1、第二章第二章 车辆动力学建模方法及基础理论车辆动力学建模方法及基础理论第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法 第二节第二节 非线性动力学系统分岔分析非线性动力学系统分岔分析第三节第三节 多体系动力学方法多体系动力学方法 第四节第四节 非完整系统动力学非完整系统动力学第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法在车辆动力学研究中,建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种:一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理,二是利用拉格朗日的分析力学体系。一、牛顿矢量力学体系(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力Fi的矢量和(即主矢),其表达
2、式为:第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法(2)质点系动量矩定理质点系对于任一固定点O的动量矩L0对时间的导数,等于所有作用于质点系的外力对于O点的主矩M0,其表达式为:第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法二、分析力学体系(1)动力学普遍方程拉格朗日于1760年给出了著名的达朗贝尔拉格朗日原理(dAlembert-Lagrange principle),通常称为动力学普遍方程。方程建立的基本依据是虚位移原理,表示如下:第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能以系统变量的形式表示,然后将其代入
3、拉格朗日方程,再对其求偏导数,即可得到系统的运动方程。第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法三、虚功率原理若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程,其所依据的原理称为虚功率原理。虚功率形式的动力学普遍方程为:第一节第一节 动力学方程的建立方法动力学方程的建立方法四、高斯原理1829年,高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式,称为高斯原理,其表达式为:高斯原理特别适用于具有二阶非完整约束的质点系。第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析一、相空间及解的稳定性1.平衡点及其稳定性分岔表示当某个系统参数变化时解的数量及性质发生变
4、化,因此首先介绍动力学系统解的情况及相关概念1。考察含参数非线性系统(简称含参系统),即第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析 奇点类型示意图a)渐进稳定结点b)渐进稳定奇结点c)渐进稳定焦点d)中心e)鞍点f)渐进稳定退化结点g)渐进稳定奇线h)不稳定奇线第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析 相平面内封闭的相轨线称为闭轨迹(closed trajectory),是对系统周期运动的定性描述,记为。在无数封闭的相轨迹曲线中,实际运动所对应的相轨迹由初始运动状态确定。但有一类特殊的振动系统,其运动微分方程的解在相平面上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲线
5、,它所对应的周期运动由系统的物理参数唯一确定,与初始的运动状态无关。这种孤立且稳定的闭轨迹称为极限环。2.极限环(limit cycle)第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析 闭轨迹稳定性的几何含义a)稳定极限环b)不稳定闭轨迹c)半稳定闭轨迹第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析二、分岔的基本概念这里,仍考虑式(2-11)表达的含参系统,当连续变动时,若式(2-11)的相轨迹的拓扑结构在=0处发生突然变化,则称系统在=0处出现分岔,并将0称为分岔值或临界值。(x,0)称为分岔点,所属Rm空间中由分岔值构成的集合称为分岔集,(x,)所属RnRm空间
6、中平衡点和极限环随变化的图形称为分岔图。第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析由前文可知,静态分叉主要研究的是平衡点个数l()和稳定性随参数变化情况。而静态分岔存在的几个相互等价的必要条件包括:第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析基本的静态分叉形式a)鞍结分岔b)跨临界分岔c)超临界岔形分岔d)亚临界岔形分岔第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析2.动态分岔相对于静态分岔,考察单参数n维系统,即令系统方程(2-11)中m=1。记以平衡点原点为中心、0为半径的邻域(0)
