1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章解三角形考点一考点二考点三第1部分如图，在如图，在RtABC中，中，A30，斜边，斜边c2，问题问题1：ABC的其他边和角为多少？的其他边和角为多少？问题问题4 4：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述结论还成立吗？结论还成立吗？提示：都成立提示：都成立问题问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？1 1正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即等，即 .2 2
2、解三角形解三角形 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A、B B、C C和它们的对和它们的对边边 、叫做三角形的元素，已知三角形的几个叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做元素求其他元素的过程叫做 a ab bc c解三角形解三角形 对正弦定理的理解对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立 (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式对角的正弦的连等式 (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对揭示规律：正弦定理指出的是三角
3、形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系的一种数量关系 (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化角关系的转化 例例1在在ABC中，已知中，已知A60，B45，c2，求，求C、a、b.思路点拨思路点拨由三角形的内角和为由三角形的内角和为180可求可求C，根，根据正弦定理可求据正弦定理可求a，b.一点通一点通已知三角形任意两角和一边解三角形的基已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路是本思路是 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角；由三角形的
4、内角和定理求出第三个角；(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边由正弦定理公式的变形，求另外的两条边 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如或差，如754530)，再根据上述思路求解，再根据上述思路求解1已知已知ABC中，中，a20，A30，C45，则角，则角B 的对边长等于的对边长等于_2在在ABC中，已知中，已知a8，B60，C75，解此三，解此三角形角形 思路点拨思路点拨由由ca可得可得A为锐角，由正弦定理求出为锐角，由正弦定理
5、求出sin A，从而求出角，从而求出角A，再由内角和定理求出角，再由内角和定理求出角B，正弦定理，正弦定理求得求得b.一点通一点通 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法的方法 (1)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一弦值可求锐角唯一 (3)(3)如果已知的角为小边所对的角时，
6、则不能判断另一边如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 例例3(12分分)在在ABC中，若中，若sin A2sin Bcos C，且且sin 2Asin 2Bsin 2C，试判断，试判断ABC的形状的形状 思路点拨思路点拨首先利用正弦定理将角的关系式首先利用正弦定理将角的关系式sin2Asin 2Bsin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的转化为边的关系式，进而判断三角形的形状形状 一点通一点通(1)(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也
7、可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断与角的关系或大小，从而作出准确判断 (2)(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”与与“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的的区别区别5若本题条件中若本题条件中
8、“sin A2sin Bcos C”改为改为“bsin Bcsin C”，其他条件不变，结果如何？，其他条件不变，结果如何？解：由本例解法知解：由本例解法知A90，由由bsin Bcsin C可得可得sin 2Bsin 2C，sin Bsin C.由由A90知，知，B、C均为锐角均为锐角BC.故故ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形6在在ABC中，若中，若acos Abcos B，试判断，试判断ABC的形状的形状 1正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变式和解的情况的讨论式和解的情况的讨论 2已知三角形两边及其中一边的对角解三角形，已知三角形两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解在可能有两解、一解或无解在ABC中，已知中，已知a、b和和A时，解的情况如下表：时，解的情况如下表：A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系关系式式absin Aabbsin Aababsin Aabab解的解的个数个数一解一解两解两解无解无解一解一解无解无解点击下图进入
