1、离散型随机变量离散型随机变量设设X是一个随机变量，是一个随机变量，如果它全部可能的取值如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，只有有限个或可数无穷个，型随机变量型随机变量.设设,21xx是随机变量是随机变量X的所有可能取值，的所有可能取值，对每个取值对每个取值,iixXx 是其样本空间是其样本空间S上上的一个事件，的一个事件，为描述随机变量为描述随机变量,X还需要知道还需要知道这些事件发生的可能性（概率）这些事件发生的可能性（概率）.定义定义设离散随机变量设离散随机变量X的所有可能的取值为的所有可能的取值为则称则称X为一个为一个离散离散),2,1(ixi称称,2,1,ipxXPii离散型随
2、机变量离散型随机变量定义定义设离散随机变量设离散随机变量X的所有可能的取值为的所有可能的取值为),2,1(ixi称称,2,1,ipxXPii为为X的的概率分布概率分布或或分布律分布律，也称概率函数也称概率函数.常用表格形式来表示常用表格形式来表示X的概率分布：的概率分布：Xip1x2xnx1p2pnp由概率的定义，由概率的定义，),2,1(ipi必然满足：必然满足：(1);,2,1,0 ipi(2).1 iip完完例例1 某篮球运动员投中篮圈的概率是某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两求他两次独立投篮投中次数次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解解X可取可取 0,1,2 为值为值
3、,01.0)1.0)(1.0(0 XP18.0)1.0)(9.0(21 XP81.0)9.0)(9.0(2 XP且且1210 XPXPXP于是于是,X的概率分布可表示为的概率分布可表示为.81.018.001.0210iPX完完例例2 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为:,!kakXPk 0,2,1,0 k试确定常数试确定常数.a解解 依据概率分布的性质：依据概率分布的性质：,10 kkXPkXP欲使上述函数为概率分布应有欲使上述函数为概率分布应有,1!0 kkaeKa ,0 a从中解得从中解得.ea例例2 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为:,!kakXPk 0,2,
4、1,0 k试确定常数试确定常数.a欲使上述函数为概率分布应有欲使上述函数为概率分布应有,1!0 kkaeKa ,0 a从中解得从中解得.ea注注:这里用到了常见的幂级数展开式这里用到了常见的幂级数展开式.!0 kkKe 完完解解例例3 200 件产品中件产品中,有有 196 件是正品件是正品,则则,0,1 取到次品取到次品取到正品取到正品XX服从参数为服从参数为 0.98 的两点分布的两点分布.于是于是,4 件是次品件是次品,今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件,若规定若规定1 XP200196,98.0 0 XP2004.02.0 完完关于分布律的说明关于分布律的说明若已知一个离散型随机
5、变量若已知一个离散型随机变量X的概率分布的概率分布Xip1x2xnx1p2pnp则可以求得所生成的任何事件概率，则可以求得所生成的任何事件概率，)(ibxaxXPbXaPi bxaibxaiiipxXP一般地，若一般地，若I是一个区间，是一个区间，则则 IxIxiiiipxXPIXP例如，例如，设设X的概率分布由例的概率分布由例1给出：给出：特别地，特别地，关于分布律的说明关于分布律的说明例如，例如，设设X的概率分布由例的概率分布由例1给出：给出：Xip01201.018.081.0则则,01.000 XPXP,19.018.001.0102 XPXPXP.121062 XPXPXPXP完完退
6、化分布退化分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X以概率以概率1取某一常数，取某一常数，,1 aXP则称则称X服从服从a处的退化分布处的退化分布.注注：在所有分布中，在所有分布中，最简单的分布是退化分布，最简单的分布是退化分布，其之所以称为退化分布，其之所以称为退化分布，是因为其取值几乎是是因为其取值几乎是确定的，确定的，即这样的随机变量退化成了一个确定即这样的随机变量退化成了一个确定的常数的常数.完完即即两点分布两点分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能的取值，只有两个可能的取值，且其分布为且其分布为),10(,1,2 ppxXPpxXPi则称则称X服从服从21,xx处