7、,设对于任意(0),x=0保持为系统平衡点,系统雅可比矩阵的特征值与参数有关,当变化时,其特征值会发生变化导致平衡点失稳,但由于系统中非线性因素的制约,受扰运动可能最终变成某种稳态运动,这种现象称为平衡点的动态分岔5。如图2-4所示,系统在=0时发生了动态分岔,产生了新的极限环。第二节非线性动力学系统分岔分析第二节非线性动力学系统分岔分析参数变化时Linard系统的相图a)=-0.2b)=0.3第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法一、发展概况历经了两个多世纪的发展,经典刚体动力学已经在天体运动研究、陀螺理论及简单机构的定点运动研究等方面,取得了众多的成果。但由于现代工程技术中大多数
8、实际问题的对象是由多个物体组成的复杂系统,要对它们进行运动学和动力学分析,仅靠古典的理论和方法已很难解决,因此迫切地需要发展新的理论来完成这个任务。多体系统动力学(包括多刚体系统动力学和多柔体系统动力学)是研究多体系统(一般由若干个柔性和刚性物体相互连接所组成)运动规律的科学。随着近几十年来对机械系统的高性能、高精度的设计要求不断的提升,加之高速度、高性能计算机的发展和计算方法的成熟,多体系统动力学得到快速发展,其应用领域也日益广泛,如车辆设计、航天器控制、机器人学和机械动力学等领域。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法二、研究方法1.多刚体系统动力学研究方法(1)牛顿-欧拉方法对
9、作为分离体的单个刚体列出牛顿-欧拉方程时,铰约束力的出现使未知变量的数目明显增多,故即使直接采用牛顿-欧拉方法,也必须加以发展,制定出便于计算机识别的刚体连接状况和铰约束形式的程式化方法,并致力于自动消除铰的约束。德国学者W.Schiehlen教授在这方面做了大量工作,其特点是在列出系统的牛顿-欧拉方程后,将不独立的笛卡儿广义坐标变换为独立变量,对完整约束系统用达朗贝尔原理消除约束力,对非完整约束系统用若丹的虚功率原理消除约束力,最后得到与系统自由度数目相同的动力学方程。W.Schiehlen教授等人编制了符号推导的计算机程序,并以牛顿-欧拉(Newton-Euler)的简名命名为NEWEUL
10、程序。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(2)拉格朗日方程法由于多刚体系统的复杂性,在建立系统的动力学方程时,采用系统独立的拉格朗日坐标将十分困难,而采用不独立的笛卡儿广义坐标比较方便,对于具有多余坐标的完整或非完整约束系统,用带乘子的拉氏方程处理是十分规格化的方法。导出的以笛卡儿广义坐标为变量的动力学方程是与广义坐标数目相同带乘子的微分方程,还需补充广义坐标的代数约束方程才能封闭。N.V.Orlandea与M.A.Chace等人应用吉尔刚性积分(Gear Stiffness Integration)算法并采用稀疏矩阵技术提高计算效率,编制了ADAMS程序;E.J.Haug等人研
11、究了广义坐标分类、奇异值分解等算法,编制了DADS程序。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(3)图论(R-W)方法1966年R.E.Roberson和J.Wittenburg创造性地将图论引入多刚体系统动力学,利用图论中的一些基本概念和数学工具成功地描绘系统内各个刚体之间的联系状况,即系统的结构。借助图论工具可将系统的结构引进运动学和动力学的计算公式。Roberson-Wittenburg和Hooker-Margulies独立地重新发现并发展了增广体概念。利用增广体概念可对Roberson-Wittenburg或Hooker-Margulies的基本方程做出明确的物理解释。R-W
12、方法完美地处理了树结构的多刚体系统,而对非树系统,则利用假想铰切割或刚体分割方法转变成树系统处理。R-W方法以相邻刚体之间的相对位移为广义坐标,对复杂的树结构动力学关系给出了统一的数学表达式,并据此推导出系统微分方程,编制了应用于机械、卫星、车辆和机器人等的MESA VERDE程序。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(4)凯恩方法凯恩方法是由美国的T.R.Kane创立,并由他的学生R.L.Huston等人发展的。凯恩方法的特点是利用广义速率代替广义坐标描述多刚体系统的运动,并将矢量形式的力与达朗贝尔惯性力直接向特定的基矢量方向投影,以消除理想约束力。但该方法没有给出一个适合于任意
13、多刚体系统的普遍形式的动力学方程,广义速度的选择也需要一定的经验和技巧,这是凯恩方法的不足。然而凯恩方法不用推导动力学函数,不需求导计算,只需进行矢量点积、叉积等计算,可节省时间。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(5)变分方法在经典力学中,变分原理只是对力学规律的概括,而在计算技术飞速发展的现代,变分方法已成为可以不必建立动力学方程而借助于数值计算直接寻求运动规律的有效方法。以苏联的为代表发展的变分方法是应用高斯最小作用量原理,利用优化理论求泛函的极值直接得到系统的运动状况。这种方法的优点是可以避免求解微分方程组,并可与最优控制理论结合起来。变分方法主要用于带控制系统的工业机器
14、人动力学。(6)旋量方法与前面介绍的几种方法不同,旋量方法是沿另一途径发展的动力学分析方法。这种方法将刚体空间运动看作一种螺旋运动,并用旋量及对偶数的形式表述,从而得到对偶数矩阵形式的动力学方程。旋量形式的动力学方程实际上是牛顿-欧拉方程的一种简练的表达形式。从事这种方法研究的主要有德国的W.Schiehlen、M.Hiller等人。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法2.多柔体系统动力学研究方法多柔体系统动力学是多刚体系统动力学、分析力学、连续介质力学、结构动力学等多学科交叉发展的必然结果,这门边缘学科的逐步形成与现代航天科学技术的发展有直接关系,所研究的问题囊括了宏观世界机械运
