.0()7.0()3.0()10()9()9(01010109910CCXPXPXP则则XB（10，0.3）“概率很小的事件，在一次试验中实际上几乎是不概率很小的事件，在一次试验中实际上几乎是不发生发生”（称为实际推断原理），现在概率很小的事（称为实际推断原理），现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，推断新药是有疗效的。件在一次试验中竟然发生了，推断新药是有疗效的。2022
14、-8-417 若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力 400次，则至少成功一次的概率为次，则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 爱因斯坦爱因斯坦:天才天才1%的灵感的灵感99%的汗水的汗水”但那但那1%的灵感是最重要的，甚至比那的灵感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要的汗水都要重要2022-8-418是单位时间内随机事件的平均发生率(次数).三、泊松分布三、泊松分布(Poiss
15、ons distribution);,2,1,0,!)(kekkXPk(),X 定义定义.设随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为泊松分布泊松分布，记作泊松分布是由法国数学家S.D.Poisson(1983)提出.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数,而参数)0(其中其中1ee0!kkek0!kkke2022-8-419辆汽车通过的概率.例例6.6.一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看作,2.0!0)0(0eXP.61.1则)1()0(1)1(XPXPXP而服从泊松分布的随机变量，汽车通过的概率为0.2，解：解：由题意知e!12.0112.061.12.01.478.0求在这一时段内
16、多于一若在该时段内没有2022-8-420 当n充分大,p很小(p0.1),二项分布B(n,p)的分布律近似等于泊松分布),(pnBX设的分布律:,2,1,0,!limkekqpCkknkknn=0,np 设（数）常泊松分布与二项分布的关系泊松分布与二项分布的关系()泊松定理：泊松定理：若当n时，则有注：注：即np比较适中时，npekqpCkknkkn其中,!2022-8-421证明：,npnp记knkknkknqpknknqpC)!(!knknnkknnn)1()(!)1()1(则knknnknk)1)(11()11(!knnnknnnnn)1(lim)1(lim)1(lim)()1(lim
17、nnn e,2,1,0,!limkekqpCkknkknn2022-8-422 某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01，设各人患病与否相互独立。现随机抽取200人,求其中至少4人患这种病的概率。例例7.7.适中很大，由于201.0200npn30)(1kkXP)4(XP解:XB(200,0.01）设X表示200人中患此疾病的人数，则230!21ekkk所以二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律，所以二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律，1429.08571.012022-8-423例如：例如：3)显微镜下相同大小的方格内微生物的数目显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;5)某公路段上在单
18、位时间内发生交通事故的次数某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;2)一本书一页中的印刷错误的个数；一本书一页中的印刷错误的个数；1)某服务设施在一定时间内到达的人数；某服务设施在一定时间内到达的人数；4)某医院在一天内的急诊病人数某医院在一天内的急诊病人数;n 实际问题中若干稠密性问题是服从或近似实际问题中若干稠密性问题是服从或近似 服从服从PoissonPoisson分布分布 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布分布，都可以看作泊松分布,其参数其参数 可以由可以由观测值的平均值求出。观测值的平均值求出。2022-8-424的概率
19、的概率P(Xx)称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数,随机变量随机变量X的分布函数的分布函数1x,Rx,21时当xx 定义定义：设：设X为一随机变量，为一随机变量，F(x)则事件则事件“X x”记作记作).()(12xFxF)(21xXxP注：注：=P(Xx)，任，任xRx2x2022-8-425分布函数分布函数F(x)的性质的性质且;1)(0)2(xF(1)(1)F(x)是非减函数是非减函数,即若即若x1 x2,则则);()(21xFxF(3)(3)离散随机变量离散随机变量X，F(x)是是右连续函数右连续函数,即即)()(limaFxFax;1)(F;0)(limxFx)(F)(l