7、参数为处参数为p的的两点分布两点分布.特别地，特别地，若若X服从服从0,121 xx处参数为处参数为p的两点分布，的两点分布，即即Xip01p 1p)2,1(i则称则称X服从参数为服从参数为p的的10 分布分布.习惯上常习惯上常两点分布两点分布则称则称X服从参数为服从参数为p的的10 分布分布.习惯上常习惯上常记记.1pq 对于一个随机试验，对于一个随机试验，若它的样本若它的样本空间只包含两个元素，空间只包含两个元素，即即,21eeS 则总能在则总能在S上定义一个服从上定义一个服从10 分布的随机分布的随机变量变量 ,1,0)(eXX1ee 2ee ，来描述这个随机试验的结果来描述这个随机试验
8、的结果.例如，例如，抛掷硬币抛掷硬币两点分布两点分布 ,1,0)(eXX1ee 2ee ，来描述这个随机试验的结果来描述这个随机试验的结果.例如，例如，抛掷硬币抛掷硬币试验，试验，检查产品的质量是否合格，检查产品的质量是否合格，某工厂的电力某工厂的电力消耗是否超过负荷等消耗是否超过负荷等.完完n个点上的均匀分布个点上的均匀分布定义定义若一随机变量若一随机变量X共有共有n个不同的取值，个不同的取值，且取每一个值的可能性相同，且取每一个值的可能性相同，即即,2,1,1ninxXPi 则称则称X服从服从n个点个点,21nxxx上的均匀上的均匀分布分布.注注：可将古典概型与均匀分布联系起来可将古典概型
9、与均匀分布联系起来.在古在古典概型中，典概型中，试验共有试验共有n个不同的可能结果，个不同的可能结果，且且每个结果出现的可能性相同每个结果出现的可能性相同.设设,21neeeS 则则,2,1,1nineXPi n个点上的均匀分布个点上的均匀分布每个结果出现的可能性相同每个结果出现的可能性相同.设设,21neeeS 则则,2,1,1nineXPi 若随机变量若随机变量X是是S上的一一对应函数，上的一一对应函数，则则X就服从就服从n个点上的均匀分布个点上的均匀分布.如，如，设设X表示投掷一枚骰子出现的点数，表示投掷一枚骰子出现的点数，其样本空间其样本空间,6,2,1 S令令,)(SeeeX 且且,
10、6,2,1,61 kkXP则则X服从服从6,2,1上的均匀分布上的均匀分布.完完二项分布二项分布在在n重伯努利试验中，重伯努利试验中，设每次试验中事件设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为),10(pp用用X表示表示n重重伯努利试验中事件伯努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，则则X的可的可能取值为能取值为,1,0n且对每个且对每个),0(nkk 事事件件kX 的的k次次”，根据伯努利型，有根据伯努利型，有nkppCkXPknkkn,1,0,)1(1)即为即为“n次试验中事件次试验中事件A恰好发恰好发生生定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)式式给出，给出，
11、则称则称X服从参数为服从参数为pn,的的二项分布二项分布，二项分布二项分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)式式给出，给出，则称则称X服从参数为服从参数为pn,的的二项分布二项分布，记为记为).,(pnbX易见，易见，;0)1(kXP nkkXP0.1)2(二项分布的图形特点二项分布的图形特点注注：当当1 n时，时，(1)式化为式化为,1,0,)1(1 kppkXPkk此时，此时，随机变量随机变量X即服从即服从10 分布分布.完完二项分布的图形特点二项分布的图形特点在图在图1和图和图2中，中，分别给出了当分别给出了当7.0,10 pn和和5.0,13 pn时二
12、项分布的图形时二项分布的图形.从图易从图易看出：看出：对于固定对于固定n及及,p当当k增加时，增加时，概率概率kXP 先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值，随后随后pknOn 10,p 0.7图图1pknOn 13,p 0.5图图2二项分布的图形特点二项分布的图形特点当当pn)1(为整数时，为整数时，二项概率二项概率kXP 在在pnk)1(和和1)1(pnk处达到最处达到最大值大值.注注：x为不超过为不超过x的最大整数的最大整数.完完单调减少单调减少.可以证明，可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一一般的二项分布的图形也具有这一性质，性质，二项概率二项概率kXP 在在)1(
13、pnk 达到最大值；达到最大值；pn)1(不为整数时，不为整数时，且当且当kXP 先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值，随后随后例例4 已知已知 100 个产品中有个产品中有 5 个次品个次品,现从中有放回现从中有放回地取地取 3 次次,每次任取每次任取 1 个个,求在所取的求在所取的 3 个中恰有个中恰有2 个次品的概率个次品的概率.解解 因为这是有放回地取因为这是有放回地取 3 次次,因此这因此这 3 次试验的次试验的条件完全相同且独立条件完全相同且独立,它是伯努利试验它是伯努利试验,依题意依题意,每次试验取到次品的概率为每次试验取到次品的概率为 0.05.设设X为所取的