15、动的主要问题。(1)基本原理和方法推导多柔体系统动力学方程的基本原理和方法与一般的力学问题相同,可以分为三类:牛顿-欧拉方法;虚位移方法;牛顿-欧拉方法和虚位移方法的各种变形,如比较有影响的凯恩方法等。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(2)方程建立的关键性问题建立多柔体系统动力学方程主要有以下三个关键问题:1)动坐标的选择。2)弹性变形模态的选择。3)约束问题。(3)主要研究方向近年来多柔体系统的研究主要集中在以下四个方面:1)多柔体系统动力学方程的有效建立与简化,编制相应的软件系统以便输入少量描述系统特征的数据由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。2)建立稳定而有效的数值计
16、算方法,分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响。通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。3)选择合理的结构、参数或控制规律。在某种程度上消除弹性变形带来的不利影响,使其产生积极的效果。4)将仿真结果通过计算机以方便直观的形式表达出来。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(4)研究中存在的问题多柔体系统动力学的研究虽然在近十几年中取得了长足的发展,但是目前仍存在一些不足,如动力学方程的建立及求解欠成熟;计算机程序的编制规划和交流欠通畅;理论研究与实际应用的差距有时会较大,可能需要一些试验数据做补充等。上述问题的核心是构造满足精度条件下具有小求解尺寸的动力学模型和构造刚性(病
17、态)条件下具有良好稳定性和计算精度的数值算法。这两方面的工作是反映柔性效应对系统的影响,特别是对复杂大系统的影响的关键所在,同时也是多体系统动力学分析研究的重点和难点。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法3.车辆建模中对柔体的考虑在汽车工程领域,由于提高车辆的行驶速度、最大限度地减轻车重、降低能耗等要求,使得在高速车辆的操纵稳定性、行驶平顺性分析中必须考虑车身、车架以及转向系统构件的弹性;在传动系统的齿轮、传动轴,发动机的曲轴连杆、配气机构等的动力学分析中,必须采用多柔体动力学模型才能满足精度要求。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法(1)离散化方法从本质上来说,采用离
18、散化方法建立柔体模型,其理论方法与刚体建模是一致的,即在刚体动力学的基础上,将一个刚体分为若干段,每段之间采用力元约束,即得到离散化柔体模型。(2)模态集成法模态集成法建立柔性体,是将柔性体看作有限元模型的节点集合,相对于局部坐标系有小的线性变形,而此局部坐标系做大的非线性整体平动和转动。每个节点的线性局部运动近似为模态振型或模态振型矢量的线性叠加。(3)形函数法该方法是美国学者A.A.Shabana在参考文献21中提出的。虽然并未明确表述“形函数法”的概念,但却创造性地引入“形函数”描述多体系统中的变形体的思想,可以将该研究方法称为“形函数法”。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方
19、法1)离散化方法实例。在汽车悬架的设计中,经常采用钢板弹簧作为弹性元件和导向机构。根据钢板弹簧的实际结构和工作特点,依据多体动力学建模概念,对钢板弹簧可以进行如下处理:由于每片钢板弹簧都是连续柔体,并将每片钢板弹簧看作是由多个集中质量单元所构成的,每个质量单元可看作一个刚体,同片相邻的两个集中质量单元之间用无质量的Timoshenko梁连接起来,以此作为承载元件。各单元连接点位置的选取应反映实际板簧的曲率等形状特点。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法Beam梁单元的示意图第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法应用离散化方法所建立的钢板弹簧后悬架模型第三节多体系统动力学方
20、法第三节多体系统动力学方法2)模态集成法实例。上述的离散化方法一般应用于形状和力学特性较规整的零部件的弹性体建模,相应的建模精度也较低;对于形状更复杂、要求精度更高的零部件,一般采用模态集成的方法,将有限元技术与多体系统动力学手段相结合来建立刚弹耦合的多体分析模型。下面以汽车中常用的横向稳定杆为例给予说明。第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法横向稳定杆是典型的柔性体,它在工作中因承受拉伸、扭转、弯曲等力和力矩而产生复杂的变形。在使用模态集成法进行建模时,首先利用有限元软件对横向稳定杆进行有限元建模并进行模态分析;同时,利用多体系统动力学软件建立系统的多刚体系统动力学分析模型;将横向