20、imxFx事件事件“Xx”当当x-时是不可能事件时是不可能事件;事件事件“Xx”当当x+时是必然事件时是必然事件.2022-8-426例例1.)(2kXP设随机变量设随机变量X表示出现表示出现3 3点的次数，点的次数，求求X的分布函数的分布函数;解：解：据题意知据题意知XB(2,1/6),(2,1/6),其分布律为其分布律为,)65()61(22kkkC其中其中k=0,1,2.=0,1,2.掷一颗质量均匀的骰子掷一颗质量均匀的骰子2次，次，求求P(X1/2),P(-1X3/2),P(1 X2),即即X的分布律为的分布律为 X 0 1 2 P(x)0.6944 0.2778 0.02782022
21、-8-427P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,=1,X的分布函数为的分布函数为F(x)=)=0,0,x0;0.6944,0.6944,00 x1;0.6944+0.2778=0.9722,0.6944+0.2778=0.9722,11x2;0.6944+0.2778+0.0278=1,0.6944+0.2778+0.0278=1,x22.P(Xx)=0,0,x0;P(X=0),00 x1;P(X=0)+P(X=1),11x2;2x.即即F(x)=X的概率分布（概率函数）的概率分布（概率函数）X 0 1 2 P(x)0.6944 0.2778 0.0278xxx012x2022-8-
22、4289722.0 x)(xFo1216944.0（右连续（右连续函数）P(-1X3/2)=F(3/2)-F(-1)=0.9722-0=0.9722.X 0 1 2 P(x)0.6944 0.2778 0.0278P(X1/2)=P(1 X2)F(1/2)=0.6944=F(2)-F(1)+P(X=1)=1-0.9722+0.2778=0.30562022-8-429故故离散离散X 的分布函数为的分布函数为,2,1),(ixpi其概率函数其概率函数则其分布函数为则其分布函数为.xpxFxxkk)()(练习练习 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 X -1 2 3 P(x)1/4 1
23、/2 1/4求求X的分布函数，并求的分布函数，并求P(X1/2),P(3/2X5/2).2022-8-430内容小结内容小结)0(;,2,1,0,!)(kekkXPk1.理解随机变量的概念，了解其分类;2.理解离散随机变量的分布律及其性质；3.熟悉常用离散分布的分布律及其关系.B(n,p)();,2,1,0,)(nkqpCkXPknkkn 当n充分大,p很小(p0.1),即np比较适中时，,0,1,!kkkn knC p qeknnpk其中2022-8-431作业作业习题二(P70)：1、3、5、6、72022-8-432备用题备用题则a=_.1.已知离散随机变量X的概率函数为)2,1,0(,
24、)32()(kakXPk1)32()32()32(210aaa1)2()1()0(XPXPXP解：根据概率函数的规范性，有.199a 故即2022-8-4332.设随机变量XB(2,p),随机变量YB(3,p),若P(X1)=5/9,则P(Y1)=_.解：由于XB(2,p),P(X1)=5/9,于是 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9故 p=1/3.又 YB(3,p),于是P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=1-8/27=19/27.2022-8-4343.口袋中有7个白球，3个黑球.(1)每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率函数；(2)如果
25、取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，求此时X的概率函数.解：X的首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1,2,3,4，记Ai为“第i次取出的球为黑球”i=1,2,，10.,107)()1(1APXP(1)由乘法公式得2022-8-435,30797103)|()()()2(12121AAPAPAAPXP,12078792103)|()|()()()3(213121321AAAPAAPAPAAAPXP,1201778192103)|()|()|()()()4(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAPXP2022-8-436 X 1 2 3 4 P7/10 7/3
26、0 7/120 1/120(2)如果取出黑球不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得：,107)()1(1APXPP XP A A12386(2)(),101025P XP A A A12332927(3)(),101010500将以上计算结果列表为2022-8-437P XP A A A A1234321103(4)(),10101010500将以上计算结果列表为 X 1 2 3 4P 7/10 6/25 27/500 3/5002022-8-4384.(),XP1m()mP Xm当 不数时，时.是整取最大当m为何值时，概率设随机变量P(X=m)取得最大值？()!mP xmem解：取得最大值，则它与前一项,，后一项的比值都1，即()1(-1)()1(1)P xmP xmP xmP xm1()mP Xm当数时，时.是整取 或最大