14、为所取的 3 个中的次品数个中的次品数,则则),05.0,3(bX于是于是,所求概率为所求概率为:.007125.0)95.0()05.0(2223 CXP例例4 已知已知 100 个产品中有个产品中有 5 个次品个次品,现从中有放回现从中有放回地取地取 3 次次,每次任取每次任取 1 个个,求在所取的求在所取的 3 个中恰有个中恰有2 个次品的概率个次品的概率.解解 于是于是,所求概率为所求概率为:.007125.0)95.0()05.0(2223 CXP注注:若将本例中的若将本例中的“有放回有放回”改为改为“无放回无放回”,各次试验条件就不同了各次试验条件就不同了,那么那么已不是伯努利概型
15、已不是伯努利概型,此时此时,只能用古典概型求解只能用古典概型求解.00618.02310025195 CCCXP完完例例5 某人进行射击某人进行射击,设每次射击的命中率为设每次射击的命中率为 0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.解解 将一次射击看成是一次试验将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为设击中的次数为,X则则).02.0,400(bXX的分布律为的分布律为,)98.0()02.0(400400 kkkkXP .400,1,0 k于是所求概率为于是所求概率为1012 XPXPXP例例5 某人进行射击某人进行射击,设每次射击的命中率为设每次
16、射击的命中率为 0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.解解 将一次射击看成是一次试验将一次射击看成是一次试验.X的分布律为的分布律为,)98.0()02.0(400400 kkkkXP .400,1,0 k于是所求概率为于是所求概率为1012 XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1 .9972.0 完完例例6 设有设有 80 台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立各台工作是相互独立的的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障且一台设备的故障能由一个人处理能由一个人处理.考虑两种配备维修工
17、人的方法考虑两种配备维修工人的方法,其一是由其一是由 4 人维护人维护,每人负责每人负责 20 台台;其二是由其二是由 3人人共同维护共同维护 80 台台.试比较这两种方法在设备发生故试比较这两种方法在设备发生故障时障时解解 按第一种方法按第一种方法.以以X记记“第第 1 人维护的人维护的 20 台台中同一时刻发生故障的台数中同一时刻发生故障的台数”,以以)4,3,2,1(iAi表示表示修修”,则知则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为不能及时维修的概率的大小不能及时维修的概率的大小.i人维护的人维护的 20 台中发生故障不能及时维台中发生故障不能及时维“第
18、第解解 按第一种方法按第一种方法.以以X记记“第第 1 人维护的人维护的 20 台台中同一时刻发生故障的台数中同一时刻发生故障的台数”,以以)4,3,2,1(iAi表示表示修修”,则知则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为i人维护的人维护的 20 台中发生故障不能及时维台中发生故障不能及时维“第第.2)()(14321 XPAPAAAAP而而),01.0,20(bX故有故有 1012kkXPXPkkkk 2010)99.0()01.0(201.0169.0 解解2 XP.0169.0 即即.0169.0)(4321 AAAAP按第二种方法按第二种方法.以以Y
19、记记 80 台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障的台数的台数.此时此时),01.0,80(bY故故 80 台中发生故障台中发生故障而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为0087.0)99.0()01.0(80148030 kkkkYP结果表明结果表明,在后一种情况尽管任务重了在后一种情况尽管任务重了维护约维护约 27 台台),但工作效率不仅没有降低但工作效率不仅没有降低,反而提反而提高了高了.(每人平均每人平均完完几何分布几何分布在独立重复试验中，在独立重复试验中，事件事件A发生的概率为发生的概率为,p设设X为直到为直到A发生为止所进行的次数，发生为止所进行的次数，显然显然X的可能取