21、稳定杆的模态解算结果利用软件的接口模块导入所建立的多刚体系统动力学模型之中,替代原来刚性体形式的横向稳定杆,并相应地修改部件与系统其他部分的有关约束和力学关系,这样就建立了刚弹耦合的多柔体系统动力学分析模型,进而进行求解,以提高分析模型求解结果的精度。在耦合柔性体之后,一般需要检查其振型及固有频率是否与原先计算的结果相符,以验证连接的正确性,也可通过一些线性化软件对其进行线性和特征值分析来验证。图2-7所示的模型就是使用模态集成法建立的某型轿车前悬架的刚弹耦合动力学分析模型,其中的横向稳定杆为弹性体第三节多体系统动力学方法第三节多体系统动力学方法某型轿车前悬架的刚弹耦合动力学模型第四节非完整系
22、统动力学第四节非完整系统动力学一、非完整系统动力学简介1894年,德国学者Hertz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类,从此开辟了非完整系统动力学(nonholonomic system dynamics)的新领域,如今它已成为分析力学的一个重要分支。由于工程技术的需要,该领域的研究自21世纪初得到了迅速发展。首先介绍有关的几个基本概念。1.约束与约束方程一般情况下,力学系统在运动时都会受到某些几何或运动学特性的限制,这些构成限制条件的具体物体称为约束,用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学2.完整约束与非完整约束如果约束方程仅是系统位
23、形和时间的解析方程,则这种约束称为完整约束(holonomic constraint)。完整约束方程的一般形式为:第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学如果约束方程不仅包含系统的位形,还包括广义坐标对时间的导数或广义坐标的微分,而且不能通过积分使之转化为包含位形和时间的完整约束方程,则这种约束称为非完整约束(nonholonomic constraint)。一阶非完整约束方程的一般形式为:第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学3.完整系统与非完整系统具有完整约束的力学系统,称为完整系统;具有非完整约束的力学系统,称为非完整系统。非完整约束和非完整约束系统其实并不难理解,例如,凡是带
24、有滚动轮子的系统,几乎都是非完整系统。因此,非完整系统动力学特别适用于研究行驶车辆的运动。二、非完整约束方程的实例第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学在垂直平面内沿前进方向做纯滚动的车轮第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学1.车轮在垂直平面内沿坐标轴滚动假定车轮为一刚体圆盘,并且在水平地面上沿x轴方向做只滚不滑的纯滚动,如图2-8所示。设接地点P的速度为v vP,轮心C点的速度为v vC,车轮的绝对角速度为,矢量r=,车轮半径为r0,滚动角为,则车轮在水平路面上做纯滚动的条件为:第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学在垂直平面内做纯滚动的车轮第四节非完整系统动力学第四节非
25、完整系统动力学2.车轮在垂直平面内滚动仍然假定刚性车轮在垂直平面内做纯滚动(图2-9),且满足条件:1)车轮在接地点切线方向上只滚不滑;2)车轮在轴线方向上不能侧向滑动。车轮在切线方向上只滚不滑的条件为:第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学3.考虑车轮定位参数的约束方程由于车辆性能的要求,车轮具有外倾角和前束角,使车轮呈空间倾斜状态,如图2-10所示。为了描述车轮的运动,选车轮轮心C在固定参考坐标系Ox0y0z0中的位移xC、yC、zC及车轮外倾角、前束角t和车轮绕轮轴的转角为确定车轮空间位移的坐标。图中Cxwywzw为车轮坐标系。第四节非完
26、整系统动力学第四节非完整系统动力学在空间坐标系下运动的车轮第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学这里仍假定车轮为刚体,且在水平面上只滚不滑,则满足条件:第一步:绕z轴转t角,得Cx1y1z1坐标系。第二步:绕x1轴转角,得Cx2y2z2坐标系。第三步:绕y2轴转角,得Cxwywzw坐标系。车轮在水平面上只滚不滑的约束条件为:vC+r=0。第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学三、车辆动力学中应用非完整约束的利弊 在车辆动力学研究中采用非完整约束的优缺点如下:1)车轮的实际运动情况为非完整约束,所
27、以从理论上讲,在车辆动力学分析中采用非完整约束比简化成完整约束或约束力的方法所得的结果会更精确。2)在传统的车辆动力学研究中,车轮与地面之间的约束是以力和力矩的形式出现在微分方程中,并且预先要知道其变化规律,而由于车轮与地面之间的受力状况非常复杂,通常需要大量试验测量才能确定。然而,采用非完整约束可以避免这一问题。3)当想要知道车轮与地面之间的作用力时,采用非完整系统动力学中的拉格朗日待定乘子法也可将约束力求出。4)在研究受控系统的动力学时,可将控制装置(即作动器)方便地作为推广的非完整约束形式代到动力学方程中来处理。第四节非完整系统动力学第四节非完整系统动力学5)采用非完整约束方法研究车辆动力学也有不利的方面,因为非完整力学系统具有不可积分的微分约束,广义坐标的变分已不再是独立的,所以通常使用广义坐标、广义力及动能概念的所谓第二类拉格朗日方程已不能再应用了,这就需要更复杂的微分方程来描述。而前些年被人淡忘的第一类拉格朗日方法、牛顿矢量方法似乎又重新得到人们的关注。现在工程上常用的有Routh方程、Boltzmann Hamal方程及Appell方程等几种方法。本章完本章完 谢谢谢谢！
