1、上页下页铃结束返回首页1第一章第一章 函数与极限函数与极限 第三节第三节 极限的运算法则与性质极限的运算法则与性质一、极限的运算法则一、极限的运算法则二、极限的性质二、极限的性质主要内容：主要内容：上页下页铃结束返回首页2一、极限运算法则 为简化起见为简化起见,以以 表示自变量表示自变量 的下列任一种变化的下列任一种变化limx00,.xxxxxx 趋势趋势:上页下页铃结束返回首页3法则法则1（极限四则运算法则）（极限四则运算法则）设设lim(),lim(),f xAg xBlim()()lim()lim();f xg xABf xg xlim()()lim()lim();f x g xABf
2、 xg x则则()lim()lim.()lim()f xAf xg xBg x若若 则有则有0,B 上页下页铃结束返回首页4例例1 求极限求极限22lim 243.xxx解解 由运算法则得由运算法则得22lim 243xxx22222 lim4lim3lim1xxxxx2222lim2lim4lim3xxxxx22 24 23 113.上页下页铃结束返回首页5 由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:若若1011(),nnnnf xa xa xaxa则则0lim()xxf x010110lim().nnnnxxa xaxaxaf x上页下页铃结
3、束返回首页6例例2 求极限求极限2121lim.3xxxx解解 因因所以由商的运算法则得所以由商的运算法则得12211lim 21213lim.35lim3xxxxxxxxx21lim350,xxx上页下页铃结束返回首页7 更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则:若若 10111011()(),()mmmmmnnnnna xa xaxaP xf xb xbxbxbP x且且 则则:0()0,nP x000()lim()lim().()mxxxxnPxf xf xP x上页下页铃结束返回首页8例例3 求极限求极限22123lim.1xxxx解解 因因22
4、1323111xxxxxxx31xx约分约分所以所以2211233limlim2.11xxxxxxx上页下页铃结束返回首页9例例4 求极限求极限32322321lim.323xxxxxxx32322321lim323xxxxxxx23231112322lim.1113323xxxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 得得 3,x上页下页铃结束返回首页10例例5 求极限求极限2321lim.221xxxxxx2321lim221xxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 ,得得 3x2323111lim0.111122xxxxxxx上页下页铃结束返回首页11 对上面几个例子的分析对上面
5、几个例子的分析,得到有理函数得到有理函数10111011()limlim()mmmmmnnxxnnnP xa xa xaxaP xb xb xbxb00 anmb0 mn f xx时的极限公式时的极限公式:当当 基本方法基本方法:除以最高次幂除以最高次幂.上页下页铃结束返回首页1200lim()lim().xxuuf u xf uA法则法则2（复合函数的极限运算法则（复合函数的极限运算法则）设设0lim(),uuf uA()f u x但在点但在点 的某去心领域内的某去心领域内 则复合函数则复合函数0(),u xu0 x又设函数又设函数 当当 时的极限存在且等于时的极限存在且等于()uu x 0
6、 xx0,u0 xx当当 时的极限存在时的极限存在,且且0 xx上页下页铃结束返回首页13例例6 求极限求极限 2lim23.xx解解 令令 则函数则函数23,(),uxf uu(),()f u ug x满足定理的条件满足定理的条件,由此得到由此得到27lim23lim7.xuxu上页下页铃结束返回首页14例例7 求求22lim.2xxx解解 22lim2xxx222lim2 2.2xxxx222lim22xxxxx上例给出了无理函数求极限的一般方法上例给出了无理函数求极限的一般方法:有理化有理化.上页下页铃结束返回首页15例例8 求求2413lim.22xxx 解解 2413lim22xxx
7、 242228lim.32413xxxxx 241341322lim2222413xxxxxxx 上页下页铃结束返回首页16二、极限的性质 1.收敛数列的有界性收敛数列的有界性定理定理 收敛数列必有界收敛数列必有界.ax1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx()1a1a【】1M2M推论推论:无界数列必发散无界数列必发散.注意注意,该定理不是充分必要条件该定理不是充分必要条件.例如数列例如数列11nnx 是是有界有界数列但是数列但是发散发散的的.上页下页铃结束返回首页17 与数列的有界性定理平行的是与数列的有界性定理平行的是:定理定理 （局部有界性）（局部有界性）如果极限如果极限0lim()x
8、xf x存在存在,那么那么 有界性的几何意义有界性的几何意义.1A0 x0 x0 x yf xxyO1AA局部范围局部范围上界与下界上界与下界在在 的某个去心邻域内的某个去心邻域内,函数函数 有界有界.0 x()f x上页下页铃结束返回首页18 2.有极限的函数的局部保号性有极限的函数的局部保号性定理定理 （极限的保号性）（极限的保号性）如果如果0lim()0,xxf xA 0.f x 则存在则存在0 x的某个去心邻域内的某个去心邻域内,使得在该邻域中有使得在该邻域中有:保号性的几何意义保号性的几何意义.局部范围局部范围保持符号保持符号y0 x0 x0 x yf xx3/2A/2AAO上页下页铃结束返回首页19小小 结结极限的运算法则极限的运算法则极限四则运算法则极限四则运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 00lim()lim()xxuuf u xf uA极限的性质极限的性质收敛数列的有界性收敛数列的有界性有极限函数的局部有界性有极限函数的局部有界性有极限函数的局部保号性有极限函数的局部保号性上页下页铃结束返回首页20课后练习：课后练习：P25 习题习题1-3