20、值是全体自然数，的可能取值是全体自然数，且由伯努利定理且由伯努利定理知其分布为知其分布为,)1(1ppkXPk 1,10 kp(1)几何数列几何数列定义定义若一随机变量若一随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)给出，给出，则称则称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布.几何分布具有以下列几何分布具有以下列无记忆性无记忆性：NnmnXPmXnmXP ,|(2)几何分布几何分布几何分布具有以下列几何分布具有以下列无记忆性无记忆性：NnmnXPmXnmXP ,|(2)事实上，事实上，|mXnmXP ,mXPnmXP 而而 11)1(mkkppmXP 11)1()1()1(imimpppp同理
21、同理,)1(nmpnmXP npnXP)1(代入即证得代入即证得(2)式式.几何分布几何分布,)1(nmpnmXP npnXP)1(代入即证得代入即证得(2)式式.注注：所谓无记忆性，所谓无记忆性，意指几何分布对过去的意指几何分布对过去的m次失败的信息次失败的信息进一步还可证明：进一步还可证明：一个取自然数值的随机变一个取自然数值的随机变量，量，若具有若具有(2)式表达的无记忆性，式表达的无记忆性，则则X一一定服从几何分布，定服从几何分布，故无记忆性是几何分布的故无记忆性是几何分布的一个特性一个特性.完完在后面的计算中被遗忘了在后面的计算中被遗忘了.例例7 某射手连续向一目标射击某射手连续向一
22、目标射击,直到命中为止直到命中为止,知他每发命中的概率是知他每发命中的概率是,p概率分布概率分布.解解 显然显然,X可能取的值是可能取的值是,2,1为计算为计算,kXP,2,1 k设设 kA第第k发命中发命中,2,1 k则则,)(11pAPXP ,)1()(221ppAAPXP ,)1()(32321ppAAAPXP 已已求所需射击发数求所需射击发数X的的例例7 某射手连续向一目标射击某射手连续向一目标射击,直到命中为止直到命中为止,知他每发命中的概率是知他每发命中的概率是,p概率分布概率分布.解解 设设 kA第第k发命中发命中,2,1 k则则,)(11pAPXP ,)1()(221ppAAP
23、XP ,)1()(32321ppAAAPXP 已已求所需射击发数求所需射击发数X的的可见所求需射击发数可见所求需射击发数X的概率分布为的概率分布为,)1(1ppkXPk .,2,1 k完完超几何分布超几何分布引例引例一个袋子中装有一个袋子中装有N个球，个球，其中其中1N个个白球，白球，2N个黑球个黑球),(21NNN 从中不放回从中不放回地抽取地抽取)1(Nnn 个球，个球，设设X表示取到白表示取到白球的数目，球的数目，则根据古典概型易算得则根据古典概型易算得X的分布的分布,21nNknNkNCCCkXP nk 0(1)这里规定：这里规定：.0 baCba 时，时，当当定义定义 若一随机变量若
24、一随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)给出，给出，则称则称X服从服从超几何分布超几何分布.超几何分布超几何分布定义定义 若一随机变量若一随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)给出，给出，则称则称X服从服从超几何分布超几何分布.注注：在上述引例中，在上述引例中，若每次取球后是放回的，若每次取球后是放回的，则该问题服从二项分布则该问题服从二项分布.在实际应用，在实际应用，很大，很大，而而n相对较小相对较小时，时，通常将不放回抽取近似当作有放回抽取问通常将不放回抽取近似当作有放回抽取问题来处理，题来处理，故可用二项分布来近似超几何分布，故可用二项分布来近似超几何分布，即即N当当1N和和2N均较
25、大，均较大，且且.2121knkknnNknNkNNNNNCCCC 超几何分布超几何分布即即.2121knkknnNknNkNNNNNCCCC 更进一步有：更进一步有：,21 NN且且,1,21pNNpNN 则对任意给定的则对任意给定的n和和,k有有.)1(lim21knkknnNknNkNNppCCCC 注注：超几何分布常用于对一大批产品进行不放超几何分布常用于对一大批产品进行不放回抽样检测回抽样检测.N时，时，当当完完泊松分布泊松分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布为的概率分布为,!kekXPk ,2,1,0 k则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布，记为记为
26、)(PX或或).(X泊松分布的图形泊松分布的图形特征如右图所示特征如右图所示.注注：历史上，历史上，泊松泊松分布是作为二分布是作为二项分布的近似，项分布的近似，于于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.kO12 P()泊松分布泊松分布()1 2 345 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 240.120.100.080.060.040.02P()泊松分布泊松分布项分布的近似，项分布的近似，于于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.注注：历史上，历史上，泊松泊松分布是作为二分布是作为二泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一泊松分布是概率
27、论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象服从或近似泊松分布实际问题中许多随机现象服从或近似泊松分布.泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件完完泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件在自然界和现实生活中，在自然界和现实生活中，常遇到在常遇到在随机时刻随机时刻出出现的某种事件现的某种事件.把在随机时刻相继出现的事件把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为所形成的序列称为随机事件流随机事件流.若随机事件流若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件则称该事件流为流为泊松事件流泊松事件流(泊松流泊松流).这里，这里，平稳性平稳性在任意时间区间
28、内，在任意时间区间内，事件发生事件发生k次次)0(k的概率只依赖于区间长度而与区间端的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关点无关.无后效性无后效性在不相重叠的时间段内，在不相重叠的时间段内，事件的发事件的发生相互独立生相互独立.泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件无后效性无后效性在不相重叠的时间段内，在不相重叠的时间段内，事件的发事件的发生相互独立生相互独立.普通性普通性 如果时间区间充分小，如果时间区间充分小，事件出现两次事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计或两次以上的概率可忽略不计.下列事件都可视为泊松流：下列事件都可视为泊松流：某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；某电话交
29、换台一定时间内收到的用户的呼叫数；到某机场降落的飞机数；到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件到某机场降落的飞机数；到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；对泊松流，对泊松流，在任意时间间隔在任意时间间隔),0(t内，内，事件发事件发生的次数服从参数为生的次数服从参数为t 的泊松分布，的泊松分布，称为称为泊松流的强度泊松流的强度.完完例例8 某一城市每天发
30、生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X服从参数服从参数8.0 的泊松分布的泊松分布,求该城市一天内发生求该城市一天内发生 3 次次或或 3 次以上火灾的概率次以上火灾的概率.解解 由概率的性质由概率的性质,得得313 XPXP2101 XPXPXP !28.0!18.0!08.012108.0e.0474.0 完完二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似对二项分布对二项分布),(pnb当试验次数当试验次数n很大时，很大时，计计算其概率很麻烦算其概率很麻烦.例如，例如，要计算要计算 50006500065000kkkCkXP,1000999100015000 kk 5 XP故须寻求近似计算方法故须
31、寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的这里先介绍二项分布的泊松近似泊松近似，在本章第四节中还将介绍二项分布的在本章第四节中还将介绍二项分布的的正态近似的正态近似.泊松定理泊松定理 在在n重伯努利实验中，重伯努利实验中，事件事件A在在二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似泊松定理泊松定理 在在n重伯努利实验中，重伯努利实验中，事件事件A在在每次试验中发生的概率为每次试验中发生的概率为,np若当若当 n时，时，0(nnp为常数为常数),则有则有,!)1(lim),;(lim ekppCpnkbkknnknknnnn,2,1,0 k注注：(i)：定理的条件意味着当定理的条件意味着当n很大时，很大时，n
32、p必定很小必定很小.因此，因此，泊松定理表明，泊松定理表明，当当n很大，很大，p很小时有下列近似公式：很小时有下列近似公式：,!)1(ekppCkknkknnp 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似p很小时有下列近似公式：很小时有下列近似公式：,!)1(ekppCkknkknnp 实际计算中，实际计算中，10,100 npn时近似效果变很好时近似效果变很好.(ii)把在每次试验中出现概率很小的事件称作把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀稀有事件有事件，此类事件如：此类事件如：地震、火山爆发、特大洪地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等，水、意外事故等，则由泊松定理知，则由泊松定理知，n重伯努利
33、试重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.完完例例9 某公司生产一种产品某公司生产一种产品 300 件件,根据历史生产记根据历史生产记录知废品率为录知废品率为 0.01,问现在这问现在这 300 件产品经检验件产品经检验品数大于品数大于 5 的概率是多少的概率是多少?解解把每件产品的检验看作一次伯努利试验把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有它有两个结果两个结果:A正品正品,A废品废品.检验检验 300 件产件产品品用用X表示检验表示检验出的废品数出的废品数,则则),01.0,300(bX我们要计算我们要计算.5 XP有有,3 np 于是于
34、是,得得对对,300 n,01.0 p废废就是作就是作 300 次独立的伯努利试验次独立的伯努利试验.解解),01.0,300(bX我们要计算我们要计算.5 XP有有,3 np 于是于是,得得对对,300 n,01.0 p 6)01.0,300;(5kkbXP 50)01.0,300;(1kkb.!31350 ekkk查泊松分布表查泊松分布表,得得.08.0916082.015 XP完完例例10 一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理,由该商店过去的销由该商店过去的销售记录知道售记录知道,某种商品每月的销售数某种商品每月的销售数5 的泊松分布来描述的泊松分布来描述,为了以为了以 95%以上的
35、把以上的把握保证不脱销握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品问商店在月底至少应进该种商品多少件多少件?解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为,XX已知已知服从参数服从参数5 的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品m件件,求满足求满足95.0 mXP的最小的的最小的,m即即95.0!505 mkkke可以用参数可以用参数解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为,XX已知已知服从参数服从参数5 的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品m件件,求满足求满足95.0 mXP的最小的的最小的,m即即95.0!505
36、mkkke查泊松分布表查泊松分布表,得得,968172.0!5905 kkke931906.0!5805 kkke于是得于是得9 m件件.完完例例11 自自 1875年至年至 1955年中的某年中的某 63年间年间,上海市夏上海市夏季季(5-9月月)共发生大暴雨共发生大暴雨 180次次,试建立上海市夏季试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型暴雨发生次数的概率分布模型.解解 每年夏季共有每年夏季共有)3031313031(153 n天天,每次暴雨发生以每次暴雨发生以 1 天计算天计算,则夏季每天发生暴则夏季每天发生暴雨的概率雨的概率).15363/(180 p将暴雨发生看做稀有事件将暴雨发生
37、看做稀有事件,利用泊松分布利用泊松分布海市一个夏季暴雨发生海市一个夏季暴雨发生),2,1,0(kk次次分布模型分布模型.来建立上来建立上的概率的概率解解).15363/(180 p将暴雨发生看做稀有事件将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布来建立利用泊松分布来建立海市一个夏季暴雨发生海市一个夏季暴雨发生),2,1,0(kk次次分布模型分布模型.上上的概率的概率设设X表示夏季发生暴雨的次数表示夏季发生暴雨的次数,由于由于,9.215363180153 np 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,!9.29.2 ekkXPk.,2,1,0 k解解 故得上海市暴
38、雨发生次数的概率分布模型为故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,!9.29.2 ekkXPk.,2,1,0 k并将它与资料并将它与资料记载的实际年数作对照记载的实际年数作对照,这些值及这些值及kXP 的值的值均列入下表均列入下表.由上述由上述X的概率分布的概率分布k次暴雨的理论年数次暴雨的理论年数,63kXP 计算计算 63 年中上海市夏季发生年中上海市夏季发生01234560.0553.540.16010.180.23114.6140.22414.1190.16210.2100.0945.940.0452.82XkP理论年数理论年数实际年数实际年数XkP理论年数理论年数实际年数实际年数78
39、910110.0191.210.0070.4410.0020.1200.0010.050000由上表可见由上表可见,按建立的概率分布模型计算的理论年按建立的概率分布模型计算的理论年数数这表明这表明的模型的模型分布分布.与实际年数总的来看符合得较好与实际年数总的来看符合得较好,所建立所建立能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率完完内容小结内容小结1.离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为 ixi(),2,1称称,iipxXP ,2,1 i为为X的的概率分布概率分布或或分布律分布律
40、,也称也称概率函数概率函数.常用表格形式来表示常用表格形式来表示X的概率分布的概率分布:ninppppxxxX2121内容小结内容小结2.常用离散型分布常用离散型分布退化分布与两点分布退化分布与两点分布个点上均匀分布个点上均匀分布n二项分布二项分布二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似几何分布几何分布超几何分布超几何分布泊松分布泊松分布完完退化分布退化分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X以概率以概率 1 取某一常数取某一常数,1 aXP则称则称X服从服从a处的退化分布处的退化分布.即即两点分布两点分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能的取值只有两个可能的取值,其分布为其
41、分布为),10(p则称则称X服从服从21,xx处处且且,12pxXP ,pxXPi 特别地特别地,点分布点分布,即即参数为参数为p的两的两p的的两点分布两点分布.参数为参数为若若X服从服从0,121 xx处处两点分布两点分布定义定义 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能的取值只有两个可能的取值,其分布为其分布为),10(p则称则称X服从服从21,xx处处且且,12pxXP ,pxXPi 特别地特别地,点分布点分布,即即参数为参数为p的两的两p的的两点分布两点分布.参数为参数为若若X服从服从0,121 xx处处Xip01p 1p)2,1(i则称则称X服从参数为服从参数为p的的10 分布分布
42、.完完n个点上的均匀分布个点上的均匀分布定义定义若一随机变量若一随机变量X共有共有n个不同的取值个不同的取值,取每一个值的可能性相同取每一个值的可能性相同,即即,1nxXPi 则称则称X服从服从n个点个点,21nxxx上的均匀上的均匀分布分布.注注:可将古典概型与均匀分布联系起来可将古典概型与均匀分布联系起来.在古典在古典概型中概型中,试验共有试验共有n个不同的可能结果个不同的可能结果,且每个且每个结果出现的可能性相同结果出现的可能性相同.设设,21neeeS 则则,1neXPi 如果随机变量如果随机变量X是是S上的一一对应函数上的一一对应函数,服从均匀分布服从均匀分布.,2,1ni 且且则则
43、X就就完完,2,1ni 二项分布二项分布在在n重伯努利试验中重伯努利试验中,设每次试验中事件设每次试验中事件A的概率为的概率为),10(pp用用X表示表示n重伯努利试重伯努利试验中事件验中事件A发生的次数发生的次数,则则X的可能取值为的可能取值为,n且对每一且对每一),0(nkk 根据伯努根据伯努,)1(knkknppCkXP (1)事件事件kX 即为即为定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)式给式给出出,则称则称X服从参数为服从参数为恰好发生的恰好发生的次次”,k有有nk,1,0 发生发生,1,0n次试验中事件次试验中事件A“利型利型,记为记为).,(pnbX二
44、项分布的图形特点二项分布的图形特点:的的二项分布二项分布,n p二项分布二项分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)式给式给出出,则称则称X服从参数为服从参数为记为记为).,(pnbX二项分布的图形特点二项分布的图形特点:的的二项分布二项分布,n p完完PknO对于固定对于固定n及及,p当当k增增加时加时,概率概率kXP 先先是随之增加直至达到最是随之增加直至达到最大值大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似泊松定理泊松定理 在在n重伯努利实验中重伯努利实验中,事件事件A在每次在每次试验中发生的概率为试验中发生的概率为,np若当若当
45、n时时,nnp则有则有,!)1(lim ekppCkknnknknn,2,1,0 k注注(i):定理的条件意味着当定理的条件意味着当n很大时很大时,np必定很必定很因此因此,泊松定理表明泊松定理表明,当当n很大很大,p很小时有很小时有,!)1(ekppCkknkknnp 为常数为常数),0(小小.下列近似公式：下列近似公式：实际计算中实际计算中,10,100 npn时近似效果变很好时近似效果变很好.二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似注注(i):定理的条件意味着当定理的条件意味着当n很大时很大时,np必定很必定很因此因此,泊松定理表明泊松定理表明,当当n很大很大,p很小时有很小时有,!)1(e
46、kppCkknkknnp 小小.下列近似公式：下列近似公式：实际计算中实际计算中,10,100 npn时近似效果变很好时近似效果变很好.有事件有事件,此类事件如此类事件如:地震、火山爆发、特大洪地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等水、意外事故等,则由泊松定理知则由泊松定理知,n重伯努利重伯努利试验中试验中(ii)出现概率很小的事件出现概率很小的事件把在每次试验中把在每次试验中称作称作稀稀稀有事件出现的次数稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布近似地服从泊松分布.完完几何分布几何分布在独立重复试验中在独立重复试验中,事件事件A发生的概率为发生的概率为,p设设X为直到为直到A发生为止所进行的次数发生
47、为止所进行的次数,取值是全体自然数取值是全体自然数,且由伯努利定理知其分布为且由伯努利定理知其分布为,)1(1ppkXPk ,10 p(1)几何数列几何数列定义定义 若一随机变量若一随机变量X的概率分布由的概率分布由(1)给出给出,称称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布.几何分布具有以下列几何分布具有以下列无记忆性无记忆性：,|nXPmXnmXP (2)显然显然X的可能的可能则则Nnm,注注:所谓无记忆性所谓无记忆性,失败的信息失败的信息在后面的计算中被遗忘了在后面的计算中被遗忘了.意指几何分布对过去的意指几何分布对过去的m次次1 k几何分布几何分布定义定义 若一随机变量若一随机变量
48、X的概率分布由的概率分布由(1)给出给出,称称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布.几何分布具有以下列几何分布具有以下列无记忆性无记忆性：,|nXPmXnmXP (2)则则Nnm,注注:所谓无记忆性所谓无记忆性,失败的信息失败的信息在后面的计算中被遗忘了在后面的计算中被遗忘了.意指几何分布对过去的意指几何分布对过去的m次次进一步还可证明：进一步还可证明：一个取整数值的随机变量一个取整数值的随机变量,具有具有(2)式表达的无记忆性式表达的无记忆性,则则X一定服从几何一定服从几何分布分布,故无记忆性是几何分布的一个特性故无记忆性是几何分布的一个特性.完完如果如果超几何分布超几何分布,21n
49、NknNkNCCCkXP nk 0规定规定:.0 baCba 时时,当当定义定义 若一随机变量若一随机变量X的概率分布为的概率分布为则称则称X服从服从超几何分布超几何分布.注注:在实际应用在实际应用,而而n相对较小时相对较小时,通常将不放回近似当作放回问通常将不放回近似当作放回问很大很大,N当当1N和和2N均较大均较大,且且题来处理题来处理,从而可用二项分布来近似超几何分布从而可用二项分布来近似超几何分布,即即.2121knkknnNknNkNNNNNCCCC 超几何分布超几何分布注注:在实际应用在实际应用,而而n相对较小时相对较小时,通常将不放回近似当作放回问通常将不放回近似当作放回问很大很
50、大,N当当1N和和2N均较大均较大,且且题来处理题来处理,从而可用二项分布来近似超几何分布从而可用二项分布来近似超几何分布,即即.2121knkknnNknNkNNNNNCCCC ,1 N,12pNN 则对任意给定的则对任意给定的n和和,k有有.)1(lim21knkknnNknNkNNppCCCC N时时,且当且当完完,2 N且且,1pNN泊松分布泊松分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量X的概率分布为的概率分布为,!kekXPk ,2,1,0 k则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为)(PX或或).(X泊松分布的图形泊松分布的图形特征如右图所示特征如右图所示.注注
